2024年中考数学专题2 整式与因式分解 讲义学案（学生版+解析版）

一、考情分析题型13乘法公式的几何验证 二、知识建构考点四整式化简求值(高频考点) 考点一代数式的相关概念 4题型01整式化简-直接代入法………19 题型02代数式的实际意义 4考点二整式的相关概念 5题型04整式化简-赋值法……………20题型01判断单项式的系数、次数 5题型05整式化简-隐含条件求值…题型02与单项式有关的规律题 6题型06整式化简-利用“无关”求值20题型03判断多项式的项、项数、次数6题型07整式化简-配方法 20考点三整式的运算 6题型08整式化简-平方法……………20 10题型09整式化简-特殊值法…………21 10题型10整式化简-设参法……………21题型03添(去)括号 10题型11整式化简-利用根与系数关系求题型04整式的加减 11题型05整式加减的应用 题型06幂的基本运算 13题型13整式化简-倒数法求值………21题型07幂的逆向运算 13考点五因式分解…………………22题型08幂的混合运算 14题型02选用合适的方法因式分解..23题型10整式的除法 15题型03与因式分解有关的探究题.题型11利用乘法公式计算 题型12通过对完全平方公式变形求值>借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义；数式表示；中考数学中，整式这个考点一整式的加减法则、乘除法则及幂的因式分解作为整式乘法的逆择、填空题的形式出现，而且一展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌理安排复习方向.>理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能指一次式之间以及一次式与二次式相乘)>能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能>灵活运用多种方法化简代数式因式分解>能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)考点一代数式的相关概念题201别代数式考点二整式的相关概念整式考点三整式的运算添(去)括号法则：括号外是“+”,添(是“-”,添去)括号都变号.题取11利用乘法公式计算数型12通过对完全平方公式变形求值就型13紫法公式的几何验证★考点四与整式化简求值的13种方法考点五因式分解方法考点一代数式的相关概念①仔细辨别词义.列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义.如“除”与“除以”,“平方的差(或平方差)”与“差的平方”的词义区分.②分清数量关系.要正确列代数式，只有分清数量之间的关系.又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来.④规范书写格式.列代数时要按要求规范地书写.像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数什么时不加括号，什么时要加括号.注意代数式括号的适当运用.⑤正确进行代换.列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换.题型01列代数式【例1】(2023吉林长春中考真题)2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为_公里.(用含x的代数式表示)【变式1-1】(2023江苏中考真题)若圆柱的底面半径和高均为a,则它的体积是(用含a的代数式表示).题型02代数式的实际意义【例2】(2023河北中考真题)代数式-7x的意义可以是()【变式2-1】(2020-内蒙古通辽·中考真题)下列说法不正确的是()A.2a是2个数a的和B.2a是2和数a的积C.2a是单项式D.2a是偶数考点二整式的相关概念 单项式①数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式②单独的一个数或字母所有字母指数的和系数：单项式中不为零的多项式几个单项式的和次数最高项的次数项数：多项式中所含单项式的个数2.一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1,不能认为是0.一个单项式是一个常数时，是14.6.多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数.7.多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次(最高次项的次数)几项(多项式项数)式.提升·必考题型归纳题型01判断单项式的系数、次数【变式1-2】(2023·广东·统考模拟预测)已知一个单项式的系数是2,次数是3,则这个单项式可以是()A.-2xy²B.3x²C.2xy³题型02与单项式有关的规律题A.(2n-1)xnB.(2n+1)xnC.(n-1)xn【变式2-2】(2022云南昆明统考三模)按一定规律排列的代数式：2.,.……第n个单项式是()第8个单项式是()A.17a¹4b²B.17a⁸b⁴C.15a7b14根据其中的规律，第12个单项式是()A.-31x₁2B.34x12C.37x12D.-40x₁1通过观察与归纳，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键.通过观察与归纳，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键.题型03判断多项式的项、项数、次数【例3】(2023·广东茂名一模)多项式a³+2ab+a-3C.3,-3【变式3-1】(2023·江西赣州市模拟预测)下列说法正确的是()A.2πmn的系数是2πB.-8²ab²的次数是5次C.xy³+3x²y-4的常数项为4D.11x²-6x+5是三次三项式考点三整式的运算整式的同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.合并同类项把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变.添(去)括号法则括号外是“-”,添(去)括号都变号.整式的加减法则几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项.1.所有常数项都是同类项.“两同”:一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可.“两无关”:一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关.内容公式补充说明同底数幕底数不变，指数相加(m,n都是整数)1.逆用公式：a²+*=a²·a²2.【扩展】a"a^a⁰=a***n+e(m,n,p都是正整数)(m,n都是整数)负号在括号外结果都为负.2逆用公式：a=(a*)(n为整数)1.逆用公式：a²b*=(ab)同底数幂(a≠0,m,n都为整数)的指数减去除式的指数3..【扩展】a”+a°+a²=aP(a=0.n,n,p零指数第：a²=1(a≠0)(a≠0.n为正整数)易混易错易混易错的底数“a”不变.例如：(a³)²=a⁶,其中，“幂”的底数是“a”,而不是“a?”,指数相乘是指"3×2".2.同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆.3.式子(a+b)²不可以写成a²+b²,因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系.数是负数的要多加注意.运算步骤说明补充说明及注意事项①将单项式系数相乘作为积的系数；②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式；③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的1)实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.2)单项式乘单项式所得结果仍是单项式.单项式乘多①先用单项式和多项式的每一项分别相乘；②再把所得的积相加.1)单项式乘多项式实质上是转化为单项式2)单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同.多项式乘多②再把所得的积相加.重不漏；都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于①将单项式系数相除作为商的系数；②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式；③只在被除式里含有的字母连同指数不变.多项式除单②再把所得的商相加①a²+b²=(a*b)²-2ab②2ab=(a+b)²-(a²+b²)用法：已知a+b、ab、a²+b²中的两项求另一项的值(知二求一)。①(a+b)²=(a-b)+4ab②(a-b)²=(a+b)*-lab③(a+b)*-(a-b)²=4ab④(a+b)²+(用法：已知a+b、ab、a-b中的两项求另一项的值(知二求一)。口诀：首平方。尾平方，②(a+b+e)³=a²+b²+c²+2ab1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释.ba结论：(a+b)²=a²+2ab+b².(用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a,b的长方形的面积和作为相等关系)1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释.图②图② 题型01判断同类项A.a²bB.-2ab2C.abD.ab²c题型02合并同类项A.-7ab?B.-5a⁶b²C.a⁶b2(a+b)²;③|-a-b|=a-b;④(-C.-2(a+b)=-2a-2bD.-(a-b)=-a-b题型04整式的加减【例4】(2022·西藏·中考真题)下列计算正确的是()A.2ab-ab=abB.2ab+abC.4a³b²-2a=2a²bD.【变式4-1】(2022·浙江杭州·校考二模)化简(2a-b)-(2a+b)的结果为()关于x的二项式.【例题】先去括号，再合并同类项：2(A)-3(B)解；原式=4x-6-9x-15=请你写出一个符合要求的算式，并计算出结果.分配率.因此关于整式加减的一般步骤为：①列出代数式；②去括号；③找出同类项；④合并同类项.②不能出现带分数，带分数要化成假分数.对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算.做题时特别要注意的是在整式的加减运算过程题型05整式加减的应用【变式5-1】(2023·湖南长沙·校考三模)已知有2个完全相同的边长为a、b的小长方形和1个边长为m、na74题型06幂的基本运算A.a⁴+a⁴=a⁸B.a⁴·a⁴=a¹6C.(a⁴)⁴=a16D.a⁸÷a⁴=a²A.2a⁵B.6a⁵A.(-pq)³=p³q³B.x·x³+x²·x²=x⁸C.√25=±5A.(-a)⁰=1B.a⁶÷a³=a²C.a-A.(a³)²B.a¹O÷a2C.a⁴·aD.(-1)~'a题型07幂的逆向运算A.yB.1+y5A.128B.64【变式7-4】(2023·河南焦作一模)已知2×=8,则2x-3的值为题型08幂的混合运算A.x²B.x³C.x⁹题型09整式的乘法A.3x⁴y⁵B.-3x⁴y⁵然后再把相同的字母进行相乘，这样分类不容易出错，也能提高大家的计算效率.题型10整式的除法【例10】(2023-江苏扬州·中考真题)若()·2a²b=2a²b,则括号内应填的单项式是()A.aB.2aC.ab写出多项式A,并将该例题的解答过程补充完整.题型11利用乘法公式计算②对形如两数和(或差)的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以题型12通过对完全平方公式变形求值题型13乘法公式的几何验证a团A,B,其中不能使用的面积为M.(2)若a+b=10,a-b=5,几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号)CCbb公式①:(a+b+c)d=ad+bd+cd公式③:(a-b)²=a²-2ab+b²图1对应公式,图2对应公式,图3对应公式,图4对应公式；出证明过程；(已知图中各四边形均为矩形)的方法，如图5,请写图5(3)如图6,在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°,D为BC的中点，E为边AC上任意一点(不与端点重合),过点E作EG⊥BC于点G,作EH⊥ADF点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F.记△BFG与△CEG的面积之和为S₁,△ABD与△AEH的面积之和为S₂.思路：利用求面积的两种方法(公式法与补割法),列式(公式法求面积=补割法求面积),化简求解.考点四整式化简求值(高频考点)2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系.们成倍分关系.③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值.4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值.例如：①若几个非负数的和为0,则每个非负数的值均为0②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0;符号.简单.提升·必考题型归纳题型01整式化简-直接代入法题型02整式化简-间接代入法题型03整式化简-整体代入法题型04整式化简-赋值法(1)(a²b-2ab²-b³)÷b-(a+b)(a-b),其中a=1,b=-2.(2)先化简再从-1,0,1,2,3中选取一个合适的数作为x的值代入求值.题型05整式化简-隐含条件求值题型06整式化简-利用“无关”求值EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(”),,)题型07整式化简-配方法题型08整式化简-平方法A.38B.36题型09整式化简-特殊值法题型10整式化简-设参法,贝的值是题型11整式化简-利用根与系数关系求值值为题型12整式化简-消元法求值题型13整式化简-倒数法求值求的值.考点五因式分解把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆变①运用平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b),②运用完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)【口诀】首尾分解，交又相乘，实验筛选。求和凑中。【特殊】因式分解：ax²+bx+c①若a+b+c=0,则必有因式x-1②若a-b+c=0,则必有因式x+1ac+ad+be*cd=a(c-d)+b(c+d)=(如果多项式中某部分代数式重复出现，那么可将这部分代数式用另一个字母代例：因式分解(x²+5x*2)(x²+5x+3)-12,设x²+5x*2-t则原式-t(t+1)-12-(t-3)(t+4)-(x+2)(x+3)(x²+5x-1)③为四项时，考定利用分组的方法进行分解：3)检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止，以上步骤可以概括为“一提、二套、三检查”。易混易错易混易错题型01判断因式分解A.(a+3)²=a²+6a+9B.a²-4a+4=a(a-4)+4C.5ax²-5ay²=5a(x+y)(x-y)A.ax+ay=a(x+y)+1B.3a+3b=3(C.a²+4a+4=(a+4)²D.a²+b=a(a+b)题型02选用合适的方法因式分解A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除因式分解的关键在于熟练掌握因式分解的两种基本方法：提取公因式法和公式法.因式分解的一般步有题型03与因式分解有关的探究题被3整除”,她后来做了如下提示：258=2×100+5×10+8=2×(99+=2×99+2+5×9+5+8=(2×99+5×9∵2×33+5×3为整数，5为整数，∴3(2×33+5×3)能被3整除，3×5能被3整除，∴258能被3整除.(1)通过计算验证258能否被3整除；(2)用嘉淇的方法证明4374能被3整除；个数可以被3整除”.验证计算5²-32的值，并求这个值是8的几倍.在横线上.x²+2x+1=(x+1)²;4x²-4x+1=(2x-1)²;9x²-30x+25=探究发现：观察以上多项式，发现：2²=4×1×1;(-4)²=4×4×1;(-30)²=4×9×25;归纳猜想：若多项式ax²+bx+c(a>0,c>0)是完全平方式，则a,b,c之间存在的数量关系为b²=4ac;①若多项式(n+1)x²-(2n+6)x+(n+6)是一个完②若多项式9y²+4加上一个含字母y的单项式就能变形为一个完全平方式，请直接写出所有满足条项式.1后都一定是8的倍数吗?”(1)【解决问题】计算：32-1=:52-1=:72-1=:以上(3)【拓展延伸】任意奇数的平方加上1后都一定是的倍数.考点一代数式的相关概念…………4题型01列代数式4题型02代数式的实际意义5考点二整式的相关概念…………5题型01判断单项式的系数、次数6题型02与单项式有关的规律题7题型03判断多项式的项、项数、次数9题型01判断同类项13题型02合并同类项14题型03添(去)括号15题型04整式的加减15题型05整式加减的应用17题型07幂的逆向运算23题型08幂的混合运算25题型09整式的乘法26题型10整式的除法27题型11利用乘法公式计算28题型12通过对完全平方公式变形求值题型13乘法公式的几何验证31考点四整式化简求值(高频考点)………………35题型01整式化简-直接代入法36题型02整式化简-间接代入法36题型03整式化简-整体代入法37题型04整式化简-赋值法38题型05整式化简-隐含条件求值39题型06整式化简-利用“无关”求值题型07整式化简-配方法42题型08整式化简-平方法43题型09整式化简-特殊值法44题型10整式化简-设参法44题型11整式化简-利用根与系数关系求题型12整式化简-消元法求值46题型13整式化简-倒数法求值47题型01判断因式分解48题型02选用合适的方法因式分解49题型03与因式分解有关的探究题51母表示数的意义；数式表示；整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大.因式分解作为整式乘法的逆是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌理安排复习方向>理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的指一次式之间以及一次式与二次式相乘)因式分解>能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)考点一代数式的相关概念考点二整式的相关概念整式添(去)括号法则：括号外是“+”,添(去)括号不变号，括号外是“”,添(去)括号都变号。合并同类项.考点三整式的运算考点三整式的运算四2203添(去)括号EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up2(题型05整式加减的应),题型06驾的燃本运算)用★考点四与整式化简求值的13种方法3式致法考点五因式分解考点一代数式的相关概念2.单独的一个数或一个字母也是代数式.①仔细辨别词义.列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义.如“除”与“除以”,“平方的差(或平方差)”与“差的平方”的词义区分.②分清数量关系.要正确列代数式，只有分清数量之间的关系.又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来.④规范书写格式.列代数时要按要求规范地书写.像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数什么时不加括号，什么时要加括号.注意代数式括号的适当运用.⑤正确进行代换.列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换.题型01题型01列代数式【例1】(2023吉林长春中考真题)2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为公里.(用含x的代数式表示)【提示】根据题意列出代数式即可.他离健康跑终点的路程为(7.5-10x).故答案为：(7.5-10x).【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意.【变式1-1】(2023江苏中考真题)若圆柱的底面半径和高均为a,则它的体积是(用含a的代数式表示).【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键.题型02代数式的实际意义【例2】(2023河北中考真题)代数式-7x的意义可以是()【点睛】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键.A.2a是2个数a的和B.2a是2和数a的积【提示】根据2a的意义，分别判断各项即可.B、2a=2xa,是2和数a的积，故选项正确；考点二整式的相关概念 夯基·必备基础知识梳理单项式的代数式②单独的一个数或字母所有字母指数的和系数：单项式中不为零的多项式几个单项式的和次数最高项的次数项数：多项式中所含单项式的个数2.一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1,不能认为是0.一个单项式是一个常数时，4.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.如单项式-2⁵x²y³z⁴的次数是2+3+4=9而不是14.6.多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数.7.多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次(最高次项的次数)几项(多项式项数)式.提升·必考题型归纳题型01判断单项式的系数、次数【答案】【答案】-5【提示】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可.【详解】解：单项式-5ab的系数是-5.【点睛】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义.【提示】根据单项式系数的定义进行解答即可.·【点睛】本题考查了单项式系数的定义，即单项式中的数字因数叫做单项式的系数.·【点睛】本题考查了单项式系数的定义，即单项式中的数字因数叫做单项式的系数.A.-2xy²B.3x2C.2xy³【答案】【答案】D【详解】试题提示：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母.A.-2xy²系数是-2,错误；B.3x²系数是3,错误；C.2xy³次数是4,错误；D.2x³符合系数是2,次数是3,正确；题型02与单项式有关的规律题B.√n-la"-IA.VnC.√na°B.√n-la"-I【答案】C【答案】C【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键.【变式2-1】(2022·云南·中考真题)按一定规律排列的单项式：x,3x²,5x³,7x⁴,9x⁵,……,第n个单项A.(2n-1)x”B.(2n+1)xC.(n-1)xn【提示】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示.【详解】解：依题意，得第n项为(2n-1)xn,【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键.,,个单项式是()【答案】B【提示】不难看出奇数项为正，偶数项为负，分母为x²n²,分子的指数为由1开始的自然数，据此即可求第8个单项式是()A.17a¹4b²B.17a⁸b⁴C.15a?b14【提示】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可.【详解】解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数，所以第8个单项式是：17a¹4b².【点睛】本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和的关键.根据其中的规律，第12个单项式是()第n个对应的系数的绝对值是3n+1.指数的规律：第n个对应的指数是n解答即可.【点睛】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键.分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关通过观察与归纳，分别找出单项式的系数和次数的规律是题型03判断多项式的项、项数、次数【例3】(2023·广东茂名·一模)多项式a³+2ab+a-3的次数和常数项分别是()A.6,3B.6,-3C.3,-3【提示】根据多项式的相关概念即可求解，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式中不含字母的项叫做常数项.多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数.【详解】解：多项式a³+2ab+a-3的次数和常数项分别是3,-3【点睛】本题考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的定义是解题的关键.【变式3-1】(2023·江西赣州市模拟预测)下列说法正确的是()A.2πmn的系数是2πB.-8²ab²的次数是5次C.xy³+3x²y-4的常数项为4D.11x²-6x+5是三次三项式【提示】根据单项式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义可解决此题.B、-8²ab²的次数是3次，故选项错误；【点睛】本题主要考查单项式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义是解决本题的关键.【提示】先找到此多项式的最高次项，再根据单项式的系数与次数的定义求解.π,次数是3.33【点睛】本题考查了同学们对多项式的有关定义的理解.多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数.考点三整式的运算整式的同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项合并同类项把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变.添(去)括号法则括号外是“-”,添(去)括号都变号.整式的加减法则几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项.“两同”:一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可.“两无关”:一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关.4.去括号只是改变式子形式，但不改变式需的运算内容公式补充说明同底数幕底数不变，指数相加(m,n都是整数).逆用公式：a***=a²·a*整数)(m,n都是整数)1负号在括号内时，偶次方结果为正奇次方为负负号在括号外结果都为负2.逆用公式：a**=(a*)3【扩展】《a*))*=a***(m,n,p都是正整数)(n为整数).逆用公式：a^b²=(ab)”同底数幂(a=0.m,n都为整数)的指数减去除式的指数2逆用公式：a*=a*+a*(a=0,m。n都是正整数)3【扩展】a*+a²+aF=a~**(a=0,m,n,p都是正整数)零指数事：a=1(a≠0)(a≠0,n为正整数)1.幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是"底数不变，指数相乘".这里的“底数不变"是指"幂”2.同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆.3.式子(a+b)²不可以写成a²+b²,因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系.数是负数的要多加注意.运算步骤说明补充说明及注意事项①将单项式系数相乘作为积的系数；作为积的一个因式；的一个因式.1)实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.2)单项式乘单项式所得结果仍是单项式.单项式乘多①先用单项式和多项式的每一项分别相乘；②再把所得的积相加.1)单项式乘多项式实质上是转化为单项式2)单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同多项式乘多的每一项相乘②再把所得的积相加.①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积.①将单项式系数相除作为商的系数；作为商的一个因式；③只在被除式里含有的字母连同指数不变.多项式除单①先把这个多项式的每一项除以这个单项②再把所得的商相加1.通过移项变形①a²+b²=(a+b)²-2ab②2ab用法：已知a+b、ab、a+b²中的两项求另一项的值(知二求一),①(a+b)²=(a-b)²+4ab②(a-b)²=(a③(a+b)²-(a-b)²=4ab④(a+b)²+(a用法：已知a+b、ab、a-b中的两项求另一项的值(知二求一).口诀：首平方，尾平方。②(a+b+c)³=a²+b²+c²+2ab+完全平方公式的几何背景1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公方公式做出几何解释.baab的长方形的面积和作为相等关系)1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推式做出几何解释.图①图③图④题型01判断同类项A.a²bB.-2ab2C.ab【答案】【答案】B【提示】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解.是否相同.R故选B.题型02合并同类项【详解】解：原式=4a°b²-3a⁴b²=a²b²,题型03添(去)括号①-a-b=-(a+b);②(-a-b)²=(a+b)²;③l-a-bl=a-b;④(-a其中不正确的是()A.①②B.③④【提示】根据去括号法则进行变形即可.【详解】解：①-a-b=-(a+b),变形正确；②(-a-b)²=[-(a+b)]²=(a+b)²,④(-a-b)³=[-(a+b)]³=-(a+b)³,【点睛】此题主要考查了整式的变形，熟练掌握去括号法则是解答此题的关键.【变式3-1】(2022·河北邯郸·校联考三模)等号左右两边一定相等的一组是()A.-(a+b)=-a+bC.-2(a+b)=-2a-2b【提示】利用去括号法则与正整数幂的概念判断即可.【详解】解：对于A,-(a+b)=-a-b,A错误，不对于B,a³=a·a·a,B对于C,-2(a+b)=-2a-2b,C对于D,-(a-b)=-a+b,D错误，不符合题意.【点睛】本题考查了去括号法则，以及正整数幂的概念，熟练掌握相关定义与运算法则是解题的关键.题型04整式的加减A.2ab-ab=abB.2ab+ab=2a²b²C.4a³b²-2a=2a²bD.-2ab²-a²b=【答案】A【答案】AB、2ab+ab=(2+1)ab=3abD、-2ab²与-a²b不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意.【点睛】本题考查整式的加减.在计算的过程中，把同类项进行合并，不能合并的直接写在结果中即可.【变式4-1】(2022·浙江杭州·校考二模)化简(2a-b)-(2a+b)【答案】【答案】B【提示】先去括号，再合并同类项即可.【点睛】本题考查了整式的加减，整式加减的实质就是去括号、合并同类项，熟练掌握去括号法则是解题的关键.关于x的二项式.【例题】先去括号，再合并同类项：2(A)-3(B)解；原式=4x-6-9x-15=【提示】(1)根据题意添括号，即可求解；(2)根据题意，列出一元一次方程，解方程即可求解.【详解】(1)解：∵2(A)-3(B)=4x-6-9x-15(2)解：依题意，2x-3=3x+5,【点睛】本题考查了整式的加减，解一元一次方程，掌握整式的加减运算法则是解题的关键.(2)①-5x+2;②A+B=4或者A·B=4-2(2)①∵2A+B=5x+6∴B=5x+6-2A=5x+6-2(5x+2)=5x(或A·B=(5x+2)(-5x+2)=4-25x²).方法技巧方法技巧题型05题型05整式加减的应用【变式5-1】(2023·湖南长沙·校考三模)已知有2个完全相同的边长为a、b的小长方形和1个边长为m、n的大长方形，小明把这2个小长方形按如图所示放置在大长方形中，小明经过推事得知，要求出图中阴影部分的周长之和，只需知道a、b、m、n中的一个量即可，则要知道的那个量是()A.aB.bC.m【详解】解：如图，由图和已知条件可知：AB=a,EF=b,AC=n-b,GE=n-a.=2a+2n-2b+2n-2a+∴求图中阴影部分的周长之和，只需知道n一个量即可.【变式5-2】(2023·河北邯郸·二模)如图，两个三角形的面积分别是6和4,对应阴影部分的面积分别是m【提示】设重合的空白部分面积为a,由题意知两式相减求解即可.两式相减得m-n=2【点睛】本题考查了求代数式的值.解题的关键在于根据三角形的面积列等式.个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m.王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m=74【答案】391X74 abdbC【答案】【答案】5长得4d+2c=26,列式计算即可求解.【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d,,∴正方形d的边长为5,故答案为：5.【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键.【变式5-5】(2022·浙江金华·中考真题)如图1,将长为2a+3,宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图2),得到大小两个正方形.图1图1(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长.(2)当a=3时，该小正方形的面积是多少?【提示】(1)分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；(2)根据(1)所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可.【详解】(1)解：∵直角三角形较短的直角j较长的直角边=2a+3,∴小正方形的边长=2a+3-a=a+3;(2)当a=3,b=2时，题型06幂的基本运算A.a⁴+a⁴=a⁸B.a⁴·a⁴=al6C.(a⁴)⁴=a16D.aA.2a⁵B.6a⁵C.8a⁵D.8a⁶A.(-pq)³=p³q³B.x·x³+x²·x²=x⁸A.(-a)⁰=1B.a⁶÷a³=a2C.a-1=-aD.a⁶-a³=a³【答案】A案.【提示】根据同底数幂的乘除法及幂的乘方运算法则即可判断.【点睛】题目主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题关键.题型07题型07幂的逆向运算【例7】(2023·四川德阳·中考真题)已知A.yB.1+y【提示】利用同底数幂的乘法的逆运算可得3*+1=3*×3,再代入计算即可.【详解】解：∵3*=y:【变式7-1】(2023·江苏镇江·中考真题)如袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于()A.128B.64【提示】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出2*,2Y,最后逆用同底数幂相乘法则求出答案.【详解】调整后，甲袋中有(29-2×+2Y)个球，29+2*-2×-2Y=29-2Y,乙袋中有(29-2Y)个球，5+2×+2Y-2Y=5+2*,2×+2Y-2Y=5+2*,丙袋中有(5+2*)个球.∵一共有29+29+5=63(个)球，且调整后三只袋中球的个数相同，【详解】∵2*=8,【详解】∵2*=8,故答案为：1.【点睛】本题主要考查了同底数幂相除的逆用，掌握同底数幂相除的运算法则是解答本题的关键.题型08幂的混合运算【提示】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解.【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方以及同底数【提示】根据幂的乘方、同底数幂的乘法进行计算即可.【点睛】本题考查了幂的运算，掌握幂的乘方【答案】2a²【提示】先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除即可.【点睛】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，要做到不但会直接套用公式，还要能逆用.其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解.第三幂的底数是常数且指数已知22x+3-2²x+I=48,求x的值).第四底数不同而指数可变相同的，可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘.题型09整式的乘法A.3x⁴y⁵B.-3x⁴y⁵C.3x³y⁶【提示】根据多项式与多项式相乘的法则计算.【详解】解：原式=3m²+15m-m-5=3m²+14m-5.【点睛】本题考查的是多项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的【提示】(1)把多项式的每一项与单项式相乘，再合并即可求解；(2)先用第一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再合并即可求解.【详解】(1)(3ab²-2ab)·ab=3a²b³-2a²b²=x³-x²y+4xy²-2x²y+2【点睛】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式乘以多项关键.然后再把相同的字母进行相乘，这样分类不容易出错，也能提高大家的计算效率.题型10整式的除法A.aB.2a【答案】【答案】A【提示】将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答.【详解】解：∵O·2a²b=2a³b,【点睛】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键.【答案】2【答案】2xy【提示】利用积的乘方及单项式除以单项式的法则进行计算即可.【详解】解：原式=8x³y÷4x²=2xy,故答案为：2xy.【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.【提示】根据多项式除以单项式法则进行运算，即可求解.【点睛】本题考查了多项式除以单项式法则，熟练掌握和运用多项式除以单项式法则是解决本题的关键.【答案】A=m+6,解答过程补充完整为m²-6【提示】利用m²+6m除以m可得A,再根据合并同类项法则补充解答过程即可.【详解】解：观察第一步可知，A=(m²+6m)÷m,【点睛】本题考查了多项式的乘除法、合并同类项，熟练掌握整式的运算法则是解题关键.题型11利用乘法公式计算【答案】【答案】x²-3y【提示】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可.【详解】解：(x+2y)(x-2y)-y(3-4y)=x²-4y²-3y+4y²【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键.【详解】解：原式=(4a²-12a+9)-(a²-25)=3a²-12a+34.【点睛】本题考查整式的运算，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键.【提示】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理.【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键.故答案为2a+1.【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键.②对形如两数和(或差)的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式.题型12通过对完全平方公式变形求值【答案】90代入进行计算求解.=90.故答案为：90.【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键.【答案】4【提示】根据完全平方公式的运算即可.【点睛】此题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用.A.2B.1C.-2、即可解答.【详解】(1)解：(2)解：=47.【点睛】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值.熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题的关键.题型13乘法公式的几何验证ba矿其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有()【答案】D【答案】D【提示】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案.【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积.A,B,其中不能使用的面积为M.【提示】(1)利用正方形秧田A的面积减去不能使用的面积M即可得；(2)先求出B中能使用的面积为b²-M,再求出A比B多出的使用面积为a²-b²,利用平方差公式求解即可【点睛】本题考查了列代数式、平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键.几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号)bb公式①:(a+b+c)d=ad+bd+cd公式④:(a+b)²=a²+2ab+b²图1对应公式,图2对应公式,图3对应公式,图4对应公式出证明过程；(已知图中各四边形均为矩形)的方法，如图5,请写(3)如图6,在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°,D为BC的中点，E为边AC上任意一点(不与端点重合),过点E作EG⊥BC于点G,作EH⊥ADF点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F.记△BFG与②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立?若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由.②结论仍成立，理由见解析【提示】(1)观察图形，根据面积计算方法即可快速判断；(2)根据面积关系：矩形AKHD面积=矩形AKLC面积+矩形CLHD面积=矩形DBFG面积+矩形CLHD面积=正方形BCEF面积一正方形LEGH面积，即可证明；(3)①由题意可得△ABD,△AEH,△CEG,△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，设BD=a,从而用含a的代数式表示出S₁、S₂进行计算即可；②由题意可得△ABD,△AEH,△CEG,△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，设BD=a,DG=b,从而用含a、b的代数式表示出S₁、S₂进行计算即可.【详解】(1)解：图1对应公式①,图2对应公式②,图3对应公式④,图4对应公式③;故答案为：①,②,④,③;(2)解：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a-b,(3)解：①由题意可得：△ABD,△AEH,△CEG,△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方故答案为：2;②成立，证明如下：由题意可得：△ABD,△AEH,△CEG,△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，成立.【点睛】本题主要考查了公式的几何验证方法，矩形和正方形的判定与性质，掌握数形结合思想，观察图形，通过图形面积解决问题是解题的关键.思路：利用求面积的两种方法(公式法与补割法),列式(公式法求面积=补割法求面积),化简求解.考点四整式化简求值(高频考点)们成倍分关系.是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范例如：①若几个非负数的和为0,则每个非负数的值均为0①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0;②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关.符号.进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单.能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值.个字母来表示另一个字母.题型01整式化简-直接代入法【提示】将x=1代入代数式求解即可.故答案为：1.【点睛】本题考查了代数式求值.解题的关键在于正确的计算.a-b+c的值.【答案】7或-5【答案】7或-5因为c到原点的距离是6,【点睛】本题主要考查了有理数的相关概念、代数式求值等知识点，牢记最小正整数是是0及绝对值的意义成为解答本题的关键.题型02整式化简-间接代入法【提示】先将代数式因式分解，再代入求值.故代数式的值为-4.【点睛】本题考查因式分解、二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练进行二次根式的计算.【答案】2【答案】2a²-6ab,24【提示】先展开，合并同类项，后代入计算即可.原式=2021+1=2022题型03整式化简-整体代入法【例3】(2023山东枣庄·中考真题)若x=3是关x的方程ax²-bx=6的解，则2023-6a+2b的值【答案】6∴原式=1×2×3=6,的值为..【提示】根据分式的化简法则，将代数式化简可得ab-b²,再将3ab-3b²-2=0变形，即可得到答案..【点睛】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的关键.【提示】把x²-2x-1=0化3x³-10x²+5x+2027=3x(2x+1)-10x²+5x+2027=6x²+3x-10x²+5x2027=-4(x²-2x)+2027=-4×1+202故答案为：2023.【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键.题型04整式化简-赋值法【提示】根据分式混合运算的法则化简原式，再根据分式有意义的条件得出x的值，代入计算即可.(【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是而根据分式有意义的条件选择x的值是易错点.(1)(a²b-2ab²-b³)÷b-(2)先化简【答案】(1)-2ab,4;(2)再从-1,0,1,2,3中选取一个合适的数作为x的值代入求值.【提示】(1)原式利用多项式除以单项式，平方差公式计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值.【详解】解：(1)原式=a²-2ab-b²-a²+b²=-2ab,原式=4:∵x的值从-1,0,1,2,3中选取，又要使原分式有意义，∴当x=0时，原式=-3,【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，整式的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行运算.题型05整式化简-隐含条件求值【例5】(2023·湖南衡阳·校联考二模)已知单项式2【例5】(2023·湖南衡阳·校联考二模)已知单项式2a⁴b-2m+7与3a2mbn+2是同类项，则m+n=【答案】3【提示】根据同类项的定义(所含字母相同，相同字母的指数相同),求出m,n的值，再代入代数式计算即可.【详解】解：∵单项式2a⁴b-2m+7与3a²mbn+2是同类项，【答案】0或8【答案】0或8故答案为：0或8.【答案】14V3-21再根据3<√12<4,得出b=2V3-3,【分析】先根据2<再根据3<√12<4,得出b=2V3-3,答案.【答案】0,2,4【答案】0,2,4解解故答案为：4或2或0题型06整式化简-利用“无关”求值【例6】若(x²+mx+n)(x²-3x+1)解得m=3,n=8.(2)(m+n)(m²-mn+n²)=m³-m²n+mn原式=3³+8³=27+512=539【答案】9【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项的定义，能得出【变式6-1】已知多项式M=x²+5x-a,N=x+2,P=x²+3x