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8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

第八章立体几何初步【学习目标】1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握它们的表面积与体积的公式；2.能解决实际问题中与多面体相关的简单几何体的表面积和体积；3.通过学习感受一般化与特殊化、极限等数学思想方法，提高逻辑推理、直观想象等素养和空间想象等能力.问题1：正方体和长方体的展开图面积与其表面积有什么关系？几何体表面积

展开图面积平面图形面积

空间问题

平面问题

转化思想

导

棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．棱柱棱锥棱台学1、棱柱、棱锥、棱台的表面积例1

如图，四面体P-ABC各棱长均为a，求它的表面积.解：∵∆PBC是正三角形，其边长为a，∴四面体P-ABC的表面积.∴展BCAP变式练习：正六棱台的上、下底面边长分别为2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积.

展解：如图所示，作，垂足为点H，学

特殊的棱柱-------正方体、长方体的体积公式：

Ｖ正方体＝a3（a是正方体的棱长）

Ｖ长方体＝abc（a，b，c分别是长方体的长、宽、高）V=Sh

(S,h分别表示底面积和高)由特殊到一般思想

V棱柱=Sh2、棱柱的体积公式V棱柱=Sh如果棱柱的底面积是S，高是h,那么这个棱柱的体积：特别的，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高.学

棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.问题2：

取一摞书放在桌面上，并改变它的形状，高度、书中每页纸面积和顺序不变，观察改变前后的体积是否发生变化？学祖暅原理：（456年~536年）幂势既同，则积不容异.

夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．学学学V=Sh转化思想

等底等高底面积和高都相等的棱柱，体积相等V棱柱=Sh问题3：棱锥与同底等高的棱柱体积之间有什么关系？学问题4：三个小棱锥的体积相等吗？

如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．学3、棱锥的体积公式

棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.学

如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积：

4、棱台的体积公式

棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.学

P棱台的体积公式：

，(S′,S,

h分别是棱台的上下底面积和高).

RQ

问题5:观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？学

A'B'C'D'ABCDP解：如右下图，由题意知V棱锥P-ABCD=×1×1×0.5=(m3)，所以这个漏斗的容积V长方体ABCD-A'B'C'D'=1×1×0.5=

(m3)，

(m3).练课堂小结评多面体图形表面积体积思想方法棱柱

棱锥棱台

围成它们的各个面的面积的和①转化思想②由特殊到一般思想③极限

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