2021-2022学年江苏省常州市教育学会高二（上）期末数学试卷

第第10页（共18页）2021 学年江苏省常州市教育学会高二（上）期末数学试卷8540分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线+√3 =0的倾斜角的大小是（ ）A．30° B．60° C．150° D．120°函数f（x）＝xex的单调递增区间是（ ）A1） B，） C0+） D（﹣，∞）621，37，617项为（）A．95 B．131 C．139 D．141若点P圆C：x2+y2+2y＝0上一点，则点P到直线2x﹣y+4＝0的距离最大值为（ ）A．√5−1 B．√5+2 C．2 D．√5+15．已知函() =2 − + 在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）A1] B，） C1+） D+记为等差数列{an}的前n项和，给出下列4个条件：①a1＝1；②a4＝4；③S3＝9；④S5＝25，若只有一个条件不成立，则该条件为（ ）A．① B．② C．③ D．④2 2 1 → →

2− 2=1(的焦点为F1F2，为2点P满足1⋅ 2=0，则a＝（ ）1 1B．4 2

C．2 D．4a足11，a1＝a+nn*b= +1设∈nN有＞t恒成立，则t的最大值为（ ）A．3 B．4 C．7 D．9二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分2C−2

2+ =（∈（ ）6−k＝4CCx轴上的椭圆”的充分而不必要条件kC√2k＝0C为双曲线，其渐近线方程为数（﹣a﹣2当x3时，则a（ ）A．6 B．5 C．4 D．3已知Sn是等差数列{an}的前n且S5＜S6＝S7＞S8，则下列命题正确的是（ ）A．S5＜S9C．a7＝0

B．该数列的公差d＜0D．S12＞0AB为定值xOyA﹣20B4，P确的是（ ）A．C的方程为（x+4）2+y2＝12A，B，PPO是∠APB的平分线CKKO＝2KA

1= P21在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得 =2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。线y＝2x2的焦点到准线的距离等于 ．在正项等比数列中，若a1a5a9＝64，a6与a7的等差中项为12，则于 ．4．Re()足 ＞ 的a的取值范围是 ．2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（0a的前nS+3＝，4＝4．{an}an；{1}n，若

99，求n的最小值．10018（2）＝+a2b（，c．y＝f（x）（0，f（0）处的切线方程；a＝b＝4c的取值范围．219（2yC：4

+ 2C1与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）在第一象限的交点为Q，已知∠F1QF2＝60°．求△F1QF2C2的标准方程．20（2a的前nn＝3n﹣n中，323b＝19．{an}，{bn}an，bn；，≤a*b={，＞

，记cn＝an*bn，求数列{cn}的前20项和T20．321（12系y圆：其离心率=且椭圆C点(3 3C

2 22+ 21（a＞b＞0）MCBy轴平AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．22（2() = + ，∈，e（1）当a＝1时，证明：∀x∈（﹣∞，0]，f（x）≥1；（2）若函数f（x）在(−2，0)上存在极值点，求实数a的取值范围．2021 学年江苏省常州市教育学会高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析8540分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线+√3 =0的倾斜角的大小是（ ）A．30° B．60° C．150°

D．120°x＝0−√3，即n=−√3（θ，3 3∴θ＝150°．即其倾斜角为150°．故选：C．函数f（x）＝xex的单调递增区间是（ ）A1） B，） C0+） ﹣（＝xf′）＝+e＝x+1，f′（x）＝ex（x+1）＞0（＝x1∞．61，7项为（）A．95 B．131 C．139 D．14115，236•461，162，，687x﹣61＝24+10x＝95，7若点P圆C：x2+y2+2y＝0上一点，则点P到直线2x﹣y+4＝0的距离最大值为（ ）A．√5−1 B．√5+2 C．2 D．√5+11的圆．故选：D．

| |√4+1

=√5，故圆C上的点到直线l的距离最大值为√5+1．5．已知函() =2 − + 在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）A1] B，） C1+） 解：因为函数f（x）＝2lnx﹣x+ ，2则f′（x）=2−12

，由已知可得f′（x）=2−1−

2≤0，解得a≥﹣x2+2x在（0，+∞）上恒成立，只需x2）+2+112+）＝，故aa+∞，故选：D．记为等差数列{an}的前n项和，给出下列4个条件：①a1＝1；②a4＝4；③S3＝9；④S5＝25，若只有一个条件不成立，则该条件为（ ）A．① B．② C．③ D．④解：若a1＝1，a4＝4同时成立，则d＝1，S3＝1+2+3＝6，S5＝1+2+3+4+5＝15≠25与题意不符，由31+3 =

，解得d＝2，a1＝1，①成立，②不成立，{51+10 =25故选：B．2 2 1 → →

2− 2=1(的焦点为F1F2，为2点P满足1⋅ 2=0，则a＝（ ）1 1B．4 2

C．2 D．42解：双曲线2−

22=1(，1﹣，F（0，1 1渐近线上横坐标为的点P，不妨取P在第一象限，可得P（，）2满足PF1⊥PF2，所以(1+)2+(2 2

12 ) +(2−) +2

2 2)2=4c2，…①c2＝a2+b2，…②22

2−2 1解①得1+ 2故选：B．

，代②：1+ 2 =42，解得a=2．a足11，a1＝a+nn*b= +1设∈nN有＞t恒成立，则t的最大值为（ ）A．3 B．4

C．7

D．9解：∵an+1＝3an+2n，∴+12

=3 +1，∴+1 2 2+1

3 1 +1• + ，∴2+1

1=（ +1，2 2∵a1＝1，∴21

+1=3，2，3 3

22 2∴数列{ +1}以为首相以为公比的等比数列，2 2 23 n n n

−2 1∴ +1＝（），∴an＝3

+1 =

2 =3+ ，2 2 3−2

−1 (3)−1，∴（）﹣∵∀n∈N* 3 n 1≥1，∴（）﹣

2 2≤2，∴3＜bn≤5，22 2 −12对于∀n∈N*bn＞t恒成立，∴t≤3，∴t3，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分2 2线C为 + =（∈（ ）−2 6−k＝4CCx轴上的椭圆”的充分而不必要条件kC√2k＝0C为双曲线，其渐近线方程为解：当k＝4时，曲线C的方程为x2+y2＝4，该曲线表示圆，故A正确；由6＞4Cxk6Cxk＞4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故B错误；不存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为√2，故C不正确；2当k＝0线C线 6故选：AD．

2=，其渐近线方程为√3，D正确；2数（﹣a﹣2当x3时，则a（ ）A．6 B．5 C．4 D．3（﹣a（﹣2aR）′（＝2（a6＝﹣）+﹣﹣﹣3﹣2﹣3，x＝3f（x）所以f′（x）＝0有两个根，其中一个根为3，设另一个根为x0，且3＜x0，2+3所以 3所以a＞3，所以符合上述要求的一个a的值为4、5、6，故选：ABC．已知Sn是等差数列{an}的前n且S5＜S6＝S7＞S8，则下列命题正确的是（ ）A．S5＜S9C．a7＝0

B．该数列的公差d＜0D．S12＞0解：由S5＜S6可得S6﹣S5＝a6＞0，S6＝S7可得S7﹣S6＝a7＝0，S7＞S8可得S8﹣S7＝a8＞0，∴等差数列{an}的公差d＜0，故B正确；∴等差数列{an}中前6项为正，第7项为0，从第8项起为负，故C正确；2∴S9﹣S5＝a9+a8+a7+a6＝2（a8+a7）＝2a8＜0，故A错误；S12= 1+12×12＝6（a6+a7）＝6a6＞0，故D正确．2故选：BCD．AB（≠1y（00P满足列结论正确的是（ ）A．C的方程为（x+4）2+y2＝12A，B，PPO是∠APB的平分线CKKO＝2KA

1= P21在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得 =21系y中A﹣，0，，0点P足 = ，2√(+2) 2+2 1设，则 = ，√(−4)2+2 2化简可得（x+4）2+y2＝16，故A错误；||当A，B，P三点不共线时，由

1 = =

，可得射线PO是∠APB的平分线，故B正确；|| 2 ||若在C点KK|＝2K|设K，√2+ 22( +22+ 2，化简可得x2+y2+16x+16=0，联立x2+y2+8x＝0，可得方程组无解，故不存在K，故C错误．3 31假设在x于的两定点D，E，使得 = ，2可设D0n

√(−) 2+2

=2，√(−) 2+2化简可得3x2+3y2﹣（8m﹣2n）x+4m2﹣n2＝0，由P的轨迹方程为x2+y2+8x＝0，可得8m﹣2n＝﹣24，4m2﹣n2＝0，解得m﹣，n﹣12或m﹣2n4（，E120D正确．故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。线y＝2x2的焦点到准线的距离等于1 ．4解：∵抛物线y＝2x2化成标准方程，可得x2=1y22p，可得1．2 2 8（=−18 81因此抛物线的焦点到准线的距离是41故答案为：4在正项等比数列中，若a1a5a9＝64，a6与a7的等差中项为12，则于 128 解：正项等比数列{an}，a1a5a9= 53=64，所以a5＝4，又因为a6与a7的等差中项为12，所以a6+a7＝24，设{an}的公比为q，q＞0，则4q+4q2＝24，2+﹣0q＝2或q，a10＝a5q5＝4×25＝128．故答案为：128．4椭圆的离心率为 ．2解：设圆柱的半径为r，最长母线与最短母线所在截面如图所示，√ √ 所以DE＝2r，CD= 2DE= 2 =2 2r，即长轴长2a＝22r，√ √ 45°短轴长2b＝2r，所以b＝r，c2＝a2﹣b2＝r2，所以e= =√22√2故答案为：．2Re()足 ＞ 的a的取值范围是 （﹣∞，2）．2解：∵f'（x）﹣f（x）＜2exg（x）=

−2x，则′()−() −2，∴g′（x）＜0，g（x）在R上为减函数x()x∵ 2

⇔g（x）＞0，2而g（2）=(2)−4且f（2）＝4e2，2∴g（2）＝0，∴() ∴2

2．()故满足2

＞ 的a2．．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（0a的前nS+3＝，4＝4．{an}an；记数列1}nTn，若（an，

99

，求n的最小值．依题意{2

1+2 =8，2 =4解得{1=2，所以an＝2n；=2（2）由（1）得 = 2+ ，则1 = 1 =1− 1 ，2+ +1所以

1+1

+⋯

1 1 1 1 1 =(1− )+( − )+⋯+( −

)=1− 1 ，1 2 2 2 3 +1 +1因为＞

99，即1−100

1 99+1 100所以n的最小值为100．18（2）＝+a2b（，c．y＝f（x）处的切线方程；a＝b＝4f（x）c的取值范围．（）f＝+2+．'（）＝f）＝，（0，（0b+；（2）当a＝b＝4时，f′（x）＝3x2+8x+4f′（x）＝0x＝﹣2，23x＜﹣2或时，f′（x）＞0−时，f′（x）＜0，3 3f（x）在和2(−2，2上单调减，3当x＝﹣2时，y取极大值c，当=−2时，y取极小值−32

−3)3 27f（x）c＞0且−3203227 2727c(027219（2yC：4

+ 2=C1与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）在第一象限的交点为Q，已知∠F1QF2＝60°．求△F1QF2C2的标准方程．（＝2＝，=√3，√)，2√，

+ =2， ，(2)2= 2+ 2−260°即{ + =4，

+ =4，{ ，2+ 2− =2+ 2− =求得 =31 1 4QF

√3 √3所以△F1

2的面积为60° 2

× × = ．2 3 2 3（2设Q0（x0，0＞．由（1）中

=1×1 2 2

12|

0=√3

√3，得 ==0 3 0 3==02202又4 + 0

=4(42，1．0 3 3代入抛物线方程得12 4√所以=√0 3 3(3)=2×3 48所以抛物线的标准方程为2=√2．2420（2a的前nn＝3n﹣n中，323b＝19．{an}，{bn}an，bn；，≤a*b{，＞

，记cn＝an*bn，求数列{cn}的前20项和T20．（n12＝311＝0，n≥22Sn＝3an﹣3，2Sn﹣1＝3an﹣1﹣3，两式相减得，2an＝3an﹣3an﹣1，即an＝3an﹣1．∴{an}是首项为3，公比为3的等比数列．∴ =3，设数列{bn}的公差为d，∵b5﹣b3＝19﹣23＝﹣4＝2d，∴d＝﹣2⇒b1＝27．∴bn＝29﹣2n．（2）由 ≤ ⇒3 ≤29−2 ⇒ ≤＝a

3≤ ≤2，∴cn

n n={ ，29−2，≥32 ∴T20＝a1+a2+b3+b4+b5+…+b20=3+32+3+20⋅18=3+9+23−11⋅18=12+18×6＝120．2 21（12y：

2 22+ 2=1（a＞b＞0）3其离心率=2√2，且椭圆C点(3 3CMC，By轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．2√2

2 2−2 8 2 2解（）由= 3，得2

2 18 2

9

＝9b，①又椭圆过(3 则2+ 2=1，②，2 2由①②得a＝6，b＝2，所以椭圆的标准方程为 36

=1．4（2A，点A（，B（；2，因为∠AMB的平分线与y轴平行，所以直线MA与MB的斜率互为相反数，则直线MB的斜率为﹣k．= +−联立直线与椭圆方程，{2 2 ，36+4=1．整理，(92+1)2+−3) +1622−108 −18=0，1

18√2(392+136√2

2108√22