北京初二数学知识点与常见题型总结

第页知识点复习及基本题型总结1．平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形这个定义包含两层意义：①四边形；②两组对边分别平行2．对角线的定义平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线3．平行四边形的性质①从边看：平行四边形的对边平行且相等②从角看：平行四边形的对角相等，邻角互补③从对角线看：平行四边形的对角线互相平分，互相平分是指两条线段有公共的中点4．平行四边形的面积平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．5.平行四边形的判别方法①两组对边分别平行的四边形是平行四边形②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形③两组对边分别相等的四边形是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形6.平行四边形的性质及判定的区别平行四边形的性质是指平行四边形的边,角,对角线等所具有的大小或位置之间的关系,而平行四边形的判定是指四边形具有什么条件就是平行四边形7.矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形8.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质②矩形的四个角都是直角③矩形的对角线相等④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴9.矩形的判定①有一个内角是直角的平行四边形是矩形②对角线相等的平行四边形是矩形③有三个角是直角的四边形是矩形另外还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形10.直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半11.矩形对角线产生的三角形的特点矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形,两条对角线把矩形分成四个小的全等的等腰三角形12.有关矩形面积的计算①面积公式:矩形面积=长宽②如图.矩形的两条对角线相交于,则13.菱形的定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形14.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质②菱形的四条边都相等③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角④菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴15.菱形的判定方法①有一组邻边相等的平行四边形是菱形②对角线互相垂直的平行四边形是菱形③四条边都相等四边形是菱形16.有关菱形的面积计算由于菱形的对角线互相垂直平分,也可以用平行四边形的面积计算公式=底高17.正方形的定义一组邻边相等的矩形叫做正方形正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形18.正方形的性质正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质①边:四边相等,对边平行②角:四个角都是直角③对角线:互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线及边的夹角为④正方形是轴对称图形,有四条对称轴19.正方形的判定①菱形+矩形的一条特征②菱形+矩形的一条特征③平行四边形+一个直角+一组邻边相等说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形20.正方形对角线产生的三角形特点正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形21.正方形常用的辅助线添加方法①正方形中常连对角线,把四边形的问题转化为三角形的问题②有垂直时做垂线构造正方形③有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形来应用④利用旋转法将及正方形有关的题目的分散元素集中起来,从而为解决问题创造条件22.平行四边形,菱形,矩形,和正方形四者之间的关系23.梯形定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形的底:梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底梯形的腰:梯形中不平行的两边叫做梯形的腰梯形的高:梯形两底之间的距离叫做梯形的高等腰梯形:两腰相等的梯形直角梯形:一腰垂直于底的梯形24.梯形的判定①判定四边形一组对边平行,另一组对边不平行②一组对边平行但不相等的四边形是梯形25.等腰梯形的性质①两底平行,两腰相等②等腰梯形在同一底上的两个角相等③等腰梯形的两条对角线相等④等腰梯形是轴对称图形,只有一条对称轴,一底的垂直平分线是它的对称轴26.等腰梯形的判定①两腰相等的梯形是等腰梯形②在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形(以前出现,但是在新课标中没有出现的判定方法:对角线相等的梯形是等腰梯形)27.梯形的面积面积=（上底+下底）×高÷2．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线．梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半梯形辅助线的添法（图一）（图二）（图三）（图四）（图五）（图六）（图七）（图八）基础题型1．如图在平行四边形中，，求这个平行四边形各内角的度数解：四边形是平行四边形由于故设，则即解得因此，平行四边形各内角度数分别是，，，２．已知平行四边形的周长为，，相交于，且的周长比的周长小于，如图，求平行四边形各边的长解：四边形为平行四边形的周长＝的周长＝且的周长比的周长小于又平行四边形的周长为３．如图，已知：在平行四边形中，是对角线，于，于求证：证明：方法一：四边形是平行四边形方法二：连接，交于四边形是平行四边形，又，，而４．如图所示，在平行四边形中，，分别是，延长线上的点，且，则及具有怎么样的位置关系？试说明理由解：证明：方法一：在平行四边形中，，，又方法二．连接，交于在平行四边形中，，方法三．连接，交于，连接，由方法二知．，四边形为平行四边形５．如图，已知是平行四边形对角线的交点，，，，那么的周长为＿＿＿＿＿解：根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知的周长为６．如图平行四边形中，，，及交于，则该图形中的平行四边形的个数共有（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．由题意可知图中的平行四边形分别是：，，，，，，，，所以共有个７.如图，平行四边形中，平分交于，交的延长线于，，交于，交延长线于，垂足为，试证明：证明：四边形为平行四边形平分，８．如图，已知：，，分别在的各边上，，，延长到，使．求证：及互相平分．证明：连接，四边形是平行四边形又，而四边形为平行四边形及互相平分９．如图，已知是的边的中点，是上的一点，试说明：及互相平分证明：连接，四边形为平行四边形，是中点，四边形为平行四边形及互相平分．如图，点，分别在平行四边形的边，上，且，，，垂足分别为，，求证：及互相平分证明：连接，四边形是平行四边形四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）及互相平分．如图，及互相平分，交点为，及互相平分，交点为，那么，四边形是平行四边形么？你是怎么判定的？解：四边形是平行四边形证明：连接，，，，及互相平分四边形是平行四边形及互相平分四边形是平行四边形四边形是平行四边形.如图，已知,是的高，是的中点．求证：证明：，是的高，，均为直角三角形是的中点是斜边上的中线，是斜边上的中线.如图，先将矩形纸片对折一次折痕为，展开后又将纸片折叠使点落在上，此时折痕为，求度数的大小提示：根据题意得过点作，垂足为则，（直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，反过来也成立）.过矩形对角线的中点作分别交，于,，点为的中点，若，求证：证明：连接四边形是矩形是线段的垂直平分线是中点.在矩形，,，将矩形折叠，使点及点重合，折痕为，在展开，求折痕的长解：,由勾股定理可得根据题意有，设，由勾股定理，即解得（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）．已知：如图，是矩形对角线的交点，平分，，求的度数答案：提示为等腰直角三角形，为等边三角形，为等腰三角形，，.如图，为过的直角顶点的直线，且于，于点，，为的中点，求证：证明：连接为直角三角形，为斜边的中点，又，，为的中点，即又，（）总结：在直角三角形中，出现中点时，常见的辅助线是斜边上的中线以及中位线．如图是菱形边的中点，于，交的延长线于，交于，求证：及互相平分证明：四边形是菱形，即及互相平分方法二：连接，由，得，则且四边形为平行四边形及互相平分．如图，在中，，是的平分线，交于点，是边上的高，交于，于．求证：四边形是菱形证明：是的平分线是的平分线，，四边形是平行四边形平行四边形是菱形．菱形中，，如果它的一条对角线长为，求菱形的边长解：若对角线，如图四边形为菱形，且则为等边三角形菱形的边长为若对角线，如图四边形为菱形，且则为等边三角形又设，，由勾股定理可得，解得，综上所述：菱形的边长为或．如图，四边形是正方形，是的中点，是上的一点，且求证：证明：连接，设，则四边形是正方形，为中点在中，在中，在中，则，是直角三角形（到初三的时候此题还有额外的证明方法）．如图，过正方形对角线上一点，作于，作于，连接，．求证：，证明：连接，延长交于点四边形是正方形四边形为矩形（有三个角为直角的四边形为矩形）．如图正方形中，是的中点，，平分，交于求证：证明：取线段的中点，连接四边形为正方形为中点，为中点平分在及中思考：若点是线段上一个动点，其他条件不变，则上面的结论还成立么？请参考上面的解题思路，本题还有额外的证明方法，但是需要初三学习的知识，现在就不列举了．如图，在梯形中，，，，分别是，的中点，且，求证：梯形为等腰梯形证明：过分别作，的平行线交于，，易知四边形和四边形都是平行四边形，分别是，的中点是线段的垂直平分线故梯形是等腰梯形．已知等腰梯形中，，，，，求它的腰长解：方法一：过点作，交于点四边形为平行四边形四边形为等边三角形方法二过点作，垂足为，过点作，垂足为四边形为等腰梯形四边形为矩形．如图，在中，，平分，，点是的中点求证：①②证明：①延长交于点平分（）（又是高，又是角平分线，很容易联想到“三线合一”）点是的中点是三角形的中位线．如图，在梯形中，，，是中点求证：证明：取中点，连接由梯形中位线性质可知且基础知识达标一、精心选一选（每小题3分，共30分）1、在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4B．1：2：2：1C．2：2：1：1D．2：1：2：12、菱形和矩形一定都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线互相平分且相等3、下列命题中的假命题是（）A．等腰梯形在同一底边上的两个底角相等B．对角线相等的四边形是等腰梯形C．等腰梯形是轴对称图形D．等腰梯形的对角线相等4、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，能判定它是正方形的是（）A．AO＝OC，OB＝ODB．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDC．AO＝OC，OB＝OD，AC⊥BDD．AO＝OC＝OB＝OD5、给出下列四个命题⑴一组对边平行的四边形是平行四边形⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形⑶两条对角线互相垂直的矩形是正方形⑷顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6、下列矩形中按虚线剪开后，能拼成平行四边形，又能拼成直角三角形的是（）中中点中点中点ABCD7.顺次连结四边形各边的中点，所成的四边形必定是A．等腰梯形B．直角梯形C．矩形D．平行四边形8、如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有A．1对B．2对C．3对D．4对9、下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是A．菱形B．矩形C．正方形D．平行四边形10.等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8，则该等腰梯形的面积为A．16B．32C．64D．512二、耐心填一填（每小题３分，共30分）11、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。12、如图⑴已知O是□ABCD的对角线交点，AC＝24，BD＝38，AD＝14，那么△OBC的周长等于＿＿＿＿＿。ADBCADBCFE⑷ABDCO⑴ABDCE⑶ABDCO⑵13、在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D,则∠A＝＿＿＿，∠D＝＿＿＿。14、一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，则平行四边形各边长为＿＿＿＿cm。15、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm。6、菱形ABCD中，∠A＝60o，对角线BD长为7cm，则此菱形周长＿＿＿＿＿cm。17、如果一个正方形的对角线长为，那么它的面积＿＿＿＿＿＿。18、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOB＝60o,AB＝8,则矩形对角线的长＿＿。19、如图3,等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC＝8，AB＝6，AD＝5则△CDE周长＿＿＿。20、要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片，最多能剪出＿＿＿＿＿＿张。三、用心想一想（共40分）21、（8分）如图：在□ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25o，DADACBEADBCADBCABABDCFE60o⑴△BCE及△DCF全等吗？说明理由；⑵若∠BEC＝60o，求∠EFD。24、证明题：（8分）ABDCABDCFEABABDCFE参考答案1．D；2．C3．B4．B5．B6．B7．D8．C9．D10．C11．相等12．4513．∠A＝120o，∠D＝60o14．22.5，12.515．516．2817．118．1619．1520．321．解：∠BAD＝2∠DAE＝2×25o＝50o又∵□ABCD∴∠C＝∠BAD＝50o∴AD∥BC∴∠B＝180o－∠BAD＝180o－50o＝130o22．解：∵AD∥BC∴∠1＝∠2ADADBC123又AB＝DC得AB＝AD＝DC＝在△ADC中∵∠D＝120o∠1＝∠3＝又∠BCD＝2∠3＝60o∴∠B=∠BCD=60o∠BAD＝180o－∠B－∠2＝90o∠2＝30o则BC＝2AB＝2xAB＝4BC＝8在Rt△ABC中AC＝23．⑴△BCE≌△DCF理由：因为四边形ABCD是正方形∴BC＝CD，∠BCD＝90o∴∠BCE＝∠DCF又CE＝CF∴△BCE≌△DCF⑵∵CE＝CF∴∠CEF＝∠CFE∵∠FCE＝90o∴∠CFE＝又∵△BCE≌△DCF∴∠CFD＝∠BEC＝60o∴∠EFD＝∠CFD－∠CFE＝60o－45o＝15o24．证明：∵D、E分别是AC、AB的中点∴DE∥BC∵∠ACB＝90o∴CE=AB＝AE∵∠A＝∠ECA∴∠CDF＝∠A∴∠CDF＝∠ECA∴DF∥CE∴四边形DECF是平行四边形25．答条件AE＝AF（或AD平分角BAC，等）证明：∵DE∥ACDF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形又AE＝AF∴四边形AEDF是菱形。【综合能力过关】一、精心选一选（每小题3分，共30分）1、菱形具有而矩形不具有的性质是（）A.对角线互相平分；B.四条边都相等；C.对角相等；D.邻角互补2、关于四边形ABCD①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（）。A．1个B．2个C．3个D．4个3、能够判定一个四边形是菱形的条件是（）。Ａ．对角线相等且互相平分B．对角线互相垂直且互相平分C．对角线相等且互相垂直D．对角线互相垂直4、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线平分对角5、三角形的重心是三角形三条（）的交点A．中线B．高C．角平分线Ｄ．垂直平分线6、若顺次连结四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是（）A．菱形B．对角线相互垂直的四边形C．正方形D．对角线相等的四边形7、下列命题中，真命题是（）A．有两边相等的平行四边形是菱形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．四个角相等的菱形是正方形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形8、如右图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠C=60°，BD平分∠ABC．如果这个梯形的周长为30，则AB的长为（）．A．4B．5C．6D．7下列说法中，不正确的是（）．A．有三个角是直角的四边形是矩形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形10、如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）A．36oB．9oC．27oD．18o二、耐心填一填（每小题3分，共30分）11、平行四边形ABCD中，∠A=500，AB=30cm，则∠B=____，DC=____cm。12、平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD＝cm。13、若边长为4cm的菱形的两邻角度数之比为1∶2，则该菱形的面积为cm2。14、如图，△ABC中，EF是它的中位线，M、N分别是EB、CF的中点，若BC=8cm，那么EF=cm，MN=cm；15、若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为cm2。16、如右图，若梯形的两底长分别为4cm和9cm，两条对角线长分别为5cm和12cm，则该梯形的面积为cm2。17、在□ABCD中，若添加一个条件________，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件_______，则四边形ABCD是菱形．18、菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为_____cm，面积为______cm2．19、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=8cm，∠B=60°，则AB=_______cm．20、梯形的上底长为2，下底长为5，一腰为4，则另一腰m的范围是。三、用心想一想（共40分）21．（7分）.如图,平行四边形ABCD中,G是CD上一点,BG交AD延长线于E,AF=CG,.(1)试说明DF=BG;(2)试求的度数.22.（7分）已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形．23．（7分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点。求证：MN和PQ互相平分。2