样本空间与随机事件

第一章随机事件与概率在我们所生活的世界上，

充满了不确定性

从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化……，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性.如同物理学中基本粒子的运动、生物学中遗传因子和染色体的游动、以及处于紧张社会中的人们的行为一样，自然界中的不定性是固有的.这些与其说是基于决定论的法则，不如说是基于随机论法则的不定性现象，已经成为自然科学、生物科学和社会科学理论发展的必要基础.C.R.劳从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东西.他们没有认识到有可能去研究随机性，或者是去测量不定性.

概率作为一门数学学科，诞生于17世纪中叶，它来源于对机会游戏和赌博的研究。古典概率（帕斯卡和费马）分析概率（Demoivre和拉普拉斯）概率论体系（Kolmogorov）将不定性数量化，来尝试回答这些问题，是直到20世纪初叶才开始的.还不能说这个努力已经十分成功了，但就是那些已得到的成果，已经给人类活动的一切领域带来了一场革命.这场革命为研究新的设想，发展自然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道路.而且也改变了我们的思维方法，使我们能大胆探索自然的奥秘.概率论的研究对象

随机现象量的统计规律性一.随机现象在同一条件下,所观察的现象可能发生,也可能不发生.带有随机性、偶然性的现象.

当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个.而且在每次试验或观察前都无法确知其结果，即呈现出偶然性.或者说，出现哪个结果“凭机会而定”.随机现象的特点A.太阳从东方升起；B.明天的最高温度；C.上抛物体一定下落；D.新生婴儿的体重.我们的生活和随机现象结下了不解之缘.下面的现象哪些是随机现象？随机现象例随机现象是不是没有规律可言呢?否！在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性.思考：例如:一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等.再如:测量一物体的长度，由于仪器及观察受到的环境的影响，每次测量的结果可能是有差异的.但多次测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大多落在此常数的附近，越远则越少，因而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右基本对称”.二.随机试验对某一随机现象所做的一次观察或进行的一次实验,称为随机试验,简称试验.1.试验可以在相同条件下重复进行。2.每次试验可能出现的结果不止一个，但在试验之前不能肯定会出现哪一个结果。随机试验的特点：H

例如,

掷硬币试验掷一枚硬币，观察出正还是反.T掷骰子试验掷一颗骰子，观察出现的点数

三.随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，或简称为事件，通常用大写字母A,B,C…表示。“掷出2点”例如，在掷骰子试验中，首先，随机事件的发生具有偶然性,在一次试验中，可能发生，也可能不发生.

其次，在大量重复试验中，随机事件的发生具有某种规律性.随机事件的特点：事件基本事件复合事件（相对于观察目的不可再分解的事件）（两个或一些基本事件并在一起，就构成一个复合事件）事件B={掷出奇数点}如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.事件Ai

={掷出i点}

i=1,2,3,4,5,6必件然事例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必然事件;即在试验中必定发生的事件，常用S或Ω表示;

不件可事能即在一次试验中不可能发生的事件，常用φ表示.而“掷出点数8”则是不可能事件.两个特殊的事件：现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具.四.样本点和样本空间我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e或ω.全体样本点的集合称为样本空间.样本空间用S或Ω表示.样本点e.

S如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):其中样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型：在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现.如果试验是测试某灯泡的寿命：则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，S={t：t≥0｝故样本空间

如果一彩民购买体育彩票，一次只购买一张，直到中奖为止，观察其所买的奖券数，则样本空间

引入样本空间后，事件便可以表示为样本空间的子集.例如，掷一颗骰子，观察出现的点数S={i：i=1,2,3,4,5,6｝样本空间：事件B就是S的一个子集B={1,3,5｝B发生当且仅当B中的样本点1，3，5中的某一个出现.五.事件间的关系及其运算1.事件的包含：如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A。记为等价说法：如果事件B不发生，必然导致事件A也不会发生。即A中的每一样本点都包含于B中。2.事件的相等：如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A则称事件A与事件B相等。记为A=B3.事件的交（积）：事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积（交）事件。记为或AB即由事件A与B的公共样本点组成的集合4.互不相容事件：如果事件A与事件B不能同时发生，则称事件A与事件B为互不相容（互斥）事件。即即所有包含在A中的样本点与包含在B中的样本点全不相同。5.事件的并（和）：事件A与事件B至少有一个发生的事件称为事件A与事件B的并（和）事件。记为即由A与B中所有样本点组成的集合。6.事件的对立：事件A不发生的事件称为事件A的对立事件（或逆事件）。记为

7.事件的差：事件A发生，而事件B不发生，称为事件A与B的差。记为A-B即样本空间中所有不包含在A中的样本点组成的集合。即所有包含在A中而不包含在B中的样本点组成的集合。随机事件的运算律1.交换律:2.结合律:3.分配律:4.对偶原则:考虑某教育局全体干部的集合，令A为女干部，B为已婚干部，C为具有硕士学历的干部。（1）用文字说明，以及的含义。（2）用A,B,C的运算表示“硕士学历的单身女干部”，“不是已婚硕士的干部”。例1例2设A、B、C为三个随机事件,表示下列事件：1、A发生但B与C都不发生2、A与B都发生，而C不发生3、三个事件中恰好发生一个4、A、B、C中至少有一个发生5、A、B、C中至少有两个发生6、A、B、C都不发生7、A、B、C中不多于（最多）一个发生8、A、B、C中不多于两个（不都）发生注意：设A、B为任意两个事件，则

A∪B-A=B

错误A∪B-A因为请看下图事件的概率概率是随机事件发生可能性大小的度量

事件发生的可能性越大，概率就越大！研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.

事件发生的可能性最大是百分之百，此时概率为1.0≤P(A)≤1我们用P(A)表示事件A发生的概率，则

事件发生的可能性最小是零，此时概率为0.事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发生的可能性大小是其本身所固