2024届新教材二轮复习 　排列的综合问题 学案

2024届新教材二轮复习排列的综合问题学案素养导引1.进一步理解排列、排列数的概念.(数学抽象)2.能用排列知识解决综合的实际问题.(数学建模)学习任务一特殊元素与特殊位置问题(数学建模、数学运算)【典例1】(1)某班级从A,B,C,D,E,F六名学生中选四人参加4×100m接力比赛,其中第一棒只能在A,B中选一人,第四棒只能在A,C中选一人,则不同的选派方法共有 ()A.24种 B.36种 C.48种 D.72种【解析】选B.若第一棒选A,则有A42种选派方法;若第一棒选B,则有2A42种选派方法.由分类加法计数原理知,共有A42+2A4(2)杭州亚运会启动志愿者招募工作,甲、乙等6人报名参加了A,B,C三个项目的志愿者工作,因工作需要,每个项目仅需1名志愿者.若甲不能参加A,B项目,乙不能参加B,C项目,那么共有______种不同的选拔志愿者的方案.(用数字作答)

【解析】根据题意,分4种情况讨论:①甲、乙都不参加志愿活动,在剩下4人中任选3人参加即可,有A43=24②甲参加乙不参加志愿活动,甲只能参加C项目,在剩下4人中任选2人参加A,B项目即可,有A42=12③乙参加甲不参加志愿活动,乙只能参加A项目,在剩下4人中任选2人参加B,C项目即可,有A42=12④甲、乙都参加志愿活动,甲只能参加C项目,乙只能参加A项目,在剩下4人中任选1人参加B项目,有A41=4则有24+12+12+4=52种选拔方法.答案:52【思维提升】1.特殊位置分析法先满足特殊位置的要求,再处理其他位置,若有两个及以上的约束条件,则在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件.2.特殊元素分析法先满足特殊元素的要求,再处理其他的元素.提醒:当直接求解困难时,可考虑用间接法求解,即先不考虑限制条件,计算出排列总数,再减去不符合要求的排列数.【即学即练】1.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,不同的安排方法共有 ()A.20种 B.30种 C.40种 D.60种【解析】选A.根据题意,要求甲安排在另外两位前面,则甲有3种分配方法,即甲在周一、周二、周三,分3种情况讨论可得,甲在周一有A42=12种安排方法,甲在周二有A3甲在周三有A22=2种安排方法,总共有12+6+2=202.一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目,排出一个节目单,要求前3个节目中要有相声节目,有________种排法.

【解析】5个节目全排列减去后两个都是相声的排法,共有A55-A答案:108【加固训练】某年级举办线上小型音乐会,由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目丙必须排在节目乙的下一个,则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有________种.(用数字作答)

【解析】由题意知,甲的位置影响乙的排列,①甲排在第一位共有A44=24种,②甲排在第二位共有A3所以编排方案共有24+18=42种.答案:42学习任务二与数字有关的排列问题(数学运算、逻辑推理)【典例2】用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成__________个无重复数字的六位奇数.

【解析】方法一从特殊位置入手(直接法)分三步完成:第一步填个位,有A31种填法;第二步填十万位,有A41种填法;第三步填其他位,有A44种填法.故共有方法二从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A41种排法,从1,3,5中任选一个排在个位有A31种排法,其他各位上用剩下的元素作全排列有A44种排法,故共有方法三(间接法)6个数字的全排列有A66个,0,2,4在个位上的排列数为3A55个,1,3,5在个位上,0在十万位上的排列数有3A44个,故对应的六位奇数的排列数为A答案:288【一题多变】用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成__________个无重复数字且不大于4310的四位偶数.

【解析】①当千位上排1,3时,有A21②当千位上排2时,有A21③当千位上排4时,形如40××,42××的偶数各有A31个,形如41××的偶数有A21·A31个,形如43××故共有A21A31A42+A答案:110【思维提升】数字排列问题应注意的事项(1)首位数字不为0,若所选数字中含有0,则可先排0,即“元素分析法”.(2)若排列的是特殊数字,如偶数,则先排个位数字,即“位置分析法”.【即学即练】(2023·天津高二检测)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有________个.

【解析】根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是4,5其中1个,末位数字为0,2,4中其中1个;分两种情况讨论:①首位数字为5时,末位数字有3种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有A43=24种情况,此时有3×24=72②首位数字为4时,末位数字有2种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有A43=24种情况,此时有2×24=48共有72+48=120个.答案:120【加固训练】从集合{1,2,3,…,20}中任意选出3个不同的数,使这3个数成等差数列,这样的等差数列可以有多少个?【解析】设a,b,c∈N*,且a,b,c成等差数列,则a+c=2b,由此可以得出a+c应是偶数.因此从1到20这20个自然数中任选3个数成等差数列,则第一个数与第三个数必同时为偶数或同时为奇数,而1到20这20个自然数中有10个偶数和10个奇数,当第一个数a和第三个数c选定后,中间的数b也就唯一确定了,所以选法只有两类:①a与c都是偶数,有A102②a与c都是奇数,有A102根据分类加法计数原理知,选出3个不同的数成等差数列,这样的等差数列有A102+A102学习任务三“相邻”与“不相邻”问题(数学运算、逻辑推理)角度1“相邻”问题【典例3】(2023·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有 ()A.12种 B.24种C.36种 D.48种【解析】选B.因为丙丁要在一起,先把丙丁捆绑,看作一个元素,连同乙,戊看成三个元素排列,有A33种排列方式;为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式;注意到丙丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故安排这5名同学共有A3【思维提升】“捆绑法”解决相邻问题将n个不同的元素排成一列,其中k(k≤n)个元素排在相邻的位置上,求不同排法的种数的方法如下:(1)先将这k个元素“捆绑”在一起,看成一个整体;(2)把这个整体当成一个元素与其他元素一起排列,有An-(3)“松绑”,即将“捆绑”在一起的元素进行内部排列,其排列方法有Akk(4)由分步乘法计数原理知,符合条件的排法有An-角度2“不相邻”问题【典例4】(2023·德州高二检测)某夜市的一排摊位上共有9个铺位,现有6家小吃类店铺,3家饮料类店铺打算入驻,若要排出一个摊位规划,要求饮料类店铺不能相邻,则可以排出的摊位规划总个数为 ()A.A77C.A33【解析】选D.先排6家小吃类店铺,有A66种排法,再将3家饮料类店铺插入小吃类店铺形成的7个空位上,有A73种排法【思维提升】“插空法”解决不相邻问题将n个不同的元素排成一列,其中k(当n为奇数时,k≤n+12;当n为偶数时,k≤n2)个元素互不相邻(1)将没有不相邻要求的(n-k)个元素排成一排,其排列方法有An-(2)将要求两两不相邻的k个元素插入(n-k+1)个空隙中,相当于从(n-k+1)个空隙中选出k个分别分配给两两不相邻的k个元素,其排列方法有An-(3)根据分步乘法计数原理知,符合条件的排法有An-【即学即练】4名男生和3名女生站成一排.(1)男生相邻的站法有__________种.

(2)女生不相邻的站法有__________种.

(3)男、女生相间的站法有__________种.(用数字作答)

【解析】(1)将4名男生捆在一起视作一人,与3名女生全排列共有A44种排法,但4名男生之间有A44种排法,由分步乘法计数原理可知,共有A4(2)4名男生排好有A44种排法,女生插入男生形成的5个空位中有A53种排法.所以女生不相邻的站法有A44(3)如图,1男2男3男4男5男生排好后,形成5个空位,要使男女相间排列,女生应排在2,3,4号位,所以有A44A33答案:(1)576(2)1440(3)144【加固训练】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有 ()A.1440种 B.960种C.720种 D.480种【解析】选B.先将5名志愿者排好,有A55种排法,2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中,先将2位老人排好,有A22种排法,再把他们作为一个元素插入空隙中,有4种插法,所以共有4A2学习任务四定序问题(数学运算、逻辑推理)【典例5】将A,B,C,D,E这5个字母排成一列,要求A,B,C在排列中的顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻),则有多少种不同的排列方法?【解析】方法一(整体法):5个字母无约束条件的全排列有A55种排法,由于字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”或“C,B,A”,因此,在上述的全排列中恰好符合“A,B,C”或“C,B,A”排列方式的排法有A55方法二(插空法):若字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”,将字母D,E插入形成的4个空中,分两步:第一步,将D插入,有A41第二步,将E插入,有A51综上,有A41A同理,若字母A,B,C的排列顺序为“C,B,A”,也有20种不同的排列方法.因此,满足条件的排列方法有20+20=40(种).【思维提升】处理定序问题的基本方法(1)除阶乘法:n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素的顺序固定,则满足题意的排法有Ann(2)插空法:m个对象之间的先后顺序确定不变,因此先排这m个对象,只有一种排法,然后把剩下的n个对象分类或分步插入由以上m个对象形成的空隙中.【即学即练】在一次学校组织的研究性学习成果报告会上,有A,B,C,D,E,F共6项成果要汇报,如果B