2024届新教材二轮复习 　成对数据的统计相关性 学案

2024届新教材二轮复习成对数据的统计相关性学案素养导引1.了解变量间的相关关系.(数学抽象)2.能根据散点图,判断两个变量是否具有相关关系.(直观想象)3.了解相关系数的概念及公式,会判断相关性的强弱.(数据分析、数学运算)一、变量的相关系数(1)函数关系与相关关系分类函数关系相关关系特征两变量有确定的关系两变量有关系,但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度(2)散点图:将样本中的每一个编号下的成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来得到的统计图.(3)正相关与负相关正相关负相关当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减少的趋势(4)线性相关:两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近.思考相关关系和函数关系有何异同?提示:(1)相同点:都是两个变量间的关系.(2)不同点:函数关系是一种确定的关系;而相关关系是一种非确定关系.函数关系是一种因果关系;相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.二、样本的相关系数(1)样本相关系数:统计学里一般用r=∑i=1nxi-xyi-y∑i(2)样本相关系数的性质①取值范围:[-1,1];②当r>0时,称成对样本数据正相关,当r<0时,称成对样本数据负相关;③|r|越接近__1__,y与x相关的程度就越强;|r|越接近__0__,y与x相关的程度就越弱.

【批注】样本相关系数的统计含义(1)反映成对样本数据的相关的正负性.样本相关系数的正负性可以从整体上反映成对样本数据变化方向的异同.(2)反映成对样本数据线性相关的程度.样本相关系数r是从数值上来判断变量间的线性相关程度,是定量分析法.|r|刻画了样本点集中于某条直线的程度.[诊断]1.辨析记忆(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)匀速行驶的车辆的行驶距离与时间是相关关系. (×)提示:行驶距离与时间是函数关系.(2)散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段. (√)(3)两个变量的相关系数的绝对值越接近1,它们的相关性越弱. (×)提示:相关性越强.2.(多选题)(教材改编题)以下两个变量是正相关的是 ()A.学生的学籍号与学生的数学成绩B.坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数C.气温与冷饮销售量D.电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量【解析】选CD.对于A,学生的学籍号与学生的数学成绩没有相关关系;对于B,一般情况下,坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数是负相关关系;对于C,一般情况下,气温与冷饮销售量是正相关关系;对于D,一般情况下,电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量是正相关关系.综上所述,其中两个变量是正相关的是CD.3.根据一组数据判断两个变量是否线性相关时,应选 ()A.条形图 B.频率分布直方图C.散点图 D.频率分布折线图【解析】选C.判断两个变量是否有线性相关关系时,应先画出散点图.若这些点大体分布在一条直线附近,则具有线性相关关系.学习任务一用散点图判断相关关系(数学抽象)【典例1】(1)观察下列各图象,其中两个变量x,y具有相关关系的图象是 ()A.①② B.①④ C.③④ D.③【解析】选C.由题图可知,题图③中这些点大致分布在一条直线附近,具有线性相关关系;题图④中这些点大致分布在一条类似抛物线附近,具有相关关系;而题图①②中这些点分布不均匀,比较分散,不具有相关关系.(2)如图是根据x,y的观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10)得到的散点图,其中可以判断变量x,y具有线性相关关系的图是 ()A.①② B.①④ C.②③ D.③④【解析】选B.由题图知,②③的点呈片状分布,没有明显的线性相关关系;①中y随x的增大而减小,各点整体呈下降趋势,x与y是负相关;④中y随x的增大而增大,各点整体呈上升趋势,y与x是正相关.【思维提升】利用散点图判断相关关系(1)区分概念:根据定义区分函数关系和相关关系;(2)直观判断:观察散点图的分布、形态,判断两个变量的相关关系.【即学即练】(多选题)如图所示的两个变量不具有相关关系的是 ()【解析】选AD.A中两个变量是函数关系,不是相关关系,D中两个变量不具有相关关系.BC中的两个变量具有相关关系.学习任务二相关系数的概念(数学抽象)【典例2】(教材提升·例2)某统计部门对四组数据进行统计分析后,获得如图所示的散点图,关于相关系数的比较,其中正确的是 ()A.r4<r2<0<r1<r3B.r2<r4<0<r1<r3C.r2<r4<0<r3<r1D.r4<r2<0<r3<r1【解析】选C.根据散点图的特征,数据大致呈递增趋势的是正相关,数据大致呈递减趋势的是负相关;数据越集中在一条线附近,说明相关性越强,由题中数据,可知(1)(3)为正相关,(2)(4)为负相关;故r1>0,r3>0;r2<0,r4<0;又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线,故r1>r3,r2<r4,因此,r2<r4<0<r3<r1.【思维提升】关于相关系数的性质(1)关注三个关键点,0<r<1时正相关;-1<r<0时负相关;|r|越大相关性越强.(2)明确三种特例:r=0时没有相关关系;r=±1时变量为函数关系.【即学即练】下面各图中,散点图与相关系数r不符合的是 ()【解析】选B.对于A,散点图上所有点都在一条斜率小于0的直线上,所以相关系数r=-1,A不符合题意;对于B,散点图上所有点都在一条斜率大于0的直线上,所以相关系数r=1,B符合题意;对于C,散点图上所有点从左到右是向下的带状分布,所以相关系数-1<r<0,C不符合题意;对于D,散点图中,x,y之间的相关关系非常不明显,所以相关系数r=0,D不符合题意.学习任务三利用相关系数判断相关性(数学运算)【典例3】根据统计,某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据如表:x24568y34567(1)画出散点图,推断成对样本数据是否线性相关;(2)通过样本相关系数推断西红柿亩产量的增加量与液体肥料每亩使用量的相关程度和变化趋势的异同.【解析】(1)画出散点图,如图所示:从散点图看出,西红柿亩产量的增加量与液体肥料每亩使用量的样本数据呈现线性相关关系.(2)由题表知,x=15y=15∑i=15xi∑i=15xi2=22+42+5∑i=15yi2=32+42+5所以r=∑i=15xiyi可以推断,西红柿亩产量的增加量与液体肥料每亩使用量正线性相关,即西红柿亩产量的增加量与液体肥料每亩使用量有相同的变化趋势,且相关程度很强.【思维提升】关于相关系数的计算(1)公式的变形:r=∑i=1n(xi-(2)分步计算:先计算x,y,再计算公式中的各个因式,最后代入公式计算.【即学即练】流行性感冒(简称流感)是流感病毒引起的急性呼吸道感染,是一种传染性强、传播速度快的疾病.其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播.流感每年在世界各地均有传播.在我国北方通常冬春季流行,南方有冬春季和夏季两个流行高峰.某幼儿园将去年春季该园患流感的小朋友按照年龄与人数进行统计,得到如表数据:年龄x23456患病人数y2222171410计算变量x,y的样本相关系数r(计算结果精确到0.01),并判断是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关