2024届新教材二轮复习 　条件概率的性质及应用 学案

2024届新教材二轮复习条件概率的性质及应用学案素养导引1.通过对具体情境的分析,了解条件概率的性质.(数学抽象)2.能利用条件概率的定义及性质解决相关实际问题.(逻辑推理、数学运算)条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0,则①P(Ω|A)=1;②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);③设B和B互为对立事件,则P(B|A)=1-P(B|A).④任何事件的条件概率都在0和1之间,即:0≤P(B|A)≤1.[诊断]1.辨析记忆(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)已知事件A,B相互独立,则在事件B发生的条件下,事件AB与事件AB互为对立事件. (√)提示:因为P(AB|B)=P((AB)B)P(B)P(AB|B)=P((AB)B)P(B又因为P(A)+P(A)=1,所以在事件B发生的条件下,事件AB与事件AB互为对立事件.(2)设A,B是两个事件,P(A)>0,P(B)>0,则P(BA)P(AB)=1. (×)提示:因为P(B|A)=P(AB)P(A),P若P(B|A)P(A|B)=1,则P2(AB)=P(A)P(B),否则不成立.2.下列有关事件的说法正确的是 ()A.若P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,则事件A,B为对立事件B.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大C.若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)≤1D.若事件A,B,C满足条件P(A)>0,B和C为互斥事件,则P(B∪C|A)>P(B|A)+P(C|A)【解析】选C.若在不同试验下,虽然有P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,但事件A和B不对立.若在同一试验下,说明事件A和B对立.所以A错误;若事件A和B都为不可能事件,则B错误;A,B互斥,若A,B对立,则P(A)+P(B)=1,若A,B不对立,则P(A)+P(B)<1,C正确;若事件A,B,C满足条件P(A)>0,B和C为互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),则D错误.3.(教材改编题)已知某品牌的手机从1m高的地方掉落时,屏幕第一次未碎掉的概率为0.4,当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.2.则这样的手机从1m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为________.

【解析】若A表示第一次未碎掉,B表示第二次未碎掉,则P(A)=0.4,P(B|A)=0.2,所以掉落两次后屏幕未碎掉的概率P(AB)=P(A)P(B|A)=0.08.答案:0.08学习任务一条件概率的性质(逻辑推理)【典例1】(1)已知A,B分别为随机事件A,B的对立事件,P(A)>0,P(B)>0,下列说法正确的是 ()A.P(BA)+P(BA)=P(AB.若P(A)+P(B)=1,则A,B对立C.若A,B独立,则P(AB)=P(A)D.若A,B互斥,则P(AB)+P(BA)=1【解析】选C.对A,P(BA)+P(BA)=P(AB)+若A,B对立,则P(A)+P(B)=1,反之不成立,B错误;根据独立事件定义,C正确;若A,B互斥,则P(AB)+P(BA)=0,D错误.(2)已知事件A和B是互斥事件,P(C)=16,P(BC)=118,P(A∪BC)=则P(AC)=________.

【解析】由题意知,P(A∪BC)=P(AC)+P(BC)=89,P(BC)=P(BC)P则P(AC)=P(A∪BC)-P(BC)=89-13=答案:5【思维提升】关于条件概率的性质此类问题往往包含多个互斥的事件,分别将每个事件的条件概率求出来后相加,如果情况比较多,也可以求其对立事件的条件概率.【即学即练】已知P(A)=12,P(BA)=23,P(BA)=14,则P(B)=________,P(【解析】因为P(BA)=P(BA)P(A)=所以P(BA)=13因为P(BA)=P(BA)P(A),P(所以P(BA)=3所以P(B)=P(BA)+P(BA)=13+38P(B)=1-P(B)=724P(A|B)=P(AB)P(B),P(AB)=P(A)·P(B|所以P(AB)=187答案:1724学习任务二条件概率性质的实际应用(逻辑推理、数学运算)【典例2】(1)现有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取出的两瓶中有一瓶是蓝色,求另一瓶是红色或黑色的概率.【解析】设事件A为“取出的两瓶中有一瓶是蓝色”,事件B为“取出的两瓶中有一瓶是红色”,事件C为“取出的两瓶中有一瓶是黑色”,事件D为“取出的两瓶中有一瓶是红色或黑色”,则D=B∪C,且B与C互斥.又P(A)=C21C31+C22C5P(AC)=C21C故P(D|A)=P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=P(AB)P(A)+P故取出的两瓶中有一瓶是蓝色,另一瓶是红色或黑色的概率为67(2)一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病.在患有此种疾病的人群中,通过化验有95%的人呈阳性反应,而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应.某地区此种病的患者仅占人口的0.5%.若某人化验结果为阳性,问:此人确实患有此病的概率是多大?【解析】设事件A表示“呈阳性反应”,事件B表示“患有此种疾病”,则P(A)=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%.所以P(B|A)=P(AB)P(A【思维提升】条件概率性质的实际应用在应用条件概率的性质解决实际问题时,要特别注意性质的适用前提,如P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),前提是事件B和C是两个互斥事件.【即学即练】将质地、大小、形状完全相同的球分装三个盒子,每盒10个.其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中有红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一个球.若第二次取出的是红球,则试验成功.求试验成功的概率.【解析】设事件A表示“从第一个盒子中取得标有字母A的球”,事件B表示“从第一个盒子中取得标有字母B的球”,事件R表示“第二次取出的球是红球”,事件W表示“第二次取出的球是白球”,则P(A)=