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文档简介
2024届江苏省苏州新区实验中学高三下-入学考试数学试题试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知表示两条不同的直线,表示两个不同的平面,且则“”是“”的()条件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要2.过圆外一点引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程是().A. B. C. D.3.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.函数的部分图象如图中实线所示,图中圆与的图象交于两点,且在轴上,则下列说法中正确的是A.函数的最小正周期是B.函数的图象关于点成中心对称C.函数在单调递增D.函数的图象向右平移后关于原点成中心对称5.设复数满足,则()A. B. C. D.6.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F且EF=,则下列结论中错误的是()A.AC⊥BE B.EF平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值 D.异面直线AE,BF所成的角为定值7.已知是虚数单位,则()A. B. C. D.8.直线与抛物线C:交于A,B两点,直线,且l与C相切,切点为P,记的面积为S,则的最小值为A. B. C. D.9.函数的图象大致是()A. B.C. D.10.在平面直角坐标系中,将点绕原点逆时针旋转到点,设直线与轴正半轴所成的最小正角为,则等于()A. B. C. D.11.若等差数列的前项和为,且,,则的值为().A.21 B.63 C.13 D.8412.已知函数,则()A.函数在上单调递增 B.函数在上单调递减C.函数图像关于对称 D.函数图像关于对称二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数有且只有一个零点,则实数的取值范围为__________.14.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线(a>0)的一条渐近线方程为,则a=_______.15.在直角坐标系中,某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为,函数的图象经过该三角形的三个顶点,则的解析式为___________.16.如图,某市一学校位于该市火车站北偏东方向,且,已知是经过火车站的两条互相垂直的笔直公路,CE,DF及圆弧都是学校道路,其中,,以学校为圆心,半径为的四分之一圆弧分别与相切于点.当地政府欲投资开发区域发展经济,其中分别在公路上,且与圆弧相切,设,的面积为.(1)求关于的函数解析式;(2)当为何值时,面积为最小,政府投资最低?三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(1)解不等式;(2)若均为正实数,且满足,为的最小值,求证:.18.(12分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系;曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=1,曲线C2的参数方程为(θ为参数).(Ⅰ)求曲线C1和C2的极坐标方程:(Ⅱ)设射线θ=(ρ>0)分别与曲线C1和C2相交于A,B两点,求|AB|的值.19.(12分)在中国,不仅是购物,而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费,日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作,调查了腾讯服务的6000名用户,从中随机抽取了60名,统计他们出门随身携带现金(单位:元)如茎叶图如示,规定:随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”,其他为“非手机支付族”.(1)根据上述样本数据,将列联表补充完整,并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关?(2)用样本估计总体,若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户,这3位用户中“手机支付族”的人数为,求随机变量的期望和方差;(3)某商场为了推广手机支付,特推出两种优惠方案,方案一:手机支付消费每满1000元可直减100元;方案二:手机支付消费每满1000元可抽奖2次,每次中奖的概率同为,且每次抽奖互不影响,中奖一次打9折,中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析,选择哪种优惠方案更划算?附:0.0500.0100.0013.8416.63510.82820.(12分)已知数列和满足,,,,.(Ⅰ)求与;(Ⅱ)记数列的前项和为,且,若对,恒成立,求正整数的值.21.(12分)在中,角的对边分别为,且满足.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若的面积为,,求和的值.22.(10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).点在曲线上,点满足.(1)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求动点的轨迹的极坐标方程;(2)点,分别是曲线上第一象限,第二象限上两点,且满足,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】
根据充分必要条件的概念进行判断.【题目详解】对于充分性:若,则可以平行,相交,异面,故充分性不成立;若,则可得,必要性成立.故选:B【题目点拨】本题主要考查空间中线线,线面,面面的位置关系,以及充要条件的判断,考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题,关键是要弄清楚谁是条件,谁是结论.2、A【解题分析】过圆外一点,引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程为,故选.3、A【解题分析】
首先利用二倍角正切公式由,求出,再根据充分条件、必要条件的定义判断即可;【题目详解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要条件.故选:A【题目点拨】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,二倍角正切公式的应用是解决本题的关键,属于基础题.4、B【解题分析】
根据函数的图象,求得函数,再根据正弦型函数的性质,即可求解,得到答案.【题目详解】根据给定函数的图象,可得点的横坐标为,所以,解得,所以的最小正周期,不妨令,,由周期,所以,又,所以,所以,令,解得,当时,,即函数的一个对称中心为,即函数的图象关于点成中心对称.故选B.【题目点拨】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式,以及三角函数的图象与性质,其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式,再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,以及运算与求解能力,属于基础题.5、D【解题分析】
根据复数运算,即可容易求得结果.【题目详解】.故选:D.【题目点拨】本题考查复数的四则运算,属基础题.6、D【解题分析】
A.通过线面的垂直关系可证真假;B.根据线面平行可证真假;C.根据三棱锥的体积计算的公式可证真假;D.根据列举特殊情况可证真假.【题目详解】A.因为,所以平面,又因为平面,所以,故正确;B.因为,所以,且平面,平面,所以平面,故正确;C.因为为定值,到平面的距离为,所以为定值,故正确;D.当,,取为,如下图所示:因为,所以异面直线所成角为,且,当,,取为,如下图所示:因为,所以四边形是平行四边形,所以,所以异面直线所成角为,且,由此可知:异面直线所成角不是定值,故错误.故选:D.【题目点拨】本题考查立体几何中的综合应用,涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算,难度较难.注意求解异面直线所成角时,将直线平移至同一平面内.7、B【解题分析】
根据复数的乘法运算法则,直接计算,即可得出结果.【题目详解】.故选B【题目点拨】本题主要考查复数的乘法,熟记运算法则即可,属于基础题型.8、D【解题分析】
设出坐标,联立直线方程与抛物线方程,利用弦长公式求得,再由点到直线的距离公式求得到的距离,得到的面积为,作差后利用导数求最值.【题目详解】设,,联立,得则,则由,得设,则,则点到直线的距离从而.令当时,;当时,故,即的最小值为本题正确选项:【题目点拨】本题考查直线与抛物线位置关系的应用,考查利用导数求最值的问题.解决圆锥曲线中的面积类最值问题,通常采用构造函数关系的方式,然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.9、A【解题分析】
根据复合函数的单调性,同增异减以及采用排除法,可得结果.【题目详解】当时,,由在递增,所以在递增又是增函数,所以在递增,故排除B、C当时,若,则所以在递减,而是增函数所以在递减,所以A正确,D错误故选:A【题目点拨】本题考查具体函数的大致图象的判断,关键在于对复合函数单调性的理解,记住常用的结论:增+增=增,增-减=增,减+减=减,复合函数单调性同增异减,属中档题.10、A【解题分析】
设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为,由任意角的三角函数的定义可以求得的值,依题有,则,利用诱导公式即可得到答案.【题目详解】如图,设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为因为点在角的终边上,所以依题有,则,所以,故选:A【题目点拨】本题考查三角函数的定义及诱导公式,属于基础题.11、B【解题分析】
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求,,然后结合等差数列的求和公式即可求解.【题目详解】解:因为,,所以,解可得,,,则.故选:B.【题目点拨】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础题.12、C【解题分析】
依题意可得,即函数图像关于对称,再求出函数的导函数,即可判断函数的单调性;【题目详解】解:由,,所以函数图像关于对称,又,在上不单调.故正确的只有C,故选:C【题目点拨】本题考查函数的对称性的判定,利用导数判断函数的单调性,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】
当时,转化条件得有唯一实数根,令,通过求导得到的单调性后数形结合即可得解.【题目详解】当时,,故不是函数的零点;当时,即,令,,,当时,;当时,,的单调减区间为,增区间为,又,可作出的草图,如图:则要使有唯一实数根,则.故答案为:.【题目点拨】本题考查了导数的应用,考查了转化化归思想和数形结合思想,属于难题.14、3【解题分析】
双曲线的焦点在轴上,渐近线为,结合渐近线方程为可求.【题目详解】因为双曲线(a>0)的渐近线为,且一条渐近线方程为,所以.故答案为:.【题目点拨】本题主要考查双曲线的渐近线,明确双曲线的焦点位置,写出双曲线的渐近线方程的对应形式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.15、【解题分析】
结合题意先画出直角坐标系,点出所有可能组成等腰直角三角形的点,采用排除法最终可确定为点,再由函数性质进一步求解参数即可【题目详解】等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点,其中点与已有的两个顶点横坐标重复,舍去;若为点则点与点的中间位置的点的纵坐标必然大于或小于,不可能为,因此点也舍去,只有点满足题意.此时点为最大值点,所以,又,则,所以点,之间的图像单调,将,代入的表达式有由知,因此.故答案为:【题目点拨】本题考查由三角函数图像求解解析式,数形结合思想,属于中档题16、(1);(2).【解题分析】
(1)以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则,在中,设,又,故,,进而表示直线的方程,由直线与圆相切构建关系化简整理得,即可表示OA,OB,最后由三角形面积公式表示面积即可;(2)令,则,由辅助角公式和三角函数值域可求得t的取值范围,进而对原面积的函数用含t的表达式换元,再令进行换元,并构建新的函数,由二次函数性质即可求得最小值.【题目详解】解:(1)以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则,在中,设,又,故,.所以直线的方程为,即.因为直线与圆相切,所以.因为点在直线的上方,所以,所以式可化为,解得.所以,.所以面积为.(2)令,则,且,所以,.令,,所以在上单调递减.所以,当,即时,取得最大值,取最小值.答:当时,面积为最小,政府投资最低.【题目点拨】本题考查三角函数的实际应用,应优先结合实际建立合适的数学模型,再按模型求最值,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)或(2)证明见解析【解题分析】
(1)将写成分段函数的形式,由此求得不等式的解集.(2)由(1)求得最小值,由此利用基本不等式,证得不等式成立.【题目详解】(1)当时,恒成立,解得;当时,由,解得;当时,由解得所以的解集为或(2)由(1)可求得最小值为,即因为均为正实数,且(当且仅当时,取“”)所以,即.【题目点拨】本小题主要考查绝对值不等式的求法,考查利用基本不等式证明不等式,属于中档题.18、(Ⅰ),;(Ⅱ)【解题分析】
(Ⅰ)根据,可得曲线C1的极坐标方程,然后先计算曲线C2的普通方程,最后根据极坐标与直角坐标的转化公式,可得结果.(Ⅱ)将射线θ=分别与曲线C1和C2极坐标方程联立,可得A,B的极坐标,然后简单计算,可得结果.【题目详解】(Ⅰ)由所以曲线的极坐标方程为,曲线的普通方程为则曲线的极坐标方程为(Ⅱ)令,则,,则,即,所以,,故.【题目点拨】本题考查极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的转化,以及极坐标方程中的几何意义,属基础题.19、(1)列联表见解析,99%;(2),;(3)第二种优惠方案更划算.【解题分析】
(1)根据已知数据得出列联表,再根据独立性检验得出结论;(2)有数据可知,女性中“手机支付族”的概率为,知服从二项分布,即,可求得其期望和方差;(3)若选方案一,则需付款元,若选方案二,设实际付款元,,则的取值为1200,1080,1020,求出实际付款的期望,再比较两个方案中的付款的金额的大小,可得出选择的方案.【题目详解】(1)由已知得出联列表:,所以,有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关;(2)有数据可知,女性中“手机支付族”的概率为,,;(3)若选方案一,则需付款元若选方案二,设实际付款元,,则的取值为1200,1080,1020,,,,选择第二种优惠方案更划算【题目点拨】本题考查独立性检验,二项分布的期望和方差,以及由期望值确定决策方案,属于中档题.20、(Ⅰ),;(Ⅱ)1【解题分析】
(Ⅰ)易得为等比数列,再利用前项和与通项的关系求解的通项公式即可.(Ⅱ)由题
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