2023年江西省九江市高考数学二模试卷（文科）试卷及答案解析

2023年江西省九江市高考数学二模试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知复数Z满足反=?+权，则Z2=()

A1,口.D1y/~3.r16.n1,y/~3.

A.-+—lD.-----IC.--———lD.—L

2.已知集合4={久Z0},B={x\y=ln(x-则(。4)门8=()

A.(—1,0)B.0)C.(-2,-1)D.(—oo,-l)

tx+2y>1

3.已知实数x,y满足条件卜-y〈l，则z=3x-4y的最大值为()

(y-1<0

A.-7B.1C.2D.3

4.已知命题p：3x6/?,x2+2x+2-a<0,若p为假命题，则实数a的取值范围为()

A.(1,+00)B.[1,4-00)c.(-00,1)D.(-00,1]

5.正方体48CD—481GD1中，M是BG的中点，则直线DM与41c的位置关系是（）

A.异面垂直B.相交垂直C.异面不垂直D.相交不垂直

6.执行下边的程序框图，如果输入的是般=1,5=0,输出(w)

的结果为歌,则判断框中“”应填入的是（）

A.n<13

B.n>12

C.n<12

D.n<11

(3g)

7.已知双曲线C：/l（a,b>0）的左右焦点分别为&,F2，M是双曲线C左支上一点,

且MF】_LMF2，点&关于点M对称的点在y轴上，则C的离心率为（）

A.C+1B.Q+1C.<5+1D.V5-1

8.已知数列｛即｝的通项为即=，二2；，则其前8项和为（）

\Tl-r1）-1

9.定义在R上的奇函数f(x)在(0,+8)上单调递增，且/(一1)=0,则关于x的不等式<

0的解集为()

A.(-1,0)U(0,1)B.(-8,-1)u(0,1)

C.(-8,-1)U(1,+00)D.(-1,0)U(1,+8)

10.己知函数/(x)=sin(x+：)+|sin(x-》|,则下列结论正确的是()

A./⑶周期为兀，在g,等上单调递减

B.f(x)周期为2兀，在g片］上单调递减

C.f(x)周期为兀，在岁第上单调递增

D./(x)周期为2汗，在g片］上单调递增

11.青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制

工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如

图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，

可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长

轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切,

设切点为P,盘子的中心为。，筷子与大椭圆的两交点为4、B,点4关于。的对称点为C.给出

下列四个命题：

①两椭圆的焦距长相等；

②两椭圆的离心率相等；

③伊川=|PB|;

④BC与小椭圆相切.

其中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

12.设a=sing,b=y/-e—1>c=ln|,则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知向量G,另满足d=(1,2),S.d1(d—6)»则日•石=_

14.从边长为1的正六边形的各个顶点中，任取两个顶点连成线段，则该线段长度为2的概率

为一.

15.函数f（x）=4sin^x-|x-1|的所有零点之和为一.

16.根据祖胞原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面

所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图1所示，一个容器是半径

为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，

这两个容器的容积相等.若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同

.如图2,一个圆柱形容器的底面半径为4cm,高为10cm,里面注入高为1cm的水，将一个半

径为4cm的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为—cm.（注：冠“

1.26）

由2

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12.0分）

九江市正在创建第七届全国文明城市，某中学为了增强学生对九江创文的了解和重视，组织

全校高三学生进行了“创文知多少”知识竞赛（满分100）,现从中随机抽取了文科生、理科生

各100名同学，统计他们的知识竞赛成绩分布如下：

[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

文科生116234416

理科生92427328

合计1040507624

（1）在得分小于80分的学生样本中，按文理科类分层抽样抽取5名学生.

①求抽取的5名学生中文科生、理科生各多少人；

②从这5名学生中随机抽取2名学生，求抽取的2名学生中至少有一名文科生的概率.

（2）如果得分大于等于80分可获“创文竞赛优秀奖”，能否有99.9%的把握认为获“创文竞赛

优秀奖”与文理科类有关?

在锐角△4BC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,已知(a-b+c)(a-b-c)+ab=0,bcsinC=

SccosA+3acosC.

(1)求c；

(2)求a+b的取值范围.

19.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱4BC-&B1C1中，AC，平面44出8,乙4B&=今AB=1,AC=AAX=2,

。为棱8名的中点.

(1)求证：4。1■平面4G。；

(2)若E为棱BC的中点，求三棱锥E-ACi。的体积.

20.(本小题12.0分)

已知P是抛物线E：M=2py(p>0)上一动点，Q(0,3)是圆M：(x-I/+(y-zn)2=1上一

点，|PQ|的最小值为2/9

(1)求抛物线E的方程；

(2)N(a,b)是圆M内一点，直线I过点N且与直线MN垂直，，与抛物线C相交于&两点，与

圆M相交于4，①两点，且141A3l=l&A』当a+b取最小值时，求直线的方程.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=ex~a—x—sinx,a&R.

(1)当a=0时,证明：/(%)>0；

(2)当a=1时，判断/(x)零点的个数并说明理由.

22.(本小题10.0分)

在直角坐标系xOy中，已知直线，的方程为Sx+Sy+1=0，曲线C的参数方程为

卜=烹(a为参数).以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(y=tana

(1)求直线/的极坐标方程和曲线C的普通方程；

111

(2)设直线y=>0)与曲线C相交于点4B,与直线/相交于点C,求;^的

\UA\|uo|\UC|

最大值.

23.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=2|x-1|+|x-a|(aG/?).

(1)若/(x)的最小值为1,求a的值；

(2)若/(x)<a\x\+6恒成立，求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：TZ=；-?i，

213<3.1<3.

故选：C.

在iz=?+夕两边乘以T即可求出Z,进而求出z2即可.

本题考查了复数的乘法运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：由x-工>0n-1)>0-x>1,或一l<x<0,

XX

因为A={x\x>0},所以CRA=x\x<0},

所以CR4)C8=(-1,0).

故选：力.

根据对数的性质，结合集合交集和补集的定义进行求解即可.

本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：由约束条件可得可行域的区域，如图所示,

因为z=3x-4y,可转化为丫=*尤-32,平移直线y=—*z,

结合图像可得，当直线，过点4时，z取得最大值，

■孚1解得:二:即点A。。)，

所以Zma%3x1-0=3.

故选：D.

根据题意，作出可行域，结合图像可知，当2；y=:x-Jz经过点4时，z最大，即可得到结果.

44

本题主要考查简单线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：因为命题p：3%GR,x2+2x+2-a<0,

所以->p：Vx6R,x2+2x+2—<2>0,

又因为p为假命题，所以「p为真命题，

即VxGR,x2+2x+2-a>0恒成立，

所以ZS0,即2Z-4(2-a)W0,

解得a<1.

故选：D.

先由p为假命题，得出rp为真命题，即Vx€R,/+2刀+2—a20恒成立，由4W0,即可求出

实数a的取值范围.

本题主要考查了符合命题真假关系的应用，属于基础题.

5.【答案】B

D

【解析】解：如图，因AiBJ/CO,且&勺=CD,\------------aA।

则四边形为B1CD为平行四边形，故8传〃&。.c/l\\

又Me/C,则DM与&C共面相交.设DM与41c相交于E.卜j'

又设正方体棱长为2,则MC=C,A、D=MD=C,A、C=/金钱二....J

2日上、/

MFCFMT1L

注意到△MCEsAD&E,则缁=詈=箸=义，

x

CL/D/l|L

则可得ME=?,CE=^.

因ME?+CE2=|+g=2=MC2,则DM_L&C,

即DM与&C的位置关系是相交垂直.

故选：B.

如图，通过证明B]C〃&D,可得LW与&C共面相交，后利用三角形相似可得。M与&C的位置关

系.

本题主要考查了空间中两直线位置关系的判断，属于中档题.

6.【答案】C

【解析】解：根据程序框图，输入n=LS=0,则S=g,满足循环条件，n=2,n=2,S=',

满足循环条件，n=3,...，n=12,S=^|,

4096

不满足循环条件，输出结果.故A,B,£＞错误.

故选：C.

利用程序框图的循环结构，不断循环直到满足为止.

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是

基础题.

7.【答案】A

【解析】解：设点F]关于点M对称的点为凡则=

又1MF2,则^FzF/为等腰三角形，则尸尸2|=|入F2],

•••|OFi|=|OFz|,IFF/=|FF2|,

则尸Fil=\FF2\=I&F2I，△F2F1尸为等边三角形,

22

「I&F2I=2c,A\MF1\=加用=c,\MF2\=7(2c)-c=，3c，

由双曲线的定义，得||MFi|-|MF2ll=2a，BP(^-l)c=2a.

e=-=1=+1；

av3-1

故选：A.

由题意得ABFiF为等边三角形，可得|M&|=c，IMF2I=Cc,再根据双曲线的定义IIMFil-

\MF2\\=2a,即可得出答案.

本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解：W=忌工=忌方=忌两=；(；一+),

所以前8项和为*1―：+»"+…+W)=*1+：_1一•=奈

故选：D.

运用裂项相消法进行求解即可.

本题主要考查了裂项相消法求和，属于基础题.

9.【答案】A

【解析】解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0,+8)上-'j|/

单调递增，//

所以/(x)在(一8,0)上单调递增，且f(0)=0,/(I)=0,//

可画出其大致图像，如图所示，_____//_________

。/1?

因为<0,/|/

所以当x>0时，/(x)<0,解得0<x<l,

当x<0时，/(x)>0,解得-l<x<0,

当x=0时，显然不合题意，

所以不等式X/(x)<0的解集为(-1,0)U(0,1),

故选：A.

先由/(无)为R上的奇函数，在(0,+8)上单调递增和八一1)=0得出，/(x)在(-8,0)上单调递增，

且"0)=0,/(I)=0,画出大致图像，分类讨论x的取值，即得出不等式的解集.

本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题.

10.【答案】B

【解析】解：当2krt<x—^<2kn+n(k6Z)时，即2/CTT+^<x<2kn+竽(keZ),

/(x)=sin(x+力+|sin(x—^)|=sin(x+；)+sin(x—^)=y/~2sinx,

显然该函数此时在与号上单调递减，

当2/C7T+7r<x-^<2k7r+2n(kGZ)时，即2/OT+”〈xW2/OT+学(k6Z),

444

/(x)=sin(x+.)+|sin(x—；)|=sin(x+；)-sin(x-；)=y/~2cosx,

因此函数的周期为2兀，在碍样］上单调递减.

故选:B.

根据正弦型函数的正负性、单调性，结合两角和差的正弦公式进行求解即可.

本题主要考查正弦函数的周期性与单调性，考查运算求解能力，属于中档题.

11.【答案】B

【解析】解：设大、小椭圆的长轴长之比与短轴长之比均为「(2>1),

设点尸(&/0)、4(%，%)、8(%2，丫2)，

以椭圆的中心为坐标原点，椭圆的长轴、短轴所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角

坐标系，

设小椭圆的方程为］=l(a>b>0,c=y/a2—b2),

则大椭圆的方程为鸟+马=4,

对于①，大椭圆的焦距长为2焦高二2/=2Cc>2c，两椭圆的焦距不相等，①错；

对于②，大椭圆的离心率为c；J而2Tb2=「c=C,则两椭圆的离心率相等，②对；

y/~AayT~Aaa

对于③，当直线与坐标轴垂直时，则点小8关于坐标轴对称，此时点P为线段48的中点，合

乎题意，

当直线4B的斜率存在且不为零时，设直线的方程为y=kx+m,

联立*27n22入2可得(k2a之+h2)%2+2a2kmx+a2(m2—b2)=0,4=4a4k2m2—

\})x+ay=a〃'

4a2(m2—62)(fc2a2+b2>)=0,可得?n?=攵2a2+52,

叶府_a2km_a2km_ka2

此时'Xv°~m2-m'

联立LJ：a^y2-4a2b2可得(炉必+/)%?+2a2kmx+a2(m2-Ab2)=0,

由韦达定理可得/+%2=一期争=一蒋袈=一警=2/，即点P为线段4B的中点，

综上所述,\PA\=\PB\,③对；

对于④，当点P的坐标为(0,b)时，将y=b代入务m=a可得％=±a/T^l.

不妨取点4(a>/4—l,b)、B(—Z4-Lb)，则C(-a/l^T,—b)，

若；l力2,则直线BC的方程为x=-a，7^T，此时直线BC与椭圆不相切，④错.

故选：B.

设大、小椭圆的长轴长之比与短轴长之比均为V7(2>1)，设点2(々，丫。)、A(xi，乃)、S(x2,y2),

建立平面直角坐标系，利用椭圆的几何性质可判断①②；利用直线与椭圆的位置关系，结合韦达

定理可判断③的正误：取P(0,b)以及;IM2,可判断④的正误.

本题主要考查椭圆的性质，考查转化能力，属于中档题.

12.【答案】B

【解析】解:将|用变量工替代,则。=$讥%,b=ex-l,c=ln(x+1),其中xe(0,1),

令f(x)=sinx—ln(x+1),则/''(x)=cosx-

令g(x)=f'O)=cosx-告，则g'(x)=sinx+蜷讲，

易知在(0,1)上单调递减，且g'(0)=1>0,g'⑴=［一sinl<0,

3x06(0,1),使得g'Qo)=o,

当％E(O,%o)时，g'Q)>0，/'(%)单调递增；当％E(%o，l)时,g'Q)VO,/'(%)单调递减.

又((0)=0,/(l)=cosl—；>0,.・.f'(x)>0,・・・/(x)在(0,1)上单调递增，

・•・/(%)>f(0)=0,即s)%>|n(x+1),sing>ln(1+1),Q>c,

记九(%)=ex—(sinx+1),xG(0,1),则九'(%)=ex-cosx>0,九(%)在(0,1)上单调递增,

又九(0)=e°—(sinO+1)=0,所以九(：)>九(0)=0,・,•以点—1>sin-»b>a.

Z2

综上，b>a>c.

故选：B.

分别构造函数/(x)=sinx-In(x+1)和h(x)=ex-(sinx+1),利用导数讨论其单调性可得.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于中档题.

13.【答案】5

【解析】解：因为d_L(,-励，且N=(1,2),

所以小@一片)=0-即为方=|为『=(12+22)=5.

故答案为：5.

根据题意，由向量垂直可得其数量积为0,列出方程，即可得到结果.

本题主要考查了平面向量的数量积运算，属于基础题.

14.【答案】2

任取两个顶点连成线段，所有的线段有：AB.AC.AD.AE.AF.BC、BD、BE、BF、CD、CE、

CF、DE、DF.EF,共15条，

其中长度为2的线段有：AD.BE、CF,共3条，

故所求概率为P=得=/

故答案为:

列举出所有的线段，并列举出长度为2的线段，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题.

15.【答案】6

【解析】解：令/(工)=0,得4sin]x=|x-1|,

令g(x)=/i(x)=|x-1|,

可知g(x)的周期7=开=4,对称轴x=l+4/c,fcGZ,

2

且/l(x)的对称轴X=1,

作出g(x)=4sin］x和/i(x)=\x-1|的图象如图所示：

g(尤)=45讥枭在(5,4)处的切线为丫轴，二f(x)在(4,5)上存在零点，

同理f(x)在(—3,—2)上存在零点，所以f(x)在［-3,5］上存在6个零点，

因为g(x)和h(x)的函数图象关于x=1对称，则/")零点关于x=1对称，

所以f(x)的所有零点之和为6x1=6.

故答案为：6.

将零点问题转换成g(x)=4sin|x,/i(x)=|x-1|两个函数的交点问题，作图即可求出零点，且

g(x)和八(x)的函数图象关于x=1对称，零点也关于久=1对称，即可求出所有零点之和.

本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】1.48

【解析】解：设铁球沉到容器底端时，水面高度为九，

由图2可知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积，

由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于相应圆柱的体积，

故容器内水的体积等于相应圆台的体积，

•••容器内水的体积为U次=7TX42X1=1671,

3

相应圆台的体积为力X7TX42X4-1x7TX(4-/l)X(4-/l)=等_/一？7r

•1•167r=^",解得力=4—V16=4—2V2«4—2X1.26-1.48cm.

故答案为：1.48.

利用祖眶原理，可得祖兀=孚一(4f)%求解即可.

33

本题考查空间几何体的体积，考查转化能力，属中档题.

17.【答案】解：(1)①得分小于80分的学生中，文科生与理科生人数分别为：40和60,比例为2：

3,

所以抽取的5人中，文科生2人，理科生3人.

②这5名学生有2人是文科生，记这两人为a,b,3人是理科生，记这三人为1,2,3,

随机抽取两名同学2人包含的基本事件有：

(a,b),(a,l),(a,2),(a,3),(瓦1),(瓦2),(瓦3),(1,2),(1,3),(2,3),共10个，

其中至少有一名文科生情况有7种:(a,b),(a,l),(a,2),(a,3),(6,2),(瓦3),

因此抽取的2名学生至少有一名文科生的概率为P(A)=看；

(2)由题中数据可得如下联表：

创文竞赛优秀奖未扶优秀奖合计

文科生6040100

理科生4060100

合计100100200

200x(60x60-40x40)2

贝小==8<10.828,

100x100x100x100

所以没有99.9%的把握认为获“创文竞赛优秀奖“与文理科类有关.

【解析】(1)求出抽取的5人中文科生2人，理科生3人，再利用列举法求出概率作答;

(2)先列联表，求出K2的观测值，再与临界值表比对作答.

本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立性检验的应用，属于基础题.

18.【答案】解：(l)(a-b+c)(a-b-c)+ab=0,

则M+b2—c2=ab,

由余弦定理可得，cosC=《i『=L

•・,C6(0,7T),

-C--

-3

•・•bcsinC=3ccosA+3acosC,

csinBsinC=3sinCcosA+3sinAsinC=3sin(A4-C)=3sinB,

vsinBW0,

•••csinC=3,BPc=-sirn-Cz=2V-3;

abc2V-3.

(2)由正弦定理可知，丽=诉=赤=巨=4,

2

则a=4sinA,b=4sinB,

・•・Q+b=4(sinA+sinB)=4[sinA+sin(与—A)]=4(sinA+cosA+^sinA')=4-\/~~3sin(i4+

兀jA/7r

，石</v2,

・・

•—L<sin(>1O+7)<1»

故a+b的取值范围为(6,4d

【解析】(1)由(a-b+c)(a-b-c)+ab=0得出C=与，再利用正弦定理，两角和的正弦公式

及诱导公式，将bcsinC=3ccosA+3acosC转化为sEB•c,?=3sinB，即可求出答案；

(2)利用正弦定理，将a+b转化为4sin4+4sinB,再根据三角形内角和得出B=与-4再结合

三角函数的恒等变换，以及角4的取值范围，即可求解.

本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)证明：已知448当=•AB=1,441=2,

则=AAj=2,A1B1--AB=1,Z.DB1A1=兀一g=等

又。为棱BBi的中点，则/。=BD==1,

所以△ABD为等边三角形，△AiBi。为等腰三角形，

则NBD4=J血。&=|(7r-y)=^，

所以44041=71-乙BDA-Z.B1DA1=即AD1A^,

因为AC1平面4&B1B,ADu平面44/iB,

所以AC14D,即41cll.4。，又&Ci=4i，4的，u平面①的。，

所以4。1平面&C1。；

(2)由(1)可知，AD=1,

由AC1平面&GD,CRu平面46。，

所以40_LGD,则△4G。为直角三角形，

由AC，平面44/iB,AAru平面4418道,

所以4OL41，所以41cliA4,

因为a。1=44=2,所以在RtA44C中，AC1=J4/+=&=2M,

则在Rtz\4Ci。中，CjD=J力弓-W=所以S-Q。=，，

连接AB】，已知NAB/=1,AB=1,B&=2,

22

由余弦定理|4%|2=\AB\+\BBr\-2AB-BBrcosNABB[=1+4-2x1x2xj=3.

满足|8当|2=|48『+|481|2,所以4B4BI=3即ABIABI，

而AC-L平面4&B1B,所以4B,ABX,4c两两垂直，

所以AB,AC,A%的正方向分别为x,y,z轴，建系如图，

则4(0,0,0),F(1,l,0),D(|,0,^).Cj(-1,2,73).

所以荏=咳,1,0),而=弓,0,?),温=(一1,2,43)，

设记=(%,y,z)为平面4G。的一个法向量，

则卜吧=呆+畀=。，取元=(_口一口1),

n•4G=-%+2y+\/~3z=0

所以点E到平面AC1。的距离d=叵皿1=1ZX22!=红红，

|n|口14

则三棱锥E-4G。的体积V=•d=4X?x等=?.

【解析】(1)由题意可得△4BD为等边三角形，△4/1。为等腰三角形，进而证明力。，40,利用

线面垂直的性质可得ZC1AD,再利用线面垂直的判定即可证明4。1平面4GD；

(2)由⑴△4G。为直角三角形，求出其面积，连接AB1，以4为原点，AB,4C,4当的正方向为X,

y,z轴建立空间直角坐标系，求出荏=(；,1,0)和平面ZGD的一个方向量元1),

利用点到平面的距离公式即可求出高，在根据锥体的体积公式即可求解.

本题考查线面垂直的证明，线面垂直的判定定理，向量法求解点面距问题，三棱锥的体积的求解,

属中档题.

20.【答案】解：(1)取PQ,分则|PQ|=Ix2+(3_1i)2=

因为|PQ|的最小值为2。，

故'=表x4+(1一令+9的最小值为8,

令t=刀220,则y=看/+(1+9520的最小值为8,

因为丫=白产+(1-1)t+9开口向上，对称轴t=~—r=2P(3-p),

P2X—4Pz

且p>0,则有：

1o

若2P(3—p)SO,即p23时，当t=0时，y=唠£2+(1一,+9取到最小值%不合题意；

若2P(3—p)>0,即0<p<3时，当t=2p(3—p)时，、=表产+(1一》£+9取到最小值一(3-

p)2+9=8,解得p=2或p=4(舍去)；

综上所述：p=2,

所以抛物线E的方程/=4y.

(2)已知Q(0,3)是圆M：(工一1产+(y—m)2=1上一点，所以(0_i)2+(3_m)2=1,解得机=3,

所以圆M：(X—1产+0-3)2=1,圆心"(1,3),半径r=l,

因为N(a,b)是圆M内一点，当直线MN的斜率不存在时，直线2垂直于y轴，不可能有N1/I3I=

所以直线MN的斜率存在且不为0,kMN=所以直线，的斜率4=一六=港，

设直线I的方程为y-b=^(x-a),联立抛物线方程式=4y,

D—5

2

可得(b—3)x+4(a—l)x+4a(1—a)—4b(b—3)=0,则％1+x2=—华字，

x

设Aia,%),A2(X2,y2)f&(%3，、3)，^4(4>y4)»

已知I&A3I=|i42i44|,则|%1—x3\=|%4—所以％1+久2=久3+%4①，

由于匕+/=2a，所以一架字=2。=b=1+，，

当a+b取最小值时•，即Q+b=a+l+[zi+2Ja,~=1+2/2(当且仅当Q=即a=

时等式成立)，

此时b=1+2=1+。，所以k=「J7=¥，

a1+。-32

故直线1的方程为y-(1+=?(%-V-2)，整理得％-y/~2y+2=0.

【解析】(1)取P(x,分则|PQ|=J表「4+(1_》/+9,利用二次函数的性质求最值即可得

到p=2,进而求出抛物线方程；

(2)根据题意求出圆M的方程，即可得到直线MN的斜率，利用垂直关系求出直线/的斜率，得到直

线I的方程，联立抛物线可得3-3)x2+4(a-l)Y+a(l-a)-b(b-3)=0,由韦达定理可知

%1+x-_1),根据圆的性质可知％3+X=2a,将H1A3I=M2A4I转化为与+X=x3+x4•

2华D—；542

求得b=1+1，利用均值不等式可知a=C时a+b取最小值，进而求出b,即可得到直线方程.

本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于难题.

21.【答案】解：(1)证明：当Q=0时，/(x)=ex-x-sinx,

x

设g(%)=e—x,/i(x)=sinx,xERf

则g'(x)=e%-1,

令g'(%)=3解得％=0,

所以当％E(-8,0)时，g'(%)V0,即g(x)在(-8,0)上单调递减,

当工€(0,+8)时，g\x)>0,即g(%)在(0,+8)上单调递增，

所以g(x)>g(0)=1，

因为八(%)=sinxe[—14],

所以g(%)>九(%)，

又因为=0(0)=1，ft(0)=sinO=0,即g(0)>h(0),

所以g(x)>h(x)>即e*—x>sinx,

所以f(%)=ex-x—sinx>0.

(2)当Q=1时，/(%)=ex-1—x—sinx,

令/(x)=0，得—%—sinx-0,—x=sinx,

设gQ)=e"T-%,h(x)=sinx,

则g'(x)=e*T—1,令g'(x)=0,解得%=1,

当％6(一8,1)时，/(%)<0,则g(x)在(-8,1)上单调递减,

当％G(1,+8)时，g<x)>0,则g(x)在(1,+8)上单调递增,

所以gQ)>g(l)=0,

在同一直角坐标系中，画出g(x)和伏久)的简图，如图所示，

当xe[-也1],g(x)单调递减,九。)单调递增,且g(一1)＞/!(_3,g⑴＜九⑴,

则g(x)与九(X)在[一有一个交点；

当xe(l,»以无)单调递增，心)单调递增，且g6)＜/i⑴，

则g(x)与九(X)在(1，个没有交点；

当xeg,网，g(x)单调递增，依)单调递减，且96)＜帖)，9(兀)＞九(兀)，

则g(x)与/i(x)在有扪有一个交点；

因为9(兀)=e7rt-兀＞1,且g(x)在(汗,+8)上单调递增，h(x)e[-1,1],

所以当％e(兀,+8)时，g(%)＞/i(x),即g(%)与八(%)在(7T,+8)无交点；

因为g(一刍=e-＞且g(x)在上单调递减，/i(x)G[-1,1],

LL4

所以当Xe(一8,一今时，g(x)＞/i(x),即g(x)与九(x)在(-8,-令无交点；

综上所述，g(x)与攸%)共有2个交点，

即f(x)有2个零点.

【解析】(1)当Q=0时，/(x)=ex—x—sinx,设g(%)=e"—%,/i(x)=sinx,x£R,由g'(%)说

明g(x)Ng(0)=1,则g(%)N/i(x),由g(0)>“0),得出g(%)>九(%),即可证明结论；

(2)当Q=1时，/(%)=ex~r—x—sinx,设g(%)=e*T—%,h(x)=sinx,由g'(%)确定g(欠)的增

减区间，画出g。)和九(%)的简图，分区间讨论g(%)和九(%)交点情况，即可得出了(%)的零点个数.

本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查函数的零点，考查分类讨论思想以及运算求解

能力，属于中档题.

22.【答案】解：⑴由极坐标与直角坐标的关系：［j：Pcos，，代入/方+，9+1=0,

U—Psin0

1i

可得/Ipcos。+y/~2psine+1=0，即有P=一吃记而硒=-2sE(e+$；

曲线C的参数方程为卜=£(a为参数)，可得/—一斗=喀=1，

(y=tanacoszacoszacosza

即曲线C的普通方程为/—y2=1;

(2)解法一：直线y=kx(k>0)的极坐标方程为。=a(0<a<夕,

设4(Pi，a),贝!|B(P2，TT+a),C(p3,a)(0<a<^),

6

由/_y2=1,俨=Pcos

极坐标与直角坐标的关系:ly=Psin0'

可得曲线C的极坐标方程为p2=$,

COSZ.U

所以Pf百

贝U--?-----2=三+-7=2co