黑龙江省哈九中2024届高三最后一次适应性考试数学试题试卷

黑龙江省哈九中2024届高三最后一次适应性考试数学试题试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体EBCD的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得；（3）设二面角的平面角为，则；（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是()A． B．2C． D．3．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用列联表，由计算得,参照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正确结论是()A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”4．将函数的图象分别向右平移个单位长度与向左平移(>0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则的最小值为()A． B． C． D．5．命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（）A． B． C． D．6．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．设i为虚数单位，若复数，则复数z等于()A． B． C． D．08．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A． B． C． D．10．已知定义在R上的偶函数满足，当时，，函数（），则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为（）A．2 B．4 C．5 D．611．下列命题是真命题的是（）A．若平面，，，满足，，则；B．命题：，，则：，；C．“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”.12．设非零向量，，，满足，，且与的夹角为，则“”是“”的（）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，、的坐标分别为，，且满足，为坐标原点，若点的坐标为，则的取值范围为__________.14．已知两个单位向量满足，则向量与的夹角为_____________.15．已知，，，，则______.16．已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆，点，点满足（其中为坐标原点），点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为，若不经过点的直线与椭圆交于两点.且与圆相切.的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.18．（12分）已知数列是公比为正数的等比数列，其前项和为，满足，且成等差数列.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的值.19．（12分）已知，函数有最小值7.（1）求的值；（2）设，，求证：.20．（12分）已知，均为给定的大于1的自然数，设集合，．（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；（Ⅱ）当时，，且集合满足下列条件：①对任意，；②．证明：（ⅰ）若，则（集合为集合在集合中的补集）；（ⅱ）为一个定值（不必求出此定值）；（Ⅲ）设，，，其中，，若，则．21．（12分）已知都是各项不为零的数列，且满足其中是数列的前项和，是公差为的等差数列．（1）若数列是常数列，，，求数列的通项公式；（2）若是不为零的常数），求证：数列是等差数列；（3）若（为常数，），．求证：对任意的恒成立．22．（10分）如图，在正四棱柱中，已知，.（1）求异面直线与直线所成的角的大小；（2）求点到平面的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

解：对于（1），当CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，进一步可得AE＝DE，此时E﹣ABD为正三棱锥，故（2）正确；对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角，为θ，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正确；对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：dP﹣BC，因为＜1，所以点P的轨迹为椭圆．（4）正确．故选：C．点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.2、A【解题分析】

先根据已知求出原△ABC的高为AO＝，再求原△ABC的面积.【题目详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝，∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案为A【题目点拨】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3、B【解题分析】

通过与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【题目详解】解:，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.【题目点拨】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.4、B【解题分析】

首先根据函数的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后，所得的两个图像重合，那么，利用的最小正周期为，从而求得结果.【题目详解】的最小正周期为，那么(∈)，于是，于是当时，最小值为，故选B.【题目点拨】该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.5、A【解题分析】

分别判断命题和的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.【题目详解】对于命题，由于，所以命题为真命题.对于命题，由于，由解得，且，所以是奇函数，故为真命题.所以为真命题.、、都是假命题.故选：A【题目点拨】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.6、B【解题分析】

或，从而明确充分性与必要性.【题目详解】，由可得：或，即能推出，但推不出∴“”是“”的必要不充分条件故选【题目点拨】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.7、B【解题分析】

根据复数除法的运算法则，即可求解.【题目详解】.故选:B.【题目点拨】本题考查复数的代数运算，属于基础题.8、C【解题分析】

化简复数为、的形式，可以确定对应的点位于的象限．【题目详解】解：复数故复数对应的坐标为位于第三象限故选：．【题目点拨】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题．9、B【解题分析】

根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值．【题目详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥，且长方体的长、宽、高分别为，∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，且球半径为，∴三棱锥外接球表面积为，∴当且仅当，时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为．故选B．【题目点拨】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．10、B【解题分析】

由函数的性质可得：的图像关于直线对称且关于轴对称，函数（）的图像也关于对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线对称，则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【题目详解】由偶函数满足，可得的图像关于直线对称且关于轴对称，函数（）的图像也关于对称，函数的图像与函数（）的图像的位置关系如图所示，可知两个图像有四个交点，且两两关于直线对称，则与的图像所有交点的横坐标之和为4.故选：B【题目点拨】本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.11、D【解题分析】

根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D.【题目详解】若平面，，，满足，，则可能相交，故A错误；命题“：，”的否定为：，，故B错误；为真，说明至少一个为真命题，则不能推出为真；为真，说明都为真命题，则为真，所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，故C错误；命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故D正确；故选D【题目点拨】本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.12、C【解题分析】

利用数量积的定义可得，即可判断出结论．【题目详解】解：，，，解得，，，解得，“”是“”的充分必要条件．故选：C．【题目点拨】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由正弦定理可得点在曲线上，设，则，将代入可得，利用二次函数的性质可得范围.【题目详解】解：由正弦定理得，则点在曲线上，设，则，，又，，因为，则，即的取值范围为.故答案为：.【题目点拨】本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力，有一定的综合性，但难度不大.14、【解题分析】

由得，即得解.【题目详解】由题意可知，则.解得，所以，向量与的夹角为.故答案为：【题目点拨】本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15、【解题分析】

由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得，的值，由两角差的正弦公式即可计算得的值.【题目详解】，，，，，，，，.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.16、【解题分析】

设切点坐标为，利用导数求出曲线在切点的切线方程，将原点代入切线方程，求出的值，于此可得出所求的切线方程．【题目详解】设切点坐标为，，，，则曲线在点处的切线方程为，由于该直线过原点，则，得，因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，故答案为．【题目点拨】本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：（1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；（3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）是，【解题分析】

（1）设,根据条件可求出的坐标，再利用在椭圆上，代入椭圆方程求出即可;（2）设运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出，,再利用焦半径公式表示出,进而求出周长为定值．【题目详解】(1)设,因为,即则,即,因为均在上,代入得,解得,所以椭圆的方程为;(2)由(1)得,作出示意图,设切点为,则,同理即,所以,又,则的周长,所以周长为定值.【题目点拨】标准方程的求解,椭圆中的定值问题,考查焦半径公式的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,难度较难.18、（1）（2）【解题分析】

（1）由公比表示出，由成等差数列可求得，从而数列的通项公式；（2）求（1）得，然后对和式两两并项后利用等差数列的前项和公式可求解．【题目详解】（1）∵是等比数列，且成等差数列∴，即∴，解得：或∵，∴∵∴（2）∵∴【题目点拨】本题考查等比数列的通项公式，考查并项求和法及等差数列的项和公式．本题求数列通项公式所用方法为基本量法，求和是用并项求和法．数列的求和除公式法外，还有错位相关法、裂项相消法、分组（并项）求和法等等．19、（1）.（2）见解析【解题分析】

（1）由绝对值三解不等式可得，所以当时，，即可求出参数的值；（2）由，可得，再利用基本不等式求出的最小值，即可得证；【题目详解】解：（1）∵，∴当时，，解得.（2）∵，∴，∴，当且仅当，即，时，等号成立.∴.【题目点拨】本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的简单应用，属于中档题．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）详见解析．（ⅱ）详见解析.（Ⅲ）详见解析.【解题分析】

（Ⅰ）当，时，，，，，，．即可得出．（Ⅱ）（i）当时，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否则得出矛盾．（ii）由．可得．又，即可得出为定值．（iii）由设，，，，其中，，，2，，．，可得，通过求和即可证明结论．【题目详解】（Ⅰ）解：当，时，，，，，．．（Ⅱ）证明：（i）当时，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否则，而，与已知对任意，矛盾．因此有．（ii）．．，为定值．（iii）由设，，，，其中，，，2，，．，．．【题目点拨】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21、（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.【解题分析】

(1)根据,可求得,再根据是常数列代入根据通项与前项和的关系求解即可