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文档简介
贵州凯里一中2024届高三第三次统一检测试题数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量,(其中为实数),则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知变量,满足不等式组,则的最小值为()A. B. C. D.3.命题:存在实数,对任意实数,使得恒成立;:,为奇函数,则下列命题是真命题的是()A. B. C. D.4.中国铁路总公司相关负责人表示,到2018年底,全国铁路营业里程达到13.1万公里,其中高铁营业里程2.9万公里,超过世界高铁总里程的三分之二,下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程(单位:万公里)的折线图,以下结论不正确的是()A.每相邻两年相比较,2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程与年价正相关C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程数依次成等差数列5.若函数的图象上两点,关于直线的对称点在的图象上,则的取值范围是()A. B. C. D.6.抛物线的焦点为,准线为,,是抛物线上的两个动点,且满足,设线段的中点在上的投影为,则的最大值是()A. B. C. D.7.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家,他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不移动也.合成弦方之幂,开方除之,即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1,其中“正方形为朱方,正方形为青方”,则在五边形内随机取一个点,此点取自朱方的概率为()A. B. C. D.8.函数的大致图象为A. B.C. D.9.新闻出版业不断推进供给侧结构性改革,深入推动优化升级和融合发展,持续提高优质出口产品供给,实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况,则下列说法错误的是()A.2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B.2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C.2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D.2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一10.已知为圆的一条直径,点的坐标满足不等式组则的取值范围为()A. B.C. D.11.下列函数中,图象关于轴对称的为()A. B.,C. D.12.中国的国旗和国徽上都有五角星,正五角星与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以、、、、为顶点的多边形为正五边形,且,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数的单调增区间为__________.14.的展开式中,x5的系数是_________.(用数字填写答案)15.若复数z满足,其中i是虚数单位,则z的模是______.16.已知是抛物线的焦点,过作直线与相交于两点,且在第一象限,若,则直线的斜率是_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)己知等差数列的公差,,且,,成等比数列.(1)求使不等式成立的最大自然数n;(2)记数列的前n项和为,求证:.18.(12分)已知数列满足:对一切成立.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.19.(12分)设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为,求的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点,证明:当时,.20.(12分)已知函数(,)满足下列3个条件中的2个条件:①函数的周期为;②是函数的对称轴;③且在区间上单调.(Ⅰ)请指出这二个条件,并求出函数的解析式;(Ⅱ)若,求函数的值域.21.(12分)设椭圆的左右焦点分别为,离心率,右准线为,是上的两个动点,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)证明:当取最小值时,与共线.22.(10分)在一次电视节目的答题游戏中,题型为选择题,只有“A”和“B”两种结果,其中某选手选择正确的概率为p,选择错误的概率为q,若选择正确则加1分,选择错误则减1分,现记“该选手答完n道题后总得分为”.(1)当时,记,求的分布列及数学期望;(2)当,时,求且的概率.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】
结合向量垂直的坐标表示,将两个条件相互推导,根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【题目详解】由,则,所以;而当,则,解得或.所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A【题目点拨】本小题考查平面向量的运算,向量垂直,充要条件等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,应用意识.2、B【解题分析】
先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值.【题目详解】解:由变量,满足不等式组,画出相应图形如下:可知点,,在处有最小值,最小值为.故选:B.【题目点拨】本题主要考查简单的线性规划,运用了数形结合的方法,属于基础题.3、A【解题分析】
分别判断命题和的真假性,然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.【题目详解】对于命题,由于,所以命题为真命题.对于命题,由于,由解得,且,所以是奇函数,故为真命题.所以为真命题.、、都是假命题.故选:A【题目点拨】本小题主要考查诱导公式,考查函数的奇偶性,考查含有逻辑联结词命题真假性的判断,属于基础题.4、D【解题分析】
由折线图逐项分析即可求解【题目详解】选项,显然正确;对于,,选项正确;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列,故错.故选:D【题目点拨】本题考查统计的知识,考查数据处理能力和应用意识,是基础题5、D【解题分析】
由题可知,可转化为曲线与有两个公共点,可转化为方程有两解,构造函数,利用导数研究函数单调性,分析即得解【题目详解】函数的图象上两点,关于直线的对称点在上,即曲线与有两个公共点,即方程有两解,即有两解,令,则,则当时,;当时,,故时取得极大值,也即为最大值,当时,;当时,,所以满足条件.故选:D【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的零点,考查了学生综合分析,转化划归,数形结合,数学运算的能力,属于较难题.6、B【解题分析】
试题分析:设在直线上的投影分别是,则,,又是中点,所以,则,在中,所以,即,所以,故选B.考点:抛物线的性质.【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中,涉及到抛物线上的点到焦点的距离,焦点弦长,抛物线上的点到准线(或与准线平行的直线)的距离时,常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化.象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半,然后转化为两点到焦点的距离,从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系.7、C【解题分析】
首先明确这是一个几何概型面积类型,然后求得总事件的面积和所研究事件的面积,代入概率公式求解.【题目详解】因为正方形为朱方,其面积为9,五边形的面积为,所以此点取自朱方的概率为.故选:C【题目点拨】本题主要考查了几何概型的概率求法,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于基础题.8、A【解题分析】
因为,所以函数是偶函数,排除B、D,又,排除C,故选A.9、C【解题分析】
通过图表所给数据,逐个选项验证.【题目详解】根据图示数据可知选项A正确;对于选项B:,正确;对于选项C:,故C不正确;对于选项D:,正确.选C.【题目点拨】本题主要考查柱状图是识别和数据分析,题目较为简单.10、D【解题分析】
首先将转化为,只需求出的取值范围即可,而表示可行域内的点与圆心距离,数形结合即可得到答案.【题目详解】作出可行域如图所示设圆心为,则,过作直线的垂线,垂足为B,显然,又易得,所以,,故.故选:D.【题目点拨】本题考查与线性规划相关的取值范围问题,涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识,考查学生转化与划归的思想,是一道中档题.11、D【解题分析】
图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.【题目详解】图象关于轴对称的函数为偶函数;A中,,,故为奇函数;B中,的定义域为,不关于原点对称,故为非奇非偶函数;C中,由正弦函数性质可知,为奇函数;D中,且,,故为偶函数.故选:D.【题目点拨】本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法:对于函数的定义域内任意一个都有,则函数是奇函数;都有,则函数是偶函数(2)图象法:函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称.12、A【解题分析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义,便可解决问题.【题目详解】解:.故选:A【题目点拨】本题以正五角星为载体,考查平面向量的概念及运算法则等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】
先求出导数,再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的的集合,从而可得函数的单调增区间.【题目详解】函数的定义域为.,令,则,故函数的单调增区间为:.故答案为:.【题目点拨】本题考查导数在函数单调性中的应用,注意先考虑函数的定义域,再考虑导数在定义域上的符号,本题属于基础题.14、-189【解题分析】由二项式定理得,令r=5得x5的系数是.15、【解题分析】
先求得复数,再由复数模的计算公式即得.【题目详解】,,则.故答案为:【题目点拨】本题考查复数的四则运算和求复数的模,是基础题.16、【解题分析】
作出准线,过作准线的垂线,利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离,利用平面几何知识计算出直线的斜率.【题目详解】设是准线,过作于,过作于,过作于,如图,则,,∵,∴,∴,∴,,∴,∴直线斜率为.故答案为:.【题目点拨】本题考查抛物线的焦点弦问题,解题关键是利用抛物线的定义,把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离,用平面几何方法求解.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)证明见解析【解题分析】
(1)根据,,成等比数列,有,结合公差,,求得通项,再解不等式.(2)根据(1),用裂项相消法求和,然后研究其单调性即可.【题目详解】(1)由题意,可知,即,∴.又,,∴,∴.∴,∴,故满足题意的最大自然数为.(2),∴...从而当时,单调递增,且,当时,单调递增,且,所以,由,知不等式成立.【题目点拨】本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题.18、(1);(2)【解题分析】
(1)先通过求得,再由得,和条件中的式子作差可得答案;(2)变形可得,通过裂项求和法可得答案.【题目详解】(1)①,当时,,,当时,②,①②得:,,适合,故;(2),.【题目点拨】本题考查法求数列的通项公式,考查裂项求和,是基础题.19、(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析【解题分析】
(Ⅰ)求导得到,,解得答案.(Ⅱ),故,在上单调递减,在上单调递增,,设,证明函数单调递减,故,得到证明.【题目详解】(Ⅰ),故,,故.(Ⅱ),即,存在唯一零点,设零点为,故,即,在上单调递减,在上单调递增,故,设,则,设,则,单调递减,,故恒成立,故单调递减.,故当时,.【题目点拨】本题考查了函数的切线问题,利用导数证明不等式,转化为函数的最值是解题的关键.20、(Ⅰ)只有①②成立,;(Ⅱ).【解题分析】
(Ⅰ)依次讨论①②成立,①③成立,②③成立,计算得到只有①②成立,得到答案.(Ⅱ)得到,得到函数值域.【题目详解】(Ⅰ)由①可得,;由②得:,;由③得,,,;若①②成立,则,,,若①③成立,则,,不合题意,若②③成立,则,,与③中的矛盾,所以②③不成立,所以只有①②成立,.(Ⅱ)由题意得,,所以函数的值域为.【题目点拨】本题考查了三角函数的周期,对称轴,单调性,值域,表达式,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.21、(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析.【解题分析】由与,得,,的方程为.设,则,由得.①(Ⅰ)由,得,②,③由①、②、③三式,消去,并求得,故.(Ⅱ),当且仅当或时,取最小值,此时,,故与共线.22、(1)见解析,0(2)【解题分析】
(1)即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题
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