2024届云南省陇川县第一中学高考第二次模拟考试数学试题

2024届云南省陇川县第一中学高考第二次模拟考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数，当时，，则（）A． B． C．1 D．2．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的的值为1，输出的的值为（）A． B． C． D．3．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等.记区域为不平等区域，表示其面积，为的面积，将称为基尼系数.对于下列说法：①越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则.其中正确的是：A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④4．已知函数，若所有点，所构成的平面区域面积为，则（）A． B． C．1 D．5．二项式的展开式中，常数项为（）A． B．80 C． D．1606．已知集合，，若，则（）A． B． C． D．7．两圆和相外切，且，则的最大值为（）A． B．9 C． D．18．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则M∩N＝（）A．[﹣3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣1，0] D．（﹣1，0）9．在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．10．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（）A． B． C． D．11．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）A．7 B．14 C．28 D．8412．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（）．A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，则______.14．数据的标准差为_____．15．若，则______.16．已知向量，，若，则实数______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为，，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为，，且两人健身时间都不会超过3小时.（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望；（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.18．（12分）随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等．其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级四级每月应纳税所得额（含税）不超过3000元的部分超过3000元至12000元的部分超过12000元至25000元的部分超过25000元至35000元的部分税率3102025（1）现有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除．请问李某月应缴纳的个税金额为多少？（2）为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市500名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有50人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭）．若他们的月收入均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额的分布列与期望．19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.20．（12分）已知函数．（1）若函数在上单调递增，求实数的值；（2）定义：若直线与曲线都相切，我们称直线为曲线、的公切线，证明：曲线与总存在公切线．21．（12分）已知函数.（1）若曲线存在与轴垂直的切线，求的取值范围.（2）当时，证明：.22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:（是参数）.（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由降幂公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得参数值．【题目详解】，时，，，∴，由题意，∴．故选：A．【题目点拨】本题考查二倍角公式，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数性质，掌握正弦函数性质是解题关键．2、B【解题分析】

根据循环语句，输入，执行循环语句即可计算出结果.【题目详解】输入，由题意执行循环结构程序框图，可得：第次循环：，，不满足判断条件；第次循环：，，不满足判断条件；第次循环：，，满足判断条件；输出结果.故选：【题目点拨】本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础.3、A【解题分析】

对于①，根据基尼系数公式，可得基尼系数越小，不平等区域的面积越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得，均有，可得，所以②错误.对于③，因为，所以，所以③错误.对于④，因为，所以，所以④正确.故选A．4、D【解题分析】

依题意，可得，在上单调递增，于是可得在上的值域为，继而可得，解之即可.【题目详解】解：，因为，，所以，在上单调递增，则在上的值域为，因为所有点所构成的平面区域面积为，所以，解得，故选：D.【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性，理解题意，得到是关键，考查运算能力，属于中档题．5、A【解题分析】

求出二项式的展开式的通式，再令的次数为零，可得结果.【题目详解】解：二项式展开式的通式为，令，解得，则常数项为.故选：A.【题目点拨】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.6、A【解题分析】

由，得，代入集合B即可得.【题目详解】，，，即：，故选：A【题目点拨】本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.7、A【解题分析】

由两圆相外切，得出，结合二次函数的性质，即可得出答案.【题目详解】因为两圆和相外切所以，即当时，取最大值故选：A【题目点拨】本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.8、C【解题分析】

先化简N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M＝{x|﹣1＜x＜2}，求两集合的交集.【题目详解】因为N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因为M＝{x|﹣1＜x＜2}，所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.故选：C【题目点拨】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9、B【解题分析】

根据所求双曲线的渐近线方程为，可设所求双曲线的标准方程为k．再把点代入，求得k的值，可得要求的双曲线的方程．【题目详解】∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k．又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为故选：B【题目点拨】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．10、B【解题分析】

根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案．【题目详解】解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为中的．故选：．【题目点拨】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．11、D【解题分析】

利用等差数列的通项公式，可求解得到，利用求和公式和等差中项的性质，即得解【题目详解】，解得．．故选：D【题目点拨】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12、A【解题分析】过圆外一点，引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

求出，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算．【题目详解】由题意得，.，.，，.故答案为：．【题目点拨】本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算．14、【解题分析】

先计算平均数再求解方差与标准差即可.【题目详解】解：样本的平均数,这组数据的方差是标准差,故答案为：【题目点拨】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题.15、【解题分析】

直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出的值．【题目详解】解：若，则，即，所以．故答案为：．【题目点拨】本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16、-2【解题分析】

根据向量坐标运算可求得，根据平行关系可构造方程求得结果.【题目详解】由题意得：，解得：本题正确结果：【题目点拨】本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析，40元（2）6000元【解题分析】

（1）甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况，分情况计算即可（2）根据（1）结果求均值.【题目详解】解：（1）由题设知可能取值为0，20，40，60，80，则；；；；.故的分布列为：020406080所以数学期望（元）（2）此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：（元）【题目点拨】考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题.18、（1）李某月应缴纳的个税金额为元，（2）分布列详见解析，期望为1150元【解题分析】

（1）分段计算个人所得税额；

（2）随机变量X的所有可能的取值为990，1190，1390，1590，分别求出各值对应的概率，列出分布列，求期望即可．【题目详解】解：（1）李某月应纳税所得额（含税）为：29600−5000−1000−2000＝21600元

不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元

超过3000元至12000元的部分税额为9000×10%＝900元，

超过12000元至25000元的部分税额为9600×20%＝1920元

所以李某月应缴纳的个税金额为90＋900＋1920＝2910元，

（2）有一个孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000−2000＝12000元，

月应缴纳的个税金额为：90＋900＝990元

有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000＝14000元，

月应缴纳的个税金额为：90＋900＋400＝1390元；

没有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−2000＝13000元，

月应缴纳的个税金额为：90＋900＋200＝1190元；

没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000＝15000元，

月应缴纳的个税金额为：90＋900＋600＝1590元；

．

所以随机变量X的分布列为：990119013901590．【题目点拨】本题考查了分段函数的应用与函数值计算，考查了随机变量的概率分布列与数学期望，属于中档题．19、（Ⅰ）（为参数）；（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）设点，，则，代入化简得到答案.（Ⅱ）分别计算，的极坐标方程为，，取代入计算得到答案.【题目详解】（Ⅰ）设点，，，故，故的参数方程为：（为参数）.（Ⅱ），故，极坐标方程为：；，故，极坐标方程为：.，故，，故.【题目点拨】本题考查了参数方程，极坐标方程，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.20、（1）；（2）见解析.【解题分析】

（1）求出导数，问题转化为在上恒成立，利用导数求出的最小值即可求解；（2）分别设切点横坐标为，利用导数的几何意义写出切线方程，问题转化为证明两直线重合，只需满足有解即可，利用函数的导数及零点存在性定理即可证明存在.【题目详解】（1），函数在上单调递增等价于在上恒成立．令，得，所以在单调递减，在单调递增，则．因为，则在上恒成