新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题4立体几何第2讲空间点直线平面之间的位置关系核心考点2空间平行垂直的证明教师用书

核心考点2空间平行、垂直的证明核心知识·精归纳1.直线、平面平行的判定定理和性质定理(1)直线与平面平行的判定定理：_l∥a__，a⊂α，l⊄α⇒l∥α.(2)直线与平面平行的性质定理：l∥α，l⊂β，_α∩β＝b__⇒l∥b.(3)平面与平面平行的判定定理：a∥β，b∥β，_a∩b＝P__，a⊂α，b⊂α⇒α∥β.(4)平面与平面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，_β∩γ＝b__⇒a∥b.2.直线、平面垂直判定定理与性质定理(1)直线与平面垂直判定定理：a，b⊂α，a∩b＝O，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.(2)直线与平面垂直性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)平面与平面垂直判定定理：l⊂β，l⊥α⇒α⊥β.(4)平面与平面垂直性质定理：α⊥β，l⊂β，α∩β＝a，l⊥a⇒l⊥α.典例研析·悟方法角度1：空间中的平行关系典例1如图所示，底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，AB＝2，PA＝4，PB＝PD＝2eq\r(5)，AC与BD相交于点O，E为PD中点．(1)求证：EO∥平面PBC；(2)PA上是否存在点F，使平面OEF∥平面PBC，若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．【解析】(1)证明：由底面为正方形的四棱锥可得O为BD的中点，再由E为PD的中点，可得OE为△PBD的中位线，所以OE∥PB，而OE⊄面PBC，PB⊂面PBC，所以可证得OE∥面PBC.(2)存在PA的中点F，使得平面OEF∥平面PBC；因为E，F为中点，所以EF∥AD，因为AD∥BC，所以EF∥BC，EF⊄面PBC，BC⊂面PBC，所以EF∥面PBC，再由(1)及EF∩OE＝E，所以可证得面OEF∥面PBC.角度2：空间中的垂直关系典例2《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．在如图所示的“阳马”P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DA，点E是PA的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PC∥平面EBD；(2)求证：PB⊥平面EFD.【证明】(1)连接AC交BD于点O，连接EO，∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC中点，∵E是PA中点，∴EO∥PC，∵EO⊂平面EBD，∴PC∥平面EBD.(2)∵侧棱PD⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PD⊥AB，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥AD，∵PD∩DA＝D，∴AB⊥平面PDA，∵ED⊂平面PDA，∴AB⊥ED，∵E是PA的中点，且PD＝DA，∴ED⊥PA，∵AB∩PA＝A，ED⊥平面PAB，∴ED⊥PB，∴EF⊥PB，EF∩ED＝E，∴PB⊥平面EFD.方法技巧·精提炼1.平行关系及垂直关系的转化2.易错提醒(1)证明线面平行时，忽略“直线在平面外”“直线在平面内”的条件．(2)证明面面平行时，忽略“两直线相交”“两直线在平面内”的条件．(3)证明线面垂直时，容易忽略“平面内两条相交直线”这一条件．加固训练·促提高1.(2023·杨浦区校级模拟)如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB∥NC，MN⊥MB.(1)求证：平面AMB∥平面DNC；(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC.【证明】(1)因为MB∥NC，MB⊄面DNC，NC⊂面DNC，所以MB∥面DNC.因为四边形AMND是矩形，所以MA∥DN，又MA⊄面DNC，DN⊂面DNC，所以MA∥面DNC.又MA∩MB＝M，且MA、MB⊂平面AMB，所以面AMB∥面DNC.(2)因为四边形AMND是矩形，所以AM⊥MN.因为面AMND⊥面MBCN，且面AMND∩面MBCN＝MN，AM⊂面AMND，所以AM⊥平面MBCN，而BC⊂平面MBCN，所以AM⊥BC.因为MC⊥BC，MC∩AM＝M，MC、AM⊂面AMC，所以BC⊥面AMC，因为AC⊂面AMC，所以BC⊥AC.2.如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一动点．(1)求证：BD⊥FG；(2)在线段AC上是否存在一点G使FG∥平面PBD，并说明理由．【解析】(1)证明：∵PA⊥面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面APC，∵FG⊂平面PAC，∴BD⊥FG.(2)当