复变函数积分变换总复习-2013

总复习1第一章复数与复变函数2复数的三角表示式复数的指数表示式1、明确复数的三种表示，能相互转换复数的代数表示:32、明确与复数相关的各种计算复数不能比较大小!复数的辐角：说明:辐角不确定.复数的实部与虚部：复数的模：4辐角主值的定义:第二象限的角取+π，第三象限的角取-π5例

将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解故三角表示式为指数表示式为6和差:积:商:3、掌握复数的代数运算共轭复数:纯实数和纯虚数的共轭的计算。7定理一两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.定理二两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.4、复数的乘积与商的指数式表示81).n次幂:5、掌握复数的乘幂与方根92).棣莫佛(DeMoivre)公式10例解11例解12P31-33：1，7，8，1413第二章解析函数141、掌握复变函数的导数以及解析函数的概念。函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析.152、掌握连续、可导、解析之间的关系及求导方法。函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.求导公式与法则与实变函数完全一样。16定理一3、熟练掌握函数可导与解析的判别法，掌握并能灵活应用柯西-黎曼方程。

1718例

判定下列函数在何处可导,在何处解析:解不满足柯西－黎曼方程,19满足柯西－黎曼方程,并且上面这四个一阶偏导数都是连续的。所以该函数在复平面内处处可导，处处解析，其导数为：201).指数函数:4、熟悉复变初等函数

加法定理212).对数函数：其余各值为22性质：23例1解243).乘幂的定义注意:25例2解264).三角函数5).反三角函数27P66-68：6，8，12：3)，15，1828第三章复变函数的积分292.熟记一个重要的积分1.掌握复积分计算的一般方法30复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不等式3、掌握复积分性质的应用314.掌握柯西基本定理定理中的C可以不是简单曲线.此定理也称为柯西积分定理.32那末均沿逆时针方向5、掌握复合闭路定理33346、理解原函数与不定积分(类似于牛顿-莱布尼兹公式)35定理7、掌握柯西积分公式的应用36定理高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.8、掌握解析函数高阶导数的应用37求积分的基本思路：1.如果是基本的初等函数，直接由原函数得出：如：2.判断在积分区域内，被积函数是否解析，如果解析，则积分为零：如：383.判断在积分区域内，被积函数是否解析，如果不解析，且只包围一个奇点，则积分利用以下三种办法：1）利用2）利用3）利用4.如果在积分区域内，被积函数不解析，但只包围两个以上奇点，则必须挖去，利用“复合闭路定理”柯西积分公式解析函数高阶导数公式39作业选解：P99：61），2），3）同理解析一个重要的积分柯西积分公式40举例说明：包围了两个奇点方法一：将分母拆（一般分母为一次方）柯西积分公式方法二：将积分路径拆：柯西积分公式41包围了两个奇点将积分路径拆：解析函数高阶导数公式42包围了两个奇点将积分路径拆：解析函数高阶导数公式柯西积分公式43P99-101：6，7：2)，3)，4)，6)，9)，9：2)，3)，5)44第四章级数451、熟悉复数列收敛的充分必要条件记作461).收敛定理(阿贝尔Abel定理)如果级数在收敛,那末对的级数必绝对收敛,如果在级数发散,那末对满足的级数必发散.满足2、理解阿贝尔定理，掌握收敛半径的求法

472).收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛.(2)对所有的正实数除z=0外都发散.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.48(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.如图:..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域.49如果:即注意:存在且不为零.定理中极限(极限不存在),即3).收敛半径的求法方法1:比值法(D’Alembert)(定理二):那末收敛半径50方法2:根值法(Cauchy)(定理三)那末收敛半径说明:(与比值法相同)如果51其中泰勒级数泰勒展开式定理设在区域内解析,为

内的一为到的边界上各点的最短距离,那末点,时,成立,当3、泰勒展开定理52常用方法:

直接法和间接法.1).直接法:由泰勒展开定理计算系数4、掌握函数展开成泰勒级数的方法，能比较熟练地把一些解析函数展开成泰勒级数。

532).间接展开法:借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.54附:常见函数的泰勒展开式55负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛收敛5、掌握双边级数的概念、性质。

56收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分R57结论:.常见的特殊圆环域:...58定理:C为圆环域内绕

的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数.6、理解洛朗展开定理59说明:函数在圆环域内的洛朗展开式在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.1)2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这就是f(z)的洛朗级数.定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.60常用方法:1.直接法2.间接法1.直接展开法利用定理公式计算系数然后写出缺点:计算往往很麻烦.7、熟练地把一些解析函数在不同的圆环域内展开成罗朗级数。61根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.优点:简捷,快速.2.间接展开法62作业选解：P143：12解：函数不解析的点为，而展开的点为：于是函数的解析域为：收敛半径R＝263解：函数不解析的点为，而展开的点为：于是函数的收敛域为：收敛半径R＝364作业选解：解：函数不解析的点为，而展开的点为：于是函数的收敛域为：先获得的级数，再依导数公式得出的级数收敛半径R＝165P142-144：4，6，1)，2)，3)，4)11：1)，2)12：1)，2)，3)16：2）66第五章留数67定义

如果函数在

不解析,但在的某一去心邻域内处处解析,则称为的孤立奇点.1、理解孤立奇点的概念及其分类孤立奇点的分类依据在其孤立奇点的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类:1．可去奇点;2．极点;3．本性奇点.68孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点洛朗级数特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项关于的最高幂为691).零点的定义不恒等于零的解析函数如果能表示成其中在解析且m为某一正整数,那末称为的

m级零点.例注意:

不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.2、熟悉函数的零点与极点的关系702).零点的判定零点的充要条件是如果在解析,那末为的级3).零点与极点的关系定理如果是的m级极点,那末就是的

m级零点.反过来也成立.71定义

记作的一个孤立奇点,则沿内包含的任意一条简单闭曲线

C的积分的值除后所得的数称为以如果3、理解留数的概念

72(1)如果为的可去奇点,如果为的一级极点,那末规则1成洛朗级数求(2)如果为的本性奇点,(3)如果为的极点,则有如下计算规则展开则需将4、掌握留数的计算方法如果为的级极点,规则2那末73作业选解：P183：1解：是一级极点，二级极点是一级极点，二级极点74作业选解：P184：8解：一阶极点为z＝0，275作业选解：P184：8解：76作业选解：P184：8解：三阶极点为z＝-1，+177P183-184：1：1)，2)，6)8：1)，2)，3)，4)78第一章Fourier变换79若f(t)

在(-,+)上满足下列条件:

1)

f(t)

在任一有限区间上满足Dirichlet条件;

2)

f(t)

在无限区间(-,+)上绝对可积.则有1、掌握Fourier积分定理定理:Fourier积分公式的复数形式8081例：解：82当时，应以代替即：Fourier积分表达式83当为奇函数,则和分别是关于的奇函数和偶函数,因此Fourier正弦积分公式当为偶函数时,同理可得Fourier余弦积分公式2、掌握Fourier正弦和余弦积分公式841）.Fourier正变换记作:F(w)叫做f(t)的象函数.3、

掌握Fourier正逆变换2）.Fourier逆变换记作:f(t)叫做F(w)的象原函数.853）.Fourier正弦变换及正弦逆变换:Fourier正弦变换Fourier正弦逆变换86Fourier余弦变换Fourier余弦逆变换87求函数的正弦变换和余弦变换.由得：正弦变换为例：解：余弦变换为884、熟悉Fourier变换的性质设则是常数,1）线性性质2）位移性质893）微分性质4)积分性质90I)卷积的概念5)卷积定理2.卷积定理∗∗917、熟悉微分、积分方程的Fourier变换解法象原函数（方程的解）象函数象函数的代数方程微分、积分方程解代数方程取Fourier变换取Fourier逆变换92P35习题二：1，493第二章Laplace变换94(s为一个复参量)记作:称为的Laplace变换.1、熟悉Laplace变换的定义: