广东省深圳市龙华区2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解）

龙华区2022-2023学年第一学期期末学业质量监测试卷高一数学说明：1.本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的条形码贴在答题卡上.3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案.4.非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】根据补集和并集的定义运算即得.【详解】SKIPIF1<0全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因此，SKIPIF1<0.故选：D.2.在半径为SKIPIF1<0的圆中，弧长为SKIPIF1<0的弧所对的圆心角为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式，结合弧度制与角度制互化公式进行求解即可.【详解】弧长为SKIPIF1<0的弧所对的圆心角为SKIPIF1<0，故选：B3.下列条件中，使SKIPIF1<0成立的充要条件是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义及指数函数的性质逐项分析即得.【详解】对A，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，错误；对B，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，错误；对C，SKIPIF1<0，正确；对D，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0无意义，错误.故选：C．4.下列是奇函数，且在区间SKIPIF1<0上单调递增的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.【详解】对A，函数SKIPIF1<0是奇函数，在SKIPIF1<0上单调递减，故错误；对B，函数SKIPIF1<0是非奇非偶函数，故错误；对C，函数SKIPIF1<0是非奇非偶函数，故错误；对D，函数SKIPIF1<0是奇函数，在SKIPIF1<0上单调递增，故正确.故选：D5.神舟十五号载人飞船于2022年11月30日到达中国空间站，并成功对接，完成了中国空间站的最后一块拼图.已知中国空间站离地球表面的高度约为SKIPIF1<0千米，每SKIPIF1<0分钟绕地球一圈.若将其运行轨道近似地看成圆形，运行轨道所在平面与地球的截面也近似地看成直径约为SKIPIF1<0千米的圆形，则中国空间站在轨道中运行的速度约为（SKIPIF1<0）（）A.SKIPIF1<0千米/秒B.SKIPIF1<0千米/秒C.SKIPIF1<0千米/秒D.SKIPIF1<0千米/秒【答案】A【解析】【分析】求出半径，再根据圆的周长公式求出运行的长度，除以时间即可得到速度.【详解】根据直径为SKIPIF1<0千米，则半径为6210千米，则运行速度SKIPIF1<0千米/秒.故选：A.6.已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的化简结果是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及平方关系化简即可.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A7.已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根据对数的运算和对数函数的单调性进行判断即可.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0是正实数集上的增函数，所以有SKIPIF1<0故选：C8.已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的零点所在的区间为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】根据零点存在定理，只需判断两个端点的函数值，即两个端点函数值异号即可.【详解】由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由零点的存在定理得，SKIPIF1<0的零点所在的区间为SKIPIF1<0，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列是函数图象的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解..【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个SKIPIF1<0只有一个SKIPIF1<0和它对应，因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象.故选：ABD.10.下列函数中，最小正周期是SKIPIF1<0，且在区间SKIPIF1<0上单调递增的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】AB【解析】【分析】根据已知条件结合选项逐项验证，可得答案.【详解】A，SKIPIF1<0，最小正周期为SKIPIF1<0，在区间SKIPIF1<0上单调递增，故A正确；B，SKIPIF1<0，最小正周期为SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0上单调递增，故B正确；C，SKIPIF1<0，最小正周期为SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0上不具有单调性，故C错误；D，SKIPIF1<0，最小正周期为SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0上单调递减，故D错误.故选：AB.11.已知函数SKIPIF1<0，下列说法正确是（）A.SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0的图象关于原点对称C.SKIPIF1<0 D.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0【答案】BC【解析】【分析】由函数解析式，根据奇偶性的定义，可得A、B的正误；根据函数解析式可得函数值可得C的正误；根据余弦函数的性质，可得D的正误.【详解】对A，由函数SKIPIF1<0，其定义域为SKIPIF1<0，故A错误；对B，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0为奇函数，故B正确；对C，因为SKIPIF1<0，故C正确；对D，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故D错误.故选：BC.12.已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，若对SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0具有“倒负”变换性质.下列具有“倒负”变换性质的函数是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】【分析】根据题中定义，结合分类讨论思想逐一判断即可.【详解】A：SKIPIF1<0，因此本函数不具有“倒负”变换性质；B：SKIPIF1<0，因此本函数具有“倒负”变换性质；C：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此本函数具有“倒负”变换性质；D：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此本函数具有“倒负”变换性质，故选：BCD【点睛】关键点睛：利用代入法，结合分段函数的解析式进行分类讨论是解题的关键.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数SKIPIF1<0的定义域是___________.【答案】SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【解析】【分析】根据真数大于0，分母不为0，即可求得答案.【详解】由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以定义域为：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0且SKIPIF1<014.化简SKIPIF1<0的值为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根据指数幂的运算律运算即得.【详解】SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.15.已知S市某所新建高中SKIPIF1<0年的绿化面积为SKIPIF1<0，若该校绿化面积的年平均增长率为SKIPIF1<0％，则到_______年（用整数年份表示），该校的绿化面积约是SKIPIF1<0.（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】设经过n年后，该校的绿化面积约是SKIPIF1<0，由已知可得n的关系式，再通过两边取对数，利用对数运算求解即可．【详解】设经过n年后，该校的绿化面积约是SKIPIF1<0，则由已知得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两边取对数得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．16.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0____________.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根据诱导公式结合条件即得.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数SKIPIF1<0.（1）当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值.【答案】（1）4；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0求解；（2）根据SKIPIF1<0，求解即得.【小问1详解】∵函数SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；【小问2详解】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.18.如图所示，在直角坐标系内，锐角SKIPIF1<0的终边与单位圆交于点SKIPIF1<0，将角SKIPIF1<0的终边按逆时针方向旋转SKIPIF1<0后得到角SKIPIF1<0的终边，并与单位圆交于点SKIPIF1<0.（1）用含SKIPIF1<0的式子表示点SKIPIF1<0的坐标；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）由三角函数定义，根据题中条件，即可用含SKIPIF1<0的式子表示点SKIPIF1<0的坐标；（2）法一：根据题中条件，由同角三角函数的平方关系和商数关系，联立方程组求解即可；法二：根据题中条件，由同角三角函数基本关系可得，SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，联立方程组求解即可．【小问1详解】依题意得：SKIPIF1<0，由三角函数定义知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0【小问2详解】法一：因SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①又因为SKIPIF1<0②，联立①②解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.法二：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①两边平方得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②当SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．19.已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的单调递增区间；（2）求SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值.【答案】（1）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）利用整体代入法与余弦函数的性质求解即可；（2）利用余弦函数的性质，结合整体法求解即可.【小问1详解】设SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的单调递增区间是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.【小问2详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴由余弦函数SKIPIF1<0的性质，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0.20.已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）证明SKIPIF1<0是增函数；（2）若不等式SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可；（2）法一：利用函数的单调性，把问题转化为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，再求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值即可；法二：原不等式可转化为SKIPIF1<0，再通过换元SKIPIF1<0转化为二次不等式在给定区间的恒成立问题，利用二次函数性质求解即可．【小问1详解】证明：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因此，SKIPIF1<0是增函数.【小问2详解】法一：由（1）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0可变为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，所以SKIPIF1<0，综上所求得SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.法二：由不等式SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以要使原不等式恒成立，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<021.已知函数SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.（ⅰ）求SKIPIF1<0的解析式；（ⅱ）求方程SKIPIF1<0的所有根.【答案】（1）证明见解析（2）（ⅰ）SKIPIF1<0；（ⅱ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质，基本不等式结合条件即得；（2）根据奇函数的性质可得函数的解析式，方程SKIPIF1<0转化成曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点情况，结合函数的图象和性质即得.【小问1详解】证明：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由基本不等式，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；【小问2详解】（ⅰ）依题意得，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上奇函数，所以SKIPIF1<0，代入上式成立，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（ⅱ）方程SKIPIF1<0转化成曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点情况，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0图象总是向上凸的，所以除SKIPIF1<0外不会有其它交点，同理，当SKIPIF1<0时，根据对称性，两个图象还有一个交点SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0有三个根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.22.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底SKIPIF1<0在水平线SKIPIF1<0上，桥SKIPIF1<0