概率论全套课件

Probability概率论2023/12/296:462023/12/296:46确定性现象随机现象—

在相同的条件下进行大量观察或试验时，出现的结果有一定的规律性。

——称之为统计规律性。第一章概率论的基本概念大量重复试验中,其结果有统计规律性的现象。2023/12/296:46§1.1随机事件及其运算

1对某事物特征进行观察,统称试验。若它有如下特点,则称为随机试验。§1.1.1随机试验与事件

试验结果不止一个,但能明确所有结果；

试验前不能预知出现哪种结果。

可在相同的条件下重复进行；随机试验用E

表示。2023/12/296:462样本空间——随机试验E

所有可能的结果组成的集合称为样本空间，记为Ω。

3样本空间的元素,即E

的直接结果,称为4随机事件——

的子集,记为A,B,…等。（它是满足某些条件的样本点所组成的集合。）样本点，记为

，且

={}。2023/12/296:46其中T1,T2

是该地区的最低与最高温度观察某地区每天最低与最高温度。观察总机9~10点之间接到的电话次数。有限样本空间无限连续样本空间投一枚硬币3次,观察正面出现的次数。例1

给出一组随机试验及相应的样本空间。无限离散样本空间2023/12/296:466基本事件

——仅由一个样本点组成的子集，它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件。7必然事件——全体样本点组成的事件,记为

,

每次试验必定发生的事件。5随机事件发生——组成随机事件的某一个样本点发生。8不可能事件——不包含任何样本点的事件,记为

,每次试验必定不发生的事件。单点集全集空集2023/12/296:46A

随机事件的关系和运算类同集合的关系和运算

§1.1.2事件的关系与运算文氏图(Venndiagram)2023/12/296:46——A

包含于B

若事件A发生，

则事件B必定发生。

A

B

1.事件的包含2.事件的相等2023/12/296:46

事件A与事件B

至少有一个发生。—

A

与B

的和事件。

3.事件的和2023/12/296:46直接和补充AB2023/12/296:46事件A与事件B

同时发生。的积事件

——

的积事件——

—

A

与B

的积事件。

4.事件的积ΩABA∩B2023/12/296:46发生

事件A发生，但事件B

不发生。

—

A

与B

的差事件。5.事件的差2023/12/296:46

A

与B

互斥A、B不可能同时发生。AB6.事件的互斥(互不相容)A

与B

互斥2023/12/296:46—

A

与B

对立。每次试验，A与

B中有且只有一个发生。A称B

为A的对立事件(or逆事件)，记为注意：“A

与B

对立”与“A

与B

互斥”是两个不同的概念。7.事件的对立AB对立互斥2023/12/296:46例

掷一枚骰子，观察其出现的点数。记B——“点数不小于4”，C——“点数等于3”。则有

={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6}，C={3}。但要注意：B与C不是对立事件。说明互斥事件，不一定是对立事件。∵B∪C≠Ω于是有B∩C=

。2023/12/296:468.完备事件组若两两互斥，且则称为完备事件组，或称为的一个划分。直接和2023/12/296:46

吸收律

幂等律

差化积

重余律运算律对应事件运算集合运算2023/12/296:46

A-B:A发生但B不发生，A-AB:A发生但AB不发生。2023/12/296:46

交换律

结合律

分配律

对偶律运算顺序：

逆积和差，括号优先。

2023/12/296:46B

CABA

CA

分配律

图示A2023/12/296:46A

B

B红色区域黄色区域交例2

用图示法简化AA2023/12/296:46例3

化简事件解

原式2023/12/296:46例4

利用事件关系和运算表达多个事件的关系A,B,C

都不发生——

A,B,C

不都发生——2023/12/296:46例5

在图书馆中随意抽取一本书，表示数学书，表示中文书，表示平装书。——抽取的是精装中文版数学书。——精装书都是中文书。——非数学书都是中文版的，且中文版的书都是非数学书。则事件2023/12/296:46例6

甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹,以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标,试用A、B、C的运算关系表示下列事件:29十二月2023事件的关系与运算记号概率论集合论Ω

样本空间,必然事件空间,全集Ф

不可能事件空集ω

样本点元素

A

随机事件子集合

A的逆事件A的余集

事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算一致，只是术语不同而已。2023/12/296:46

(-代数)设随机试验E的样本空间为，

记为E的一些事件作为元素所构成的集合，即集合族

，若

满足以下三条：（1）

（

包含必然事件）；（2）任意A

,有（

对逆运算封闭）；（3）任意Ai

,i=1,2…，则（

对可列并运算封闭）。事件域则称

为事件域（

-代数），称（

，

）为可测空间。联想：2023/12/296:46样本空间为构造如下事件:………

例7：在编号为1,2，…,n

的

n个元件中取一件，考虑元件的编号，则全体基本事件为则组成一个事件域。2023/12/296:46σ-代数有如下性质：1.2.对可列交运算封闭,若则有

证：2023/12/296:46投一枚硬币观察正面向上的次数

n=4040,

nH=2048,

fn(H)=0.5069

n=12000,

nH=6019,

fn(H)=0.5016n=24000,nH=12012,

fn(H)=0.5005频率稳定性的实例

蒲丰(Buffon)投币

皮尔森(Pearson)投币实例1投硬币2023/12/296:46

概率的统计定义1.2.2概率在相同条件下重复进行的n

次试验中,事件A

发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动,

且随n越大摆动幅度越小,则称p为事件A

的概率,记作P(A)。对本定义的评价优点：直观易懂缺点：粗糙模糊不便使用29十二月2023概率的公理化定义,概率空间

1933年，前苏联著名的数学家柯尔莫哥洛夫在《概率论的基本概念》一书中提出了概率的公理化体系，第一次把概率论建立在严密的逻辑基础上，使概率论成为了一门严谨的数学分支，将它推向了一个全新的发展阶段。概率的公理化定义，并不考虑每一个事件A发生的概率P(A)是如何定义的（它依赖于每一个具体的实际问题的结构），而是强调作为一个整体，概率P(A)本身应满足的一些必要条件——三条公理。29十二月2023

定义(概率)：设(Ω,)是一可测空间，对定义在

上的实值集函数P(A),满足1)

非负性公理：对

2)

规范性公理:P(Ω)=1;3)

可列可加性公理：对

有称P是(Ω,)上的概率(测度),P(A)是事件A的概率，称三元组(Ω,,P)为概率空间。概率的公理化定义注：可列可加性不能推广到任意可加性，后面会举例说明。两两互斥直接和2023/12/296:46联想：三元组(Ω,,P)函数函数两要素P概率的性质第一章概率论的基本概念性质1证明:

由概率的可列可加性得:

由概率的非负性知，，故由上式可知注：不可能事件的概率为0，但反之不然!!!!。后面会举例说明。第一章随机事件及其概率性质2(有限可加性)

设是两两互斥的事件，则有

证明:由概率的可列可加性得:

直接和证明：

性质3设是两个事件，若，则有推论：设A,B是任意两个事件，则有提示：第一章随机事件及其概率证明：

性质4推论：提示：

性质4在概率的计算上很有用,如果正面计算事件A的概率不容易,而计算其对立事件的概率较易时,可以先计算,再计算P(A).

性质4对任一事件A,有

29十二月2023P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)性质5（加法公式）：P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)证：

∵A∪B=(A–B)∪(B–A)∪AB，且A–B，B–A与AB两两互斥，∴P(A∪B)=P(A–B)+P(B–A)+P(AB)….①∵P(A–B)=P(A)–P(AB)…....…②同理可得，P(B–A)=P(B)–P(AB)……………..③将②、③代入①，得29十二月2023=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(AC)–P(BC)+P(ABC)推论1三个事件和的概率P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(AC)–P(BC)+P(ABC)证：

P(A∪B∪C)=P[A∪(B∪C)]=P(A)+P(B∪C)

–P[A(B∪C)]=P(A)+[P(B)+P(C)–P(BC)]–P(AB∪AC)=P(A)+P(B)+P(C)–P(BC)–[P(AB)+P(AC)–P(ABC)]

29十二月2023推论2（加奇减偶公式）（右端共有项。）

加法公式总结

事件互斥时的加法公式

事件相容时的加法公式

ABB29十二月2023性质6：

性质7：

从上连续，右极限从下连续，左极限29十二月2023性质8：概率具有次可加性证明：2023/12/296:46例1

小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,

两类问题都能答出的概率为0.1，

求小王解

设事件A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”(1)(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率；

(2)至少有一类问题能答出的概率；

(3)两类问题都答不出的概率。(2)(3)例2解

2023/12/296:46例3

设A,B满足P(A)=0.6,P(B)=0.7,

在何条件下，

P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解：最小值在时取得。——最小值——最大值最大值在时取得。

常常把这样的试验结果称为“等可能的”。试验结果你认为哪个结果出现的可能性大？2023/12/296:4623479108615

例如,一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。将球编号为1－10.把球搅匀,蒙上眼睛,从中任取一球。10个球中的任一个被取出的机会是相等的,均为1/10。2023/12/296:46则称E为古典概型,也叫等可能概型。定义若某实验E满足(1)有限性:样本空间(2)等可能性:2023/12/296:46一古典概型的定义抛一枚硬币三次

抛三枚硬币一次Ω1={正正正,

正正反,正反正,反正正,

正反反,反正反,反反正,反反反}

此样本空间中的样本点等可能。Ω2={三正,二正一反,二反一正,三反}

此样本空间中的样本点不等可能。.

Ω2

中样本点（二正一反)是(三正)的三倍。

注意2023/12/296:46这样就把求概率问题转化为计数问题。

定义：

设实验E是古典概型,其样本空间Ω由个样本点组成,事件A由个样本点组成。则定义事件A的概率为:称此概率为古典概率，这种确定概率的方法称为古典方法。

A包含的样本点数

P(A)==

Ω中的样本点总数2023/12/296:462023/12/296:46例1

从装有外形完全一样的红、白、黑三个球的口袋中任取两球。就下列两种情形，求取到一个红球和一个白球的概率:（1）不放回抽样的场合；（2）有放回抽样的场合。

解：用一个“颜色对”表示所取出的两个球。记A——取到一个红球和一个白球。（1）不放回抽样的场合〔方法一〕考虑取球的顺序={（红，白），（红，黑），（白，红），

（白，黑），（黑，红），（黑，白）}，A={（红，白），（白，红）}，2023/12/296:46例1

从装有外形完全一样的红、白、黑三个球的口袋中任取两球。就下列两种情形，求取到一个红球和一个白球的概率。（1）不放回抽样的场合〔方法二〕不考虑取球的顺序

={（红，白），（红，黑），（白，黑）}，

这两种方法的不同点主要在于所选取的样本空间不同。虽然使用了不同的方法，却可以得到相同的结果，说明对同一问题，可以用不同的方法来解决，只要所使用的方法正确，所得到的结果是一致的。〔方法一〕考虑取球的顺序A={（红，白）}，2023/12/296:46例1

从装有外形完全一样的红、白、黑三个球的口袋中任取两球。就下列两种情形，求取到一个红球和一个白球的概率；（1）不放回抽样的场合（2）有放回抽样的场合。A={（红，白），（白，红）}，={（红，红)，（红，白）,（红，黑),（白，红),

(白，白),（白，黑),（黑，红),（黑，白），（黑，黑）}，2023/12/296:46

二计数方法1、加法原理（分类计数）

完成一件工作有

k种方式，第一种方式有

n1

种

方法，第二种方式有

n2

种方法，…，第

k种方式有

nk

种方法。无论通过哪一种方法，都可以完成这件工作，则完成这件工作的方法总数为：n1+n2+…+nk

。

2、乘法原理（分步计数）完成一件工作有k个步骤，第一步有n1

种方法，第二步有n2

种方法，…，第k步有nk

种方法。必须经过每一个步骤，才算完成这件工作，则完成这件工作的方法总数为：n1

n2

…

nk

。

方法相加方法相乘注：加法原理与乘法原理的区别是：前者经过一步，就可以完成一件工作；而后者必须经过k步之后，才能完成一件工作。2023/12/296:46

3、排列从含有n个不同元素的总体中取出k个元素进行排列，既要考虑到取出的元素，又要顾及到取元素的顺序。（1）可重复排列

从n个不同的元素中，有放回地取出k个元素，按照所取元素的顺序进行排列，这种排列称为可重复排列。有放回抽样

由于每次选取一个元素时，都是在全体n个元素中进行的，都有n种取法。根据乘法原理，可重复排列的不同排列种数为：n

n

…

n=nk

。

2023/12/296:46（2）选排列

从n个不同的元素中，不放回地取出k个元素（kn），按照所取元素的顺序进行排列，这种排列称为从n个不同元素中取出k个元素的选排列。不放回抽样

由于每选出一个元素以后，元素的总数就减少一个。根据乘法原理，选排列的不同排列种数记作：例、电话号码是0943665××××,后面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码?094366510101010×××=104分析:分4步完成=504010987×××又例如，4个同学争夺3项竞赛冠军，冠军获得者共有几种可能情况？解：完成这件事情可分三步：（1）第一项冠军有4种可能；（2）第二项冠军有4种可能；（3）第三项冠军有4种可能。所以可能情况有：4×4×4＝（种）。n个球随机地放入N个盒中,共有

种放法？2023/12/296:46例、

五名学生报名参加四项体育比赛，(1)每人限报一项，报名方法的种数有多少？(2)又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4=种。（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有5×５×５×５=种。n个球随机地放入N个盒中,共有

种放法？2023/12/296:462023/12/296:464、组合

从n个不同的元素中，不放回地取出k个元素（kn）,不考虑元素取出的顺序，而将它们并成一组，称为从n个不同元素中取出k个的组合，不同的组合种数记作：

不放回抽样

注：排列与组合的区别是：前者与次序有关，而后者与次序无关。2023/12/296:46

解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法，排列中“相邻”问题可采用捆绑法；“分离”问题可用插空法等。三排列组合问题的解题策略一.特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数。解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排这两个位置.（1）先排末位共有___

（2）然后排首位共有___（3）最后排其它位置共有___由分步计数原理得=2882023/12/296:46二.相邻元素捆绑策略例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.甲乙丙丁由分步计数原理可得共有种不同的排法。=480解：可（1）先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，（2）同时丙丁也看成一个复合元素，（3）再与其它元素进行排列，（4）同时对相邻元素内部进行自排。

2023/12/296:46三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行：第一步排2个相声和3个独唱共有

种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的5个元素中间包含首尾两个空位共有种

不同的方法

由分步计数原理,节目的不同顺序共有

种相相独独独2023/12/296:46四.多排问题直排策略例4.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有____种,再排后4个位置上的特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置上任意排列有____种,则共有_________种.前排后排2023/12/296:46例1.（1）6本不同的书分给5名同学，每

人一本，有多少种不同分法？（2）5本相同的书分给6名同学，每人至多一本，有多少种不同的分法？（3）6本不同的书全部分给5名

同学每人至少一本，有多

少种不同的分法？四分配问题举例2023/12/296:46例1（5）6本不同的书分给甲、乙、丙3名同学，每人两本，有多少种不同分法？（4）6本不同的书分给3名同学，甲1本、乙2

本、丙3本，有多少种不同的分法？分配问题2023/12/296:46例2：（1）7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，共有多少种不同的方法？分配问题解：相当于将7个小球用3块隔板分成4份隔板法2023/12/296:46例2：（2）7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有1个小球的不同放法有多少种？分配问题解：将7个小球用3块隔板分成4份，但盒子又不能空。隔板法2023/12/296:462023/12/296:46五古典概型计算举例例2设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率。上式即为超几何分布的概率公式。解:令A={恰有k件次品}次品M件正品……N-M件2023/12/296:462023/12/296:46例3（分组问题）将一幅52张的扑克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里有4张A牌的概率各为多少？解：令A={有人手里有13张黑桃}，B={有人手里有4张A牌}2023/12/296:462023/12/296:462023/12/296:462023/12/296:46解：下列解法是错误的设A=每一节车厢内至少有一个旅客第一步选n人第二步选剩余n-k人1

21

2情形一1车厢情形二1车厢重复！！！元素流动2023/12/296:46

从52张扑克牌中任取13张，求至少有两种4张同号的概率。例7重复了！！！！

第一步第二步情形1情形2情形32023/12/296:46

例8

掷两枚均匀的骰子，求出现的点数之和等于3的概率。

[错解]

考虑两枚骰子掷出的点数之和。记A——出现的点数之和等于3，则

={2,3,…,12}；={3}，

[错因]

在样本空间

={2,3,…,12}中，各样本点出现的可能性是不一定相同的。例如，数值2只有当掷出的点数分别为(1,1)时才会出现，而数值3在掷出的点数分别为(1,2)和(2,1)时都会出现，其出现的可能性时

2/36。因而数值2和3出现的可能性是不同的。√2023/12/296:461.2.4几何概型

在计算古典概率时，必须满足两个基本条件：（1）样本空间有限;（2）每个可能的结果出现的可能性相同。

如果突破古典概型的第一个限制，而保留其第二个限制，就是几何概型。例如，从区间[0，1]中随机地取出一个数

，则这个随机试验的样本空间

=：01=[0，1]。它是由无限个样本点组成的，而数

是从闭区间[0，1]中“等可能”地抽取的，所以它是一个几何概型的随机试验。

如果一个随机试验相当于从直线、平面或空间的某一区域Ω任取一点，而所取的点落在Ω中任意两个度量（长度、面积、体积）相等的子区域内的可能性是一样的，则称此试验模型为几何概型，对于任意有度量的子区域，，定义事件“任取一点落在区域A内”发生的概率为定义2023/12/296:46例1(会面问题)甲乙两人约定于9时到10时之间在某地会面,先到的等20分钟,过时离去.假定每个人在指定的1小时内的任一时刻到达是等可能的,求这两人能会面的概率.解设X、Y分别表示甲乙两人的到达时刻,从9时算起,单位取分钟,则两人会面的条件是20602060yxAΩ2023/12/296:462023/12/296:46

则针在平面中的位置可以用数对(，x)来表示。于是

={（，x）：0，0x}。

xa

l例2（投针问题）平面上有一簇平行线，它们之间的距离都等于a(a>0)，向此平面任意投一长度为l（l<a）的针，试求此针与任一平行线相交的概率。解

记A——针与一条平行线相交。设x——针的中心点M到最近的一条平行线的距离，

——针与此平行线的交角，如果事件A发生，即针与一条平行线相交，则针的中点M

到最近的一条平行线的距离x

必须满足：0xsin，2023/12/296:46

于是，A={（，x）：0，0xsin。

xa

l

x

x

0/2

A

x=sin

x1={（，x）：0，0x}。2023/12/296:46且

N越大，近似的程度就越高。

应用

——计算圆周率

设投了

N次中有

k次与平行线相交，则由频率的稳定性，知：当

N充分大时，k可以用计算机模拟，这种方法称为蒙特-卡洛法2023/12/296:46例3如果A=

，则P(A)=0。反之不然。反例考虑下面的几何概型问题。从区间

[0，1]中随机地取出一的数，求这个数恰好是的概率。记事件A——取到的数恰好是，样本空间

=[0，1]，μ()=1；事件A={}（即A是一个单点集），μ(A)=0。但是，A。同样，概率为“1”的事件，也并不一定是必然事件。P(A)=1/6,例如,掷一颗均匀骰子,A={掷出2点},

B={掷出偶数点},P(A|B)=?掷骰子已知事件B发生,此时试验所有可能结果构成的集合就是B,于是P(A|B)=1/3.B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中,2023/12/296:46

若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有(1)。

为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率。定义设A、B是两个事件,且P(B)>0,则称(1)2023/12/296:462023/12/296:46可以证明，对于事件

B（P(B)>0），条件概率

P(

|B)也满足概率的三条公理：

（1）规范性：P(|B)=1；（2）非负性：

P(A|B)0；（3）可列可加性：设A1，A2，…

，An，…是可数个两两互不相容的事件，则2023/12/296:46

由此出发，也可以推导出条件概率的一些性质，如：

条件概率满足普通概率的一切性质，因为条件概率也是概率，满足概率的三条公理！

P(|B)=0；P(AB)=1–P(A|B)；

P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)–P(A1A2|B)2)从加入条件后改变了的情况去算（古典概型）

条件概率的计算1)用定义计算:P(B)>0

掷骰子例：A={掷出2点},

B={掷出偶数点}P(A|B）=B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数2023/12/296:46例1

掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1:解法2:解:设A={掷出点数之和不小于10}B={第一颗掷出6点}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算2023/12/296:46注意P(AB)与P(A|B)的区别！例2

甲乙两厂共同生产1000个零件,其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中,有189个是标准件,现从这1000个零件中任取一个,问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少?所求为P(AB).B={零件是乙厂生产}设A={是标准件}若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是P(A|B).！！！！！！2023/12/296:462023/12/296:46例3

袋中有三件产品，其中有两件正品、一件次品。现从中随机地取出一件产品，不放回，再随机地取一件产品，求（1）第一次取时，取到正品的概率；（2）第二次取时，取到正品的概率；（3）两次都取到正品的概率；（4）已知第一次取到正品的条件下，第二次又取到正品的概率。解:这是一个古典概型的问题。每取两件产品将构成一个样本点。为叙述方便，将各产品进行编号。并设“1”号、“2”号产品是正品，“3”号产品是次品。

用一个数对

表示先后两次所取出的产品号。

记A——第一次取时，取到正品；B——第二次取时，取到正品。则2023/12/296:46

记A——第一次取时，取到正品；B——第二次取时，取到正品。（1）第一次取时，取到正品的概率；（2）第二次取时，取到正品的概率；（3）两次都取到正品的概率；（4）已知第一次取到正品的条件下，第二次又取到正品的概率。

={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},

A={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)},B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2)},AB={(1,2),(2,1)}。

2023/12/296:46例4

据统计甲、乙两城市在一年中雨天的比例为：甲城市占20%，乙城市占18%，两城市同时下雨占12%。求下列百分比：（1）只有甲城市下雨；（2）只有一个城市下雨；（3）至少有一个城市下雨；（4）两城市都不下雨；（5）在乙城市下雨的条件下，甲城市也下雨；（6）在甲城市下雨的条件下，乙城市也下雨。

解记A——甲城市下雨；B——乙城市下雨。则P(A)=20%=0.2，P(B)=18%=0.18；P(AB)=12%=0.12。2023/12/296:46记A——甲城市下雨；B——乙城市下雨。则P(A)=20%=0.2，P(B)=18%=0.18；P(AB)=12%=0.12。（2）只有一个城市下雨；（3）至少有一个城市下雨；P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.26=26%（4）两城市都不下雨；2023/12/296:46记A——甲城市下雨；B——乙城市下雨。则P(A)=20%=0.2，P(B)=18%=0.18；P(AB)=12%=0.12。（5）在乙城市下雨的条件下，甲城市也下雨；P(A|B)=P(AB)/P(B)=2/3（6）在甲城市下雨的条件下，乙城市也下雨。P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.62023/12/296:46例5设有

件产品包含有

件次品，从中任取2件，求(1)有一件是次品时，另一件也是次品的概率；(2)至少一件是次品的概率。解：这类题型关键是掌握事件符号的设定。设2023/12/296:46例5设有

件产品包含有

件次品，从中任取2件，求(1)有一件是次品时，另一件也是次品的概率；(2)至少一件是次品的概率。另解：有顺序不放回抽样由条件概率的定义:即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)1.3.2乘法公式若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB)。将A、B的位置对调,有故P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若

P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A)记忆：左边的概率乘以右边的以左边为条件的概率。即若P(B)>0,则P(BA)=P(B)P(A|B)(2)2023/12/296:462023/12/296:46记忆：左边有多少事件，就以这些事件的交做条件设事件A1，A2，…，An

满足P(A1A2…An

1

)

>0，则P(A1A2…An)

=P(A1)

P(A2|A1)

P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An

1)证∵A1

A1A2...A1A2…An

1，P(A1A2…An

1

)

>0，

∴P(A1)

P(A1A2)…P(A1A2…An

1)0

乘法公式用于求积事件的概率

一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.

入场券5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”后抽比先抽的确实吃亏吗?

2023/12/296:46

到底谁说的对呢?让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后,你们一个一个按次序来,谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”2023/12/296:46我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”

i＝1,2,3,4,5.显然,P(A1)=1/5，P()＝4/5第1个人抽到入场券的概率是1/5。也就是说,则

表示“第i个人未抽到入场券”2023/12/296:46因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.

也就是要想第2个人抽到入场券,必须第1个人未抽到,由于由乘法公式计算得:

P(A2)=(4/5)(1/4)=1/52023/12/296:46

这就是有关抽签顺序问题的正确解答。

同理,第3个人要抽到“入场券”,必须第1、第2个人都没有抽到.因此

继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5。抽签不必争先恐后。也就是说,＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/52023/12/296:462023/12/296:46例6

某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。

解记A——拨号不超过三次，而接通所需电话

Ai——第i次拨号接通所需电话，i=1，2，3。[方法一]

分解事件A（直接和）

∵

A=A1

∪

A1A2

∪

A1

A2A3

，且

A1

，

A1A2

，

A1

A2A3

两两互斥。

2023/12/296:46例6

某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。解记A——拨号不超过三次，而接通所需电话

Ai——第i次拨号接通所需电话，i=1，2，3。[方法二]利用对立事件

全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。

综合运用直接和P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>01.3.3

全概率公式与贝叶斯公式2023/12/296:46例有三个箱子,分别编号为1,2,3,1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.解：记

Ai={球取自i号箱},

i=1,2,3;

B={取得红球}即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B两两互斥B发生总是伴随着A1,A2,A3之一同时发生,运用加法公式得123完备事件组P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)2023/12/296:46

将此例中所用的方法推广到一般的情形,就得到在概率计算中常用的全概率公式。对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得:P(B)=8/152023/12/296:46

设Ω为随机试验的样本空间,A1,A2,…,An是两两互斥的事件,且有P(Ai)>0,i=1,2,…,n,称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组。则对任一事件B,有

全概率公式2023/12/296:46

在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现,适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算。全概率公式的来由,不难由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和。它的理论和实用意义在于:2023/12/296:46

某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n),如果B是由原因Ai所引起,则B发生的概率是

每一原因都可能导致B发生,故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和,即全概率公式。P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解由因求果2023/12/296:462023/12/296:46例7

口袋中有10张卡片，其中2张是中奖卡，三个人依次从口袋中摸出一张（摸出的结果是未知的，且不放回），求第一、二、三人分别中奖的概率。解：设三个人摸卡中奖事件分别为轮到第二人摸时，轮到第三人摸时，2023/12/296:46例8

袋中有三件产品，其中有两件正品、一件次品。现从中随机地取出一件产品，不放回，再随机地取一件产品，求（1）第一次取时，取到正品的概率；（2）已知第一次取到正品的条件下，第二次又取到正品的概率。（3）两次都取到正品的概率；（4）第二次取时，取到正品的概率；

解：记A——第一次取时，取到正品；B——第二次取时，取到正品。则该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题,“已知结果求原因”。

这一类问题在实际中更为常见,它所求的是条件概率,是已知某结果发生条件下,求各原因发生可能性大小。

某人从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率。1231红4白或者问:2023/12/296:46

某人从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,

求该球是取自1号箱的概率.记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;

B={取得红球}求P(A1|B)运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化,就得到贝叶斯公式1231红4白?2023/12/296:462023/12/296:46

该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出。它是在观察到事件B已发生的条件下,寻找导致B发生的每个原因的概率。

贝叶斯公式

设A1,A2,…,An是两两互斥的事件,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,另有一事件B,它总是与A1,A2,…,An之一同时发生,则完备事件组由果寻因2023/12/296:46例9保险公司认为人可以分为两类，第一类是易出事故者，第二类则是安全者。统计表明，易出事故者在一年内发生事故的概率为0.4，而安全者的概率只有0.2，第一类与第二类的比例为3:7。现有一个人来投保，（1）该人在投保后一年内出事故的概率有多大？（2）假如某人在投保后一年内出了事故，他是易出事故者的概率是多少？解：记A=易出事故者，B=投保后一年内出事故应用举例——肠癌普查事件B表示检查为阳性。设事件A表示被查者患肠癌,某患者检查反应为阳性,试判断该患者是否已患肠癌?已知肠镜检查效果如下：由Bayes公式得2023/12/296:46

如果不做检查,抽查一人,他是患者的概率为

患者阳性反应的概率是0.95,若检查后得阳性反应,则根据检查得来的信息,此人是患者的概率为P(A｜B)=0.087

说明这种检查对于诊断一个人是否患有肠癌有意义。从0.005增加到0.087,将近增加约18倍。1.这种肠镜检查对于诊断一个人是否患有癌症有无意义?P(A)=0.005

；2023/12/296:462.检出阳性是否一定患有肠癌?

试验结果为阳性,此人确患肠癌的概率为

P(A｜B)=0.087

即使检出阳性,尚可不必过早下结论有癌症,这种可能性只有8.7%,此时医生常要通过再检查来确认。由以上公式再计算两次可得：若第三次检查是阳性，就有90％以上的把握认定此人患有癌症。2023/12/296:46

在贝叶斯公式中,P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的先验概率(经验)和后验概率。

P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下,人们对诸事件发生可能性大小的认识。

当有了新的信息(知道B发生),人们对诸事件发生可能性大小P(Ai

|B)有了新的估计。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。2023/12/296:46

在不了解案情细节(事件B)之前,侦破人员根据过去的前科,对他们作案的可能性有一个估计,设为

比如原来认为作案可能性较小的某丙,现在变成了重点嫌疑犯。例如,某地发生了一个案件,怀疑对象有甲、乙、丙三人.丙乙甲P(A1)P(A2)P(A3)

但在知道案情细节后,这个估计就有了变化。P(A1

|B)知道B发生后P(A2

|B)P(A3

|B)最大偏小2023/12/296:46显然P(A|B)=P(A)

这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立。§1.4

独立性A={第二次掷出6点},B={第一次掷出6点},先看一个例子:将一颗均匀骰子连掷两次,设2023/12/296:46由乘法公式知,当事件A、B独立时,有

P(AB)=P(A)P(B)用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)

更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约。P(AB)=P(B)P(A|B)2023/12/296:46若两事件A、B满足

P(AB)=P(A)P(B)则称A、B独立,或称A、B相互独立。两事件独立的定义2023/12/296:46补充：独立积两个独立事件的积称为独立积。

在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立。

由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率,故认为A、B独立。甲、乙两人向同一目标射击,记

A={甲命中},B={乙命中},A与B是否独立?例如(即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率。)

2023/12/296:46一批产品共n件,从中抽取2件,设

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,则A1与A2独立。因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响。又如:因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响。若抽取是无放回的,则A1与A2不独立。2023/12/296:46假定若“事件A

与事件

B

相互独立”则“事件A

与事件

B

相容”。结论：概率为正的两个事件A与B：若独立则相容。逆否命题成立,即：概率为正的两个事件A与B：若互斥则不独立。但逆命题不成立！！！2023/12/296:46反例：袋中有三件产品，其中有两件正品、一件次品。现从中随机地取出一件产品，不放回，再随机地取一件产品，记A=第一次取出正品，B=第二次取出正品，则逆命题不成立：概率为正的两个事件A与B：若相容则独立。

问:能否在样本空间Ω中找两个事件,它们既相互独立又互斥?这两个事件就是

Ω和P(Ω)=P()P(Ω)=0与Ω独立且互斥不难发现,与任何事件都独立。2023/12/296:46=P(A)[1-P(B)]=P(A)P()=P(A)-P(AB)P(A

)=P(A-A

B)A、B独立故A与独立。概率的性质=P(A)-P(A)P(B)证明:仅证A与独立容易证明,若两事件A、B独立,则

也相互独立。2023/12/296:46两独立事件任意取逆后仍然独立。定义三事件A,B,C

相互独立是指下面的关系式同时成立：注：1)不能由关系式(1)推出关系式(2),反之亦然2)仅满足(1)式时,称A,B,C

两两独立(1)(2)A,B,C

相互独立A,B,C

两两独立2023/12/296:462023/12/296:46(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),(2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),

反例（1)

有一个均匀的四面体，其第一面染成红色，第二面染成绿色，第三面染成蓝色，第四面同时染成红、绿、蓝三种颜色。掷一次该四面体。记A——出现红色，B——出现绿色，C——出现蓝色，则由古典概率的定义知：即事件A、B、C两两相互独立。2023/12/296:46(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),(2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),

反例（2)

有一个均匀的八面体，其第一、二、三、四面染成红色，第一、二、三、五面染成绿色，第一、六、七、八面染成蓝色。掷一次该八面体。记A——出现红色，B——出现绿色，C——出现蓝色，则由古典概率的定义知：由此可见，定义中的两个条件（四个公式）都是必须的。定义n个事件A1,A2,…,

An

相互独立是指下面的关系式同时成立：2023/12/296:46若n个事件A1,A2,…,

An

相互独立，将这

n

个事件任意分成k

组，同一个事件不能同时

属于两个不同的组，则对每组的事件进行求

和、积、差、逆等运算所得到的k

个事件也相互独立。例1已知事件A,B,C

相互独立，证明事件与也相互独立。证2023/12/296:462023/12/296:46

例2设0<P(B)<1，且。求证：事件A与B相互独立。证

P(A)=P(B)P(A|B)+P(

B)P(A|

B)=P(A|B)(P(B)++P(

B))=P(A|B)

方法一方法二n个独立事件和的概率公式:设事件相互独立,则

P(A1∪…∪An)也相互独立

也就是说,n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自逆事件概率的乘积。2023/12/296:462023/12/296:46例3已知P(A)=P(B)=P(C)=a，就下列的不同情况计算概率P(A+B+C)：（1）事件A、B、C两两互斥；（2）事件A、B、C相互独立；（3）事件A、B、C构成完备事件组；（4）事件A、B相互独立，且A+BC。

解（1）∵事件A、B、C两两互斥，即AB=AC=BC=,∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=3a

（有限可加性）;（2）∵事件A、B、C相互独立，（3）∵A+B+C=，∴P(A+B+C)=P(

)=1；（4）∵事件A、B相互独立，且A+BC，

∴P(AB)=P(A)P(B)，且A+B+C=A+B，于是，P(A+B+C)=P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB)=例4图中开关a、b、c开或关的概率都是0.5，且各开关是否关闭相互独立。求灯亮的概率以及若已见灯亮，开关a与b同时关闭的概率。解：令A