4.3.1.2等比数列的性质教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版选择性

第四章数列4.3.1等比数列的概念4.3.1.2等比数列的性质教学设计一、新课程标准要求知识技能核心素养1.探索并掌握等比数列的性质，并简化数列的运算；2.从函数角度分析等比数列的单调性，体会等比数列与指数函数的关系；3.能在具体问题的情境中，发现数列等比与等差的关系，并解决相应问题，提升学生的逻辑推理思想。数学运算逻辑推理数学建模二、教学法自主式学习，启发式教学三、教学用具PPT课件、沃希白板、黑板等教学重难点根据等比数列的定义推出等比数列的性质；2、从函数角度分析等比数列的单调性并灵活使用。五、教学过程（一）引言《道德经》中写道：“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下。”《庄子·天下》中写道：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”《张丘·建算经》中写道：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈。问半月织几何？”这句古句名言不仅告诉我们许多人生哲理，还蕴藏着众多数学知识。要解决其中隐藏的数学问题就必须用到等比数列的性质，这也是本节课探究的主题。（二）复习引入回顾前面所学知识，完成以下几个问题：等比数列的定义是什么？需要注意的关键点是哪些？等比数列的通项公式是什么？在推导通项公式时运用的方法是什么？等比中项的公式是什么？【师生互动】学生思考2分钟，然后有学生作答。学生1:对于一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数（且不为零），这样的数列称为等比数列，此常数称为公比。学生2：an=a1*qn1=a1*qn1=a2*qn2=a3*qn3=......，采用的方法是累乘法。学生3：若三个数，，成等比数列，则叫做与的等比中项，且有A2=a*b。（三）新知探究自主探究一、等比数列任意两项间的关系想一想：你能类比等差数列性质的研究，分析等比数列的性质吗？问题1：在等差数列中，若则你能猜想出数列为等比数列，若则。并给以证明。证明：设等比数列的首项是a1，公比是q，则an=a1*qn1，am=a1*qm1,as=a1*qs1，at=a1*qt1,所以an*am=a1*qn1*a1*qm1=a12*qn+m1,as*at=a1*qs1*a1*qt1=a12*qs+t1,所以an*am=as*at.特别地，当m+n=2p时，则推广：若等比数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积。数学符号表示为：a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…。此推广性质也成为等比数列的对称性。【设计意图】采用类比的思想，通过熟悉的等差数列来分析等比数列的特点，让学生体会从熟悉到未知的探索。合作探究二、等比数列的单调性问题2：观察以下几个等比数列，说一说首项和公比并判断数列是递增数列还是递减数列？（1）1，3，9，27，81......（2）1，3，9，27，81......【师生互动】本环节采用小组讨论的形式，有学生探究出问题答案。小组成果展示，（1）（2）（3）（4）归纳总结：递增等比数列的特点是什么？递减等比数列的特点是什么？说一说：若公比q=1时，等比数列是什么数列呢？若q<0，等比数列是什么数列呢？学生4：常数列，摆动数列。在q<0的前提下，若a1>0则等比数列的各项呈现正负正负交替的特点；若a1<0则等比数列的各项呈现负正负正交替的特点。思考：能不能根据通项公式的改写出发，从函数的角度分析等比数列的单调性。【设计意图】先从具体的数列出发，归纳总结出等比数列的单调性，然后通过函数的角度加以验证，从而保证结论的正确性，提升学生从不同的角度思考问题的能力。探究三、等比数列之间的联系问题3：若等比数列，公比是q。问：数列是否为等比数列，公比分别是多少？问题4：若等比数列是项数相同的等比数列，公比分别是q1,q2。问：数列是否为等比数列，公比分别是多少？并给以证明。变形：数列是否仍为等比数列，请举例说明？举例：1,1,1,1,1,...与1,1,1,1,1,.....举例：1,2,4,8,16,...与8,2,1/2,1/8,1/16,.....探究四、构造新数列已知数列是一个无穷等比数列，公比是q。问：将数列中的前k项去掉，剩余各项组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？若取出数列中的所有偶数项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？答案：1、2、3、4、猜想：【设计意图】在学习过程中，培养学生敢于猜想也要善于猜想的意识。（四）典例精析题型一：等比数列性质例1若数列是等比数列，.例1已知延申：已知（2）（3）（2）【设计意图】通过例1，体会运用等比数列的性质解题会大大地缩小计算量。题型二：等比数列性质的运用例2设数列是等比数列，公比是q，则下列数列：例2中，一定是等比数列的是。（2）（强化开放思维）等比数列满足如下条件：单调递增，试写出满足上述条件的一个数列的通项公式。答案：（1）1，4，6（2）【设计意图】通过例2，体会等比数列之间的联系，同时第2问也为学生提供一个开拓思维的机会，发展思维的多方面性。题型三：构造新数列例3已知数列的首项.例3若数列是等差数列，公差d=2，证明数列为等比数列；若数列是等比数列，公比，证明数列为等差数列；思考：已知如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？如果数列是是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列？分析过程：【设计意图】体会等差数列与等比数列之间的联系。限时训练答案：B,A,C,2【设计意图】对所学知识学以致用，加深理解。六、课后小结请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：1.本节课学习的哪些数学知识？2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？3.还有哪些困惑？分层次作业选做题：小组合作出2道题有关等比数列知识的试题课后思考：等比数列的实际应用用10000元购买某个理财产品一年.(1)若