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文档简介
皖西高中教学联盟2024届高三下学期起点考试数学试题试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若命题p:从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一;命题q:在边长为4的正方形ABCD内任取一点M,则∠AMB>90°的概率为π8A.p∧qB.(¬p)∧qC.p∧(¬q)D.¬q2.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点P是C的右支上一点,连接与y轴交于点M,若(O为坐标原点),,则双曲线C的渐近线方程为()A. B. C. D.3.在复平面内,复数(,)对应向量(O为坐标原点),设,以射线Ox为始边,OZ为终边旋转的角为,则,法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:,,则,由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式:,已知,则()A. B.4 C. D.164.记为等差数列的前项和.若,,则()A.5 B.3 C.-12 D.-135.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,,,,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则()A.48 B.63 C.99 D.1206.是边长为的等边三角形,、分别为、的中点,沿把折起,使点翻折到点的位置,连接、,当四棱锥的外接球的表面积最小时,四棱锥的体积为()A. B. C. D.7.如图,内接于圆,是圆的直径,,则三棱锥体积的最大值为()A. B. C. D.8.已知集合,集合,则().A. B.C. D.9.设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,则集合中的元素共有()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个10.中国铁路总公司相关负责人表示,到2018年底,全国铁路营业里程达到13.1万公里,其中高铁营业里程2.9万公里,超过世界高铁总里程的三分之二,下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程(单位:万公里)的折线图,以下结论不正确的是()A.每相邻两年相比较,2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程与年价正相关C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程数依次成等差数列11.已知正项等比数列中,存在两项,使得,,则的最小值是()A. B. C. D.12.设,是方程的两个不等实数根,记().下列两个命题()①数列的任意一项都是正整数;②数列存在某一项是5的倍数.A.①正确,②错误 B.①错误,②正确C.①②都正确 D.①②都错误二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线的一条渐近线为,则焦点到这条渐近线的距离为_____.14.“”是“”的__________条件.(填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一)15.已知数列满足,则________.16.在中,,,则_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆:,不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于,两点.(Ⅰ)若线段的中点坐标为,求直线的方程;(Ⅱ)若直线过点,点满足(,分别为直线,的斜率),求的值.18.(12分)已知正数x,y,z满足xyzt(t为常数),且的最小值为,求实数t的值.19.(12分)已知数列的前项和为,且满足,各项均为正数的等比数列满足(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和20.(12分)已知满足,且,求的值及的面积.(从①,②,③这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.)21.(12分)已知函数.(1)求函数的单调递增区间;(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若满足,,,求.22.(10分)已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F,P是抛物线Γ上一点,且在第一象限,满足(2,2)(1)求抛物线Γ的方程;(2)已知经过点A(3,﹣2)的直线交抛物线Γ于M,N两点,经过定点B(3,﹣6)和M的直线与抛物线Γ交于另一点L,问直线NL是否恒过定点,如果过定点,求出该定点,否则说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为P1=1C42=16,即命题p是错误,则¬p是正确的;在边长为4的正方形ABCD内任取一点M点睛:本题将古典型概率公式、几何型概率公式与命题的真假(含或、且、非等连接词)的命题构成的复合命题的真假的判定有机地整合在一起,旨在考查命题真假的判定及古典概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算公式的运用等知识与方法的综合运用,以及分析问题解决问题的能力。2、C【解题分析】
利用三角形与相似得,结合双曲线的定义求得的关系,从而求得双曲线的渐近线方程。【题目详解】设,,由,与相似,所以,即,又因为,所以,,所以,即,,所以双曲线C的渐近线方程为.故选:C.【题目点拨】本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解,考查数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力。3、D【解题分析】
根据复数乘方公式:,直接求解即可.【题目详解】,.故选:D【题目点拨】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法,解题的关键是理解棣莫弗定理,将复数化为棣莫弗定理形式,属于基础题.4、B【解题分析】
由题得,,解得,,计算可得.【题目详解】,,,,解得,,.故选:B【题目点拨】本题主要考查了等差数列的通项公式,前项和公式,考查了学生运算求解能力.5、C【解题分析】
观察规律得根号内分母为分子的平方减1,从而求出n.【题目详解】解:观察各式发现规律,根号内分母为分子的平方减1所以故选:C.【题目点拨】本题考查了归纳推理,发现总结各式规律是关键,属于基础题.6、D【解题分析】
首先由题意得,当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时,外接球的半径最小,通过图形发现,的中点即为梯形的外接圆圆心,也即四棱锥的外接球球心,则可得到,进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.【题目详解】如图,四边形为等腰梯形,则其必有外接圆,设为梯形的外接圆圆心,当也为四棱锥的外接球球心时,外接球的半径最小,也就使得外接球的表面积最小,过作的垂线交于点,交于点,连接,点必在上,、分别为、的中点,则必有,,即为直角三角形.对于等腰梯形,如图:因为是等边三角形,、、分别为、、的中点,必有,所以点为等腰梯形的外接圆圆心,即点与点重合,如图,,所以四棱锥底面的高为,.故选:D.【题目点拨】本题考查四棱锥的外接球及体积问题,关键是要找到外接球球心的位置,这个是一个难点,考查了学生空间想象能力和分析能力,是一道难度较大的题目.7、B【解题分析】
根据已知证明平面,只要设,则,从而可得体积,利用基本不等式可得最大值.【题目详解】因为,所以四边形为平行四边形.又因为平面,平面,所以平面,所以平面.在直角三角形中,,设,则,所以,所以.又因为,当且仅当,即时等号成立,所以.故选:B.【题目点拨】本题考查求棱锥体积的最大值.解题方法是:首先证明线面垂直同,得棱锥的高,然后设出底面三角形一边长为,用建立体积与边长的函数关系,由基本不等式得最值,或由函数的性质得最值.8、A【解题分析】
算出集合A、B及,再求补集即可.【题目详解】由,得,所以,又,所以,故或.故选:A.【题目点拨】本题考查集合的交集、补集运算,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.9、A【解题分析】试题分析:,,所以,即集合中共有3个元素,故选A.考点:集合的运算.10、D【解题分析】
由折线图逐项分析即可求解【题目详解】选项,显然正确;对于,,选项正确;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列,故错.故选:D【题目点拨】本题考查统计的知识,考查数据处理能力和应用意识,是基础题11、C【解题分析】
由已知求出等比数列的公比,进而求出,尝试用基本不等式,但取不到等号,所以考虑直接取的值代入比较即可.【题目详解】,,或(舍).,,.当,时;当,时;当,时,,所以最小值为.故选:C.【题目点拨】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值,属于基础题.12、A【解题分析】
利用韦达定理可得,,结合可推出,再计算出,,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.【题目详解】因为,是方程的两个不等实数根,所以,,因为,所以,即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和,又,,所以,,,以此类推,即可知数列的任意一项都是正整数,故①正确;若数列存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5,由,,依次计算可知,数列中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期,故数列中不存在个位数字为0或5的项,故②错误;故选:A.【题目点拨】本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2.【解题分析】
由双曲线的一条渐近线为,解得.求出双曲线的右焦点,利用点到直线的距离公式求解即可.【题目详解】双曲线的一条渐近线为解得:双曲线的右焦点为焦点到这条渐近线的距离为:本题正确结果:【题目点拨】本题考查了双曲线和的标准方程及其性质,涉及到点到直线距离公式的考查,属于基础题.14、充分不必要【解题分析】
由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判断命题的关系.【题目详解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要【题目点拨】本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用.15、【解题分析】
项和转化可得,讨论是否满足,分段表示即得解【题目详解】当时,由已知,可得,∵,①故,②由①-②得,∴.显然当时不满足上式,∴故答案为:【题目点拨】本题考查了利用求,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算,分类讨论的能力,属于中档题.16、【解题分析】
先由题意得:,再利用向量数量积的几何意义得,可得结果.【题目详解】由知:,则在方向的投影为,由向量数量积的几何意义得:,∴故答案为【题目点拨】本题考查了投影的应用,考查了数量积的几何意义及向量的模的运算,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)(Ⅱ)【解题分析】
(Ⅰ)根据点差法,即可求得直线的斜率,则方程即可求得;(Ⅱ)设出直线方程,联立椭圆方程,利用韦达定理,根据,即可求得参数的值.【题目详解】(1)设,,则两式相减,可得.(*)因为线段的中点坐标为,所以,.代入(*)式,得.所以直线的斜率.所以直线的方程为,即.(Ⅱ)设直线:(),联立整理得.所以,解得.所以,.所以,所以.所以.因为,所以.【题目点拨】本题考查中点弦问题的点差法求解,以及利用代数与几何关系求直线方程,涉及韦达定理的应用,属中档题.18、t=1【解题分析】
把变形为结合基本不等式进行求解.【题目详解】因为即,当且仅当,,时,上述等号成立,所以,即,又x,y,z>0,所以xyzt=1.【题目点拨】本题主要考查基本不等式的应用,利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式,同时要关注不等号是否成立,侧重考查数学运算的核心素养.19、(1);(2)【解题分析】
(1)由化为,利用数列的通项公式和前n项和的关系,得到是首项为,公差为的等差数列求解.(2)由(1)得到,再利用错位相减法求解.【题目详解】(1)可以化为,,,,又时,数列从开始成等差数列,,代入得是首项为,公差为的等差数列,,.(2)由(1)得,,,两式相减得,,.【题目点拨】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系和错位相减法求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题.20、见解析【解题分析】
选择①时:,,计算,根据正弦定理得到,计算面积得到答案;选择②时,,,故,为钝角,故无解;选择③时,,根据正弦定理解得,,根据正弦定理得到,计算面积得到答案.【题目详解】选择①时:,,故.根据正弦定理:,故,故.选择②时,,,故,为钝角,故无解.选择③时,,根据正弦定理:,故,解得,.根据正弦定理:,故,故.【题目点拨】本题考查了三角恒等变换,正弦定理,面积公式,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21、(1);(2)【解题分析】
(1)化简得到,取,解得答案.(2),解得,根据余弦定理得到,再用一次余弦定理解得答案.【题目详解】(1).取,解得.(2),因为,故,.根据余弦定理:,..【题目点拨】本题考查了三角恒等变换,三角函数
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