福建省龙岩市连城一中2024届高三最后一模数学试题试卷

福建省龙岩市连城一中2024届高三最后一模数学试题试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设（是虚数单位），则（）A． B．1 C．2 D．2．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（）A． B． C． D．3．已知，，则（）A． B． C． D．4．设，，则（）A． B．C． D．5．已知函数则函数的图象的对称轴方程为（）A． B．C． D．6．已知函数是上的偶函数，是的奇函数，且，则的值为（）A． B． C． D．7．平行四边形中，已知，，点、分别满足，，且，则向量在上的投影为（）A．2 B． C． D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3 C． D．49．已知，，若，则实数的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或710．已知定义在上的函数满足，且当时，，则方程的最小实根的值为（）A． B． C． D．11．已知三棱柱()A． B． C． D．12．下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中含的系数为__________．（用数字填写答案）14．已知函数，在区间上随机取一个数，则使得≥0的概率为．15．已知数列满足，，若，则数列的前n项和______．16．实数，满足约束条件，则的最大值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四边形为菱形，为与的交点，平面.（1）证明：平面平面；（2）若，，三棱锥的体积为，求菱形的边长.18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点在曲线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的坐标.19．（12分）已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点).（1）求椭圆的方程；（2）已知直线,为椭圆的右顶点.若直线交于点，直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.20．（12分）设的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.21．（12分）已知动圆Q经过定点，且与定直线相切（其中a为常数，且）.记动圆圆心Q的轨迹为曲线C．（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？（2）设点P的坐标为，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，则是否存在直线m，使得？若存在，求出直线m斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.22．（10分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，是正三角形，，是的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

先利用复数代数形式的四则运算法则求出，即可根据复数的模计算公式求出．【题目详解】∵，∴．故选：A．【题目点拨】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，属于容易题．2、C【解题分析】

利用组合的方法求所求的事件的对立事件,即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率,再根据两对立事件的概率和为1求解即可.【题目详解】设“该重卦至少有2个阳爻”为事件.所有“重卦”共有种；“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件是“该重卦没有阳爻或只有1个阳爻”,其中,没有阳爻（即6个全部是阴爻）的情况有1种,只有1个阳爻的情况有种,故,所以该重卦至少有2个阳爻的概率是.故选：C【题目点拨】本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题.3、D【解题分析】

分别解出集合然后求并集.【题目详解】解：，故选：D【题目点拨】考查集合的并集运算，基础题.4、D【解题分析】

由不等式的性质及换底公式即可得解.【题目详解】解：因为，，则，且，所以，，又,即,则，即，故选：D.【题目点拨】本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.5、C【解题分析】

，将看成一个整体，结合的对称性即可得到答案.【题目详解】由已知，，令，得.故选：C.【题目点拨】本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数的性质，是一道容易题.6、B【解题分析】

根据函数的奇偶性及题设中关于与关系，转换成关于的关系式，通过变形求解出的周期，进而算出.【题目详解】为上的奇函数，，而函数是上的偶函数，，，故为周期函数，且周期为故选：B【题目点拨】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.7、C【解题分析】

将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【题目详解】解：，得，则向量在上的投影为.故选：C.【题目点拨】本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题.8、C【解题分析】

首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积.【题目详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，如图所示：故：.故选：C.【题目点拨】本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题.9、C【解题分析】

根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值.【题目详解】由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得.∴解得.故选：C.【题目点拨】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.10、C【解题分析】

先确定解析式求出的函数值，然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的，通过计算即可得到答案.【题目详解】当时，，所以，故当时，，所以，而，所以，又当时，的极大值为1，所以当时，的极大值为，设方程的最小实根为，，则，即，此时令，得，所以最小实根为411.故选：C.【题目点拨】本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题.11、C【解题分析】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝12、C【解题分析】

分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.【题目详解】函数的定义域为，在上为减函数.A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.B选项，的定义域为，不符合.C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.D选项，的定义域为，不符合.故选：C【题目点拨】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】由题意得，二项式展开式的通项为，令，则，所以得系数为．14、【解题分析】试题分析：可以得出，所以在区间上使的范围为，所以使得≥0的概率为考点：本小题主要考查与长度有关的几何概型的概率计算.点评：几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”、“角度”、“面积”、“体积”等，但要注意求概率时做比的上下“测度”要一致.15、【解题分析】

,求得的通项，进而求得,得通项公式，利用等比数列求和即可.【题目详解】由题为等差数列，∴,∴,∴,∴,故答案为【题目点拨】本题考查求等差数列数列通项，等比数列求和，熟记等差等比性质，熟练运算是关键，是基础题.16、10【解题分析】

画出可行域，根据目标函数截距可求.【题目详解】解：作出可行域如下：由得，平移直线，当经过点时，截距最小，最大解得的最大值为10故答案为：10【题目点拨】考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）1【解题分析】

（1）由菱形的性质和线面垂直的性质，可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）设，分别求得，和的长，运用三棱锥的体积公式，计算可得所求值．【题目详解】（1）四边形为菱形，，平面，，又，平面，又平面，平面平面；（2）设，在菱形中，由，可得，，，，在中，可得，由面，知，为直角三角形，可得，三棱锥的体积，，菱形的边长为1．【题目点拨】本题考查面面垂直的判定，注意运用线面垂直转化，考查三棱锥的体积的求法，考查化简运算能力和推理能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．18、（1）；（2）最小值为，此时【解题分析】

（1）消去曲线参数方程的参数，求得曲线的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线的直角坐标方程.（2）设出的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得的最小值及此时点的坐标.【题目详解】（1）消去得，曲线的普通方程是：；把，代入得，曲线的直角坐标方程是（2）设，的最小值就是点到直线的最小距离.设在时，，是最小值，此时，所以，所求最小值为，此时【题目点拨】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用圆锥曲线的参数求最值，属于中档题.19、（1）（2）定值为0.【解题分析】

（1）根据直线方程求焦点坐标，即得c，再根据离心率得，（2）先设直线方程以及各点坐标，化简，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得结果.【题目详解】（1）因为直线过椭圆的右焦点,所以，因为离心率为，所以，（2），设直线，则因此由得，所以，因此即【题目点拨】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.20、（1）（2）【解题分析】

（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得的值，进而求得的大小.（2）利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得的表达式，进而求得的取值范围.【题目详解】（1）由题设知，，即，所以，即，又所以.（2）由题设知，，即，又为锐角三角形，所以，即所以，即，所以的取值范围是.【题目点拨】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范围，求边的比值的取值范围，属于中档题.21、（1），抛物线；（2）存在，.【解题分析】

（1）设，易得，化简即得；（2）利用导数几何意义可得，要使，只需.联立直线m与抛物线方程，利用根与系数的关系即可解决.【题目详解】（1）设，由题意，得，化简得，所以动圆圆心Q的轨迹方程为，它是以F为焦点，以直线l为准线的抛物线.（2）不妨设.因为，所以，从而直线PA的斜率为，解得，即，又，所以轴.要使，只需.设直线m的方程为，代入并整理，得.首先，，解得或.其次，设，，则，..故存在直线m，使得，此时直线m的斜率的取值范围为.【题目点拨】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，涉及抛物线中的存在性问题，考查学生的计算能力，是一道中档题.22、（1）见证明；（2）【解题分析】

（1）设是的中点，连接、，先证明是平行四边形，再证明平面，即（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建空间直角坐标系，分别