新教材适用2023-2024学年高中数学第1章预备知识1集合1.1集合的概念与表示第1课时集合的概念课件北师大版必修第一册

1.1

集合的概念与表示第1课时

集合的概念自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析随

堂

练

习课标定位素养阐释1.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征,并能利用它们进行解题.3.掌握元素与集合的关系,并能用符号“∈”或“∉”来表示.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.5.体会数学抽象的过程,提升逻辑推理的核心素养.

自主预习·新知导学一、集合的概念【问题思考】1.阅读下面的语句,并回答提出的问题:①平面内到定点O的距离等于定长d的所有的点;②方程x2-1=0的所有实数根;③著名的科学家.(1)以上各语句中要研究的对象分别是什么?(2)哪个语句中的对象不确定?为什么?提示:(1)分别为点,实数根,科学家.(2)③中的对象不确定.因为“著名”没有明确的划分标准.2.一般地,我们把指定的某些对象的全体称为集合,通常用大写英文字母A,B,C,…表示.集合中的每个对象叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…表示.3.下列各组对象不能组成集合的是(

)A.大于6的所有整数B.高一数学课本中所有的简单题C.被3除余2的所有正整数D.函数y=x图象上所有的点答案:B二、元素与集合的关系【问题思考】1.设集合A表示“1~10之间的所有素数”,3和4与集合A是何关系?提示:3是集合A的元素,即3属于集合A,记作3∈A;4不是集合A的元素,即4不属于集合A,记作4∉A.2.如果元素a在集合A中,就说元素a属于集合A,记作a∈A;如果元素a不在集合A中,就说元素a不属于集合A,记作a∉A.三、集合中元素的性质【问题思考】1.构成英文单词good的所有字母能否组成一个集合?如果能组成一个集合,该集合中有几个元素?为什么?提示:能.因为集合中的元素是明确的(确定性).该集合有三个元素.因为集合中的元素必须是不同的(互异性).2.某班所有头发较长的同学能否组成一个集合?某班身高高于175cm的男生能否组成一个集合?集合元素确定性的含义是什么?提示:某班所有头发较长的同学不能组成集合,因为“头发较长”无明确的标准.某班身高高于175

cm的男生能组成一个集合,因为标准确定.集合元素确定性的含义:集合中的元素必须是确定的,也就是说,一个集合确定后,任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了.3.(1)抽象概括:一个集合确定后,任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了.(2)规定:一个集合中的任何两个元素都不相同.也就是说,集合中的元素没有重复.(3)概括:集合中元素具有确定性、互异性、无序性.四、常用的数集及其记法【问题思考】1.非负整数集与正整数集有何区别?提示:非负整数集包括0,而正整数集不包括0.2.填表:3.若a∈Q,则一定有a∈R吗?反过来呢?提示:若a∈Q,则一定有a∈R;反过来,若a∈R,但不一定有a∈Q.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)某服装店所有漂亮的衣服能组成一个集合.(×

)(2)方程x2-2x+1=0的解集中含有两个元素.(×

)(3)0∈N+.(×

)

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究一

集合的概念【例1】

(多选题)下列各组对象能组成一个集合的是(

).A.某校园中所有较高的树B.平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点C.不小于10的自然数D.所有的等边三角形解析:A中“较高”没有明确的标准,所以不能组成一个集合;B,C,D中的对象都满足集合中元素的确定性,所以能组成集合.答案:BCD一般地,要确认一组对象a1,a2,a3,…,an能不能组成集合的过程为【变式训练1】

(多选题)下列说法正确的有(

).A.所有素数能组成一个集合B.数轴上的一些点能组成一个集合C.正偶数的全体可以组成一个集合D.大于4020且小于4024的所有整数不能组成一个集合解析:A中“素数”具有确定性,能组成集合,故正确;B中“一些点”的标准不明确,不能组成集合,故错误;C中“正偶数”具有确定性,可组成集合,故正确;D中满足条件的整数有2

021,2

022,2

023,具有确定性,能组成集合,故错误.答案:AC探究二

元素与集合的关系答案:ACD判断元素与集合关系的两种方法(1)直接法:如果集合中的元素是直接给出的,只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法:对于一些没有直接表示出来元素的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.探究三

集合中元素的性质【例3】

已知集合A中含有两个元素a和a2,若1∈A,求实数a的值.分析:1∈A→a=1或a2=1→验证互异性解:因为1∈A,所以a=1或a2=1,即a=±1.当a=1时,a=a2,集合A中只有一个元素,所以a≠1;当a=-1时,集合A中含有两个元素1,-1,符合集合中元素的互异性,所以a=-1.1.本例中若去掉条件“1∈A”,其他条件不变,则实数a的取值范围是什么?解:由题意a和a2组成含有两个元素的集合,则a≠a2,解得a≠0且a≠1.2.本例中若将条件“1∈A”改为“2∈A”,其他条件不变,求实数a的值.3.已知集合A中含有三个元素a+1,3a,a2+1,若1∈A,求实数a的值.根据集合中元素的特征求解参数的值或取值范围的基本步骤易

错

辨

析因忽视集合中元素的互异性致误【典例】

方程x2-(a+1)x+a=0的解集中有几个元素?错解

x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为x1=1,x2=a,则方程的解集中有两个元素1,a.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:以上错解中没有注意到字母a的取值是不确定的.事实上,当a=1时,不满足集合中元素的互异性.正解:因为x2-(a+1)x+a=(x-a)·(x-1)=0,所以方程的解为x1=1,x2=a.若a=1,则方程的解集中只有一个元素1;若a≠1,则方程的解集中有两个元素1,a.1.先解方程得到x的值,再根据元素的互异性进行检验.2.在解方程求得x的值后,常因忘记验证集合中元素的互异性,而造成错误.【变式训练】

若以方程x2-5x+6=0和x2-x-2=0的解为元素组成集合M,则M中元素的个数为(

)A.1 B.2

C.3

D.4解析:方程x2-5x+6=0有两个不同的解x1=2,x2=3,方程x2-x-2=0有两个不同的解x3=-1,x4=2,其中2是两个方程相同的解,在集合M中作为一个元素,故M中共有3个元素.答案:C随

堂

练

习1.下列各选项中所述对象可以组成集合的是(

)A.相当大的数B.本班视力较好的学生C.平面内到△ABC三个顶点距离相等的点D.有趣的游戏解析:A中“相当大”这个词界限不确定,不明确哪些元素在该集合中,故选项A中的对象不能组成集合;同样选项B,D中的对象也不能组成集合,故选C.答案:C2.设集合A中只含有一个元素a,则有(

)A.0∈A B.a∉A

C.a∈A

D.a=A解析:∵集合A中只含有一个元素a,∴a属于集合A,即a∈A.答案:C3.由x2,x3组成一个集合A,A中含有两个元素,则实数x的取值可以是(

)A.0 B.-1 C.1

D.-1或1解析:验证法:若x=0,则x2=0,x3=0,不合题意;若x=1,则x2=1,x3=1,不合题意;若x=-1,