新教材适用2023-2024学年高中数学第1章预备知识3不等式3.2基本不等式第2课时基本不等式与最大(小)值课后训练北师大版必修第一册

第2课时基本不等式与最大(小)值课后训练巩固提升一、A组1.若x>0,y>0,且2x+8y=1,则xy有A.最大值64 B.最小值1C.最小值12 D.最小值解析:由题意得xy=2x+8yxy=2y+8x≥22y·8x=8xy,∴xy≥8,即xy答案:D2.(多选题)下列说法正确的有().A.y=x+1x(x<0)的最大值是-B.y=x2+3C.y=2-3x-4x(x>0)的最大值是2-4D.y=2-3x-4x(x>0)的最小值是2-4解析:当x<0时,y=x+1x=-(-x+1-x)≤-2,当且仅当x=-1时,等号成立,所以y=x2+3x2+2=x2+2+当x>0时,y=2-3x-4x=2-(3x+4x)≤2-43,当且仅当3x=4x,即x=233时,等号成立,所以答案:AC3.函数y=xx+1的最大值为(A.25 B.12 C.22解析:令t=x(t≥0),则x=t2,∴y=xx当t=0时,y=0;当t>0时,y=1t∵t+1t≥2,∴0<1t+1t≤12,当且仅当t=1时取等号,∴y的最大值为答案:B4.如果一个直角三角形的斜边长等于5,那么这个直角三角形面积的最大值等于().A.254 B.252 C.25 D解析:设直角三角形的斜边长为c,直角边长分别为a,b,由题意知c=5,且a2+b2=25,则直角三角形的面积S=12ab因为25=a2+b2≥2ab,所以ab≤252则直角三角形的面积S=12ab≤12×252=254,答案:A5.若函数y=x+1x-2(x>2)在x=a处取得最小值,则a=(A.1+2 B.1+3 C.3 D.4解析:y=x+1x-2=x-2+1∵x>2,∴x-2>0,∴y=x-2+1x-2+2≥2(x-2)·1x-2+2=又由题知,函数在x=a处取得最小值,∴a=3.答案:C6.某校要建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,池底和池壁的造价分别为240元/m2和160元/m2,那么水池的最低总造价为元.

解析:设池底的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元,根据题意,有2xy=8,则xy=4,于是z=240×4+160(2×2x+2×2y)=960+640(x+y)≥960+1280xy=960+1280×2=3520,当且仅当x=y=2时,等号成立.答案:35207.若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值.解:因为x+3y=5xy,所以1y+所以3x+4y=151y+3x(3x+4y)=1当且仅当3xy=12yx,由x所以当x=1,y=12时,3x+4y取得最小值5二、B组1.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是().A.[6,+∞) B.[9,+∞) C.(0,9] D.(0,6]解析:∵a,b是正数,∴ab=a+b+3≥2ab+3(当且仅当a=b时取“=”),即ab-2ab-3≥0,∴ab≥3,或ab≤-1(舍去),∴ab≥9.答案:B2.已知点A(m,n)在一次函数y=12-12x的图象上,其中mn>0,则2mA.42 B.8 C.9 D.12解析:因为点A(m,n)在函数y=12-12x的图象上,所以m+2n=1.又mn>0,所以2m+1n=(m+2n)(2m+1n)=2+mn+4n答案:B3.(多选题)设a+b=2(a>0,b>0),则12a+ab取最小值时,A.a=23 B.ab=C.12a+解析:因为a+b=2,a>0,b>0,所以12a+ab=24a+ab=a+b4a+ab=a4a+b4a+ab≥14+2b4答案:AC4.设a>0,b>0,a+b=5,则a+1+b+3解析:因为a>0,b>0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.由不等式x+y2≤x2+y22可知,a+1+b+32答案:325.已知两个正数x,y满足x+y=4,则使不等式1x+4y≥m恒成立的实数m解析:∵x+y=4,∴x4+∴1x+4y=1x+4yx4+y4=14+y4x+xy+1=54+y4x+xy≥答案:-6.已知正数x,y满足1x+1y=1,则4解析:∵x>0,y>0,1x+1y=1,∴4xx-1+9yy-1=41-1x+91-1答案:257.已知a>0,b>0,且2a+1b≥m解:因为2a+1b≥所以m≤2a+1b(2所以m≤[(2a+1b)(2而2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab≥所以m≤9,即m的最大值为9.8.某厂家拟在今年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(单位:万元)(m≥0)满足x=3-km+1(k为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件.已知今年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用(1)将今年厂家销售该产品获得的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m的函数;(2)该厂家今年的促销费用为多少万元时,获得的利润最大?解:(1)由题意,可知当m=0时,x=1,∴1=3-k,解得k=2,∴x=3-2m又每件产品的销售价格为1.5×8+16xx∴y=x1.5×8+16xx-(8+16x+m)=4+8x-