专题21.8一元二次方程的应用：增长率问题（限时满分培优训练）-【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（解析版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题21.8一元二次方程的应用：增长率问题（限时满分培优训练）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）两年前生产1吨某药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨药品的成本是3600元．若这种药品的年平均下降率为x，根据题意，所列方程正确的是（）A．60001-x2C．60001-x2=3600【答案】C【分析】根据两年前的成本×1-x【详解】解：根据题意，得60001-x故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系是解答的关键．2．（2023·广西·统考中考真题）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（

）A．3.2(1-x)2=3.7C．3.7(1-x)2=3.2【答案】B【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意得，3.2(1+x)故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．3．（2023·江苏无锡·统考中考真题）2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（

）A．5.76(1+x)2=6.58C．5.76(1+2x)=6.58 D．5.76【答案】A【分析】根据2020年的人均可支配收入和2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．【详解】解：由题意得：5.76(1+x)故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）某药品经过两次降价，且第二次降低的百分率是第一次降低的百分率的2倍，药品价格由每盒72元调至56元，若设第一次降低的百分率为x，则根据题意，可得方程为（

）A．721-x2=56C．721-2x=56 D【答案】D【分析】分别表示出每次降价后的价格，即可得到方程．【详解】解：设第一次降低的百分率为x，则设第二次降低的百分率为2x，第一次降价后的价格为721-x第二次降价后的价格为721-x故两次降价后的价格为721-x故选：D．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用—增长率（降低率）问题，正确理解题意是解题的关键．5．（2023春·浙江温州·八年级苍南县灵溪镇第一中学校考阶段练习）电影《流浪地球2》于2023年1月22日在中国上映．据统计，上映后第一天票房约4亿，之后票房逐日增加，前三天票房累计达14.56亿．设第一天到第三天票房的日平均增长率为x．则可列方程（）A．41+x=14.56 BC．4+41+x=14.56 D【答案】B【分析】根据题目数量关系，运用一元二次方程与增长率的计算方法列方程求解即可．【详解】解：第一天票房约4亿，之后票房逐日增加，前三天票房累计达14.56亿，设第一天到第三天票房的日平均增长率为x，∴列方程为41+x故选：B．【点睛】本题主要考查一元二次方程与增长率的计算方法，掌握增长率的计算方法，一元二次方程与实际问题的应用是解题的关键．6．（2022秋·广东珠海·九年级校考期中）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件9元，设该商品平均每次降价的百分率为xx>0，则（

A．91-x2=25 B．251-x2=9【答案】B【分析】根据增长率的计算方法，一元二次方程与实际问题的综合运用即可求解．【详解】解：原来的每件25元降到每件9元，连续两次降价，平均每次降价的百分率为xx>0∴列方程得，251-x故选：B．【点睛】本题主要考查一元二次方程与增长率的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握一元二次方程与实际问题的综合运用是解题的关键．7．（2022秋·河南周口·九年级统考期中）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，则3月份到5A．10％ B．20％ C．22％【答案】B【分析】由题意知，3月份的营业额为400+400×10％=440（万元），设3月份到5月份营业额的平均增长率是x％【详解】解：由题意知，3月份的营业额为400+400×10％设3月份到5月份营业额的平均增长率是x％由题意知，440×1+x解得x=20，或x=-22（舍去），∴3月份到5月份营业额的平均增长率是20％故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程并求解．8．（2023·上海·八年级假期作业）某企业2021年初投资100万元生产适销对路产品，2021年底将获得的利润与年初的投资的和作为2022年初的投资，到20222年底，两年共获利润56万元．已知2022年的年获利率比2021年的获利率多10个百分点．如果设2021年的获利率是x，那么下列所列出的方程中正确的是（

）A．100B．100C．100x+100D．100x+100【答案】D【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量2021年的获利额+2022年的获利额=56万元，可由此列方程求解．【详解】解：设2021年的年获利率为x，那么2022年的年获利率为x+10%，由题意得，100x+1001+x故选：D【点睛】本题考查了列一元二次方程的能力．此题是结合投资与获利的实际问题，解答此题要注意以下问题：（1）求出2021和2022两年的获利；（2）根据两年共获利润56万元列方程．9．（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）共享单车的投放，方便了市民的出行．某公司一期投放A型号的单车，二期又投放了B型号的单车．已知B型号的单车的单价比A型号的单价提高的百分率是B型号的投放数量比A型号投放数量的增长率的2倍，这样二期总投入是一期总投入的2倍，设B型号的投放数量比A型号投放数量的增长率为x，则下列方程正确的是（

）A．1+3x=2 B．(1+x)(1+2x)=2 C．(1+x)(1+2x)=3 D．(1+x)(1+【答案】B【分析】根据题意列出关于x的一元二次方程即可【详解】设B型号的投放数量比A型号投放数量的增长率为x，则B型号的单车的单价比A型号的单价的增长率是2x，把一期总投入看作1，由题意得：(1+x)(1+2x)=2故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意是解决问题的关键10．（2022秋·九年级课时练习）某市近两年环保工作卓有成效，全年空气质量重度污染天数从2019年的36天降到2021年的25天．按照这样的降低率，该市全年空气质量重度污染天数首次不超过18天的年份是（

）A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年【答案】B【分析】设每年降低率为x，根据重度污染天数从2019年的36天降到2021年的25天建立方程求解，再设需要n年重度污染天数首次不超过18天，根据题意列不等式，整理得出56【详解】解：设每年降低率为x，则361-x2∴1-x2=∴1-x=±56解得x=16或116设再需要n年重度污染天数首次不超过18天，∵251-1∴56当n=1时，56≈0.83>0.72当n=2时，56∴再经过两年重度污染天数首次不超过18天，该年份是2023年．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-百分率问题，解题的关键根据题意建立方程求出降低率．二、填空题11．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格八月底是7.8元/升，十月底是8.6元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程．【答案】7.8【分析】设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，则该地92号汽油九月底的价格=该地92号汽油八月底的价格×（1+平均每月的增长率），十月底的价格=该地92号汽油九月底的价格×（1+平均每月的增长率），即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：根据题意得：7.81+x故答案为：7.81+x【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．（2023春·黑龙江绥化·八年级校联考期末）某市某企业为节约用水，自建污水净化站，7月份净化污水6000吨，9月份增加到7260吨，则这两个月净化的污水量平均每月增长的百分率为．【答案】10【分析】根据题意列出一元二次方程方程，再解方程即可求解．【详解】设这两个月净化的污水量平均每月增长的百分率为x，由题意可得：60001+x解得：x1=0.1=10%∴这两个月净化的污水量平均每月增长的百分率为10%故答案为：10%【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．13．（2022秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）某葡萄种植基地2019年种植“早黑宝”100亩，到2021年“早黑宝”的种植面积达到225亩．该基地这两年“早黑宝”种植面积的年均增长率为．【答案】50%【分析】设该基地这两年的早黑宝种植面积的年均增长率为x，根据2019年种植早黑宝100亩，到2021年早黑宝的种植面积达到225亩，列出方程，解方程即可．【详解】解：设该基地这两年的早黑宝种植面积的年均增长率为x，根据题意得：100x+1解得x1=0.5=50%，∴该基地这两年的早黑宝种植面积的年均增长率为50%，故答案为：50%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列方程．14．（2022秋·四川达州·九年级统考期末）为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有150种种子，经过两年不断地努力，现在已有216种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为．【答案】20【分析】利用该实验基地现有种子种数=该实验基地两年前种子种数×(1+培育的种子平均每年的增长率)2，即可得出关于x【详解】解：根据题意得，150(1+x)解得，x1所以，培育的种子平均每年的增长率为20%故答案为：20%【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．（2023·上海·八年级假期作业）某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x，则列方程为，解得年利率是．【答案】4001+x【分析】设年利率为x，根据“存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元”列方程求解即可．【详解】解：设年利率为x，由题意得：4001+x解得：x＝10%，即年利率是10%，故答案为：4001+x2=484【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a1+x2=c，其中a是变化前的原始量，c16．（2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）初三（2）班学生小明，由于以前学习不认真，作业态度马虎，还经常玩游戏，致使成绩不理想，期中考试数学仅考了50分．由于老师及时发现并进行了教育，小明认识到了自己的错误，决心努力学习，就给自己订了一个目标：期末考试数学一定要达到98分，每次考试（仅指月考，期中和期末考试）自己数学成绩增加的百分率相同．那么小明这次月考数学成绩要达到分，他才算实现认真学习后的第一个小目标．【答案】70【分析】设数学成绩增加的百分率为x％，由题意得，501+x％2=98【详解】解：设数学成绩增加的百分率为x％由题意得，501+x解得x=40，（负根舍去）∴数学成绩增加的百分率为40％∴501+40故答案为：70．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程并求解．三、解答题17．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今月3月份阅读公园中有藏书5000册，到今月5月份其中藏书数量增长到7200册．(1)求阅读公园这两个月藏书的平均增长率．(2)按照这样的增长方式，请你估算出今月6月份阅读公园的藏书量是多少？【答案】(1)阅读公园这两个月藏书的平均增长率20％(2)估算出今月6月份阅读公园的藏书量是8740册【分析】（1）设这两个月藏书的月平均增长率为x，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×（1+藏书的月（2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量．【详解】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x，根据题意，得5000解得x1=0.2=20%该校这两个月藏书的月均增长率为20%；（2）7200×1+20所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是8640册．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．（2023春·浙江·八年级阶段练习）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同．(1)求进馆人次的月平均增长率；(2)因条件限制，该市图书馆每月接纳能力不能超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该市图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．【答案】(1)50%(2)能接纳，理由见解析【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第三个月进馆达到288次，列方程求解；（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意，得：1281+x解得x1=0.5，答：进馆人次的月平均增长率为50%．（2）解：第四个月进馆人数为2881+由于432<500答：市图书馆能接纳第四个月的进馆人次．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．19．（2023春·八年级单元测试）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的12，设南瓜种植面积的增长率为(1)则今年南瓜的种植面积为________亩；今年南瓜亩产量为_______kg（用含x的代数式表示）(2)今年南瓜的总产量为60000kg【答案】(1)101+x，(2)100【分析】（1）南瓜种植面积的增长率为x，去年种植了10亩地的南瓜，可求出南瓜种植面积，南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的12，则南瓜亩产量的增长率为1（2）去年南瓜亩产量为2000kg，今年南瓜的总产量为60000kg，南瓜亩产量的增长率为【详解】（1）解：去年种植了10亩地的南瓜，南瓜种植面积的增长率为x，∴今年南瓜的种植面积为101+x∵去年种植南瓜亩产量为2000kg，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的1∴南瓜亩产量的增长率是12∴今年南瓜亩产量为20001+故答案为：101+x，2000（2）解：根据题意得：101+x∴x2+3x-4=0，解方程得，x=1=100%∴南瓜亩产量的增长率为100%【点睛】本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，掌握题目中的数量关系列方程是解题的关键．20．（2022秋·湖南永州·九年级统考期中）某景区在今年的“国庆”假期间，接待游客达2万人次，预计后年的“国庆”假期接待游客2.88万人次，该景区一家特色小面店希望在“国庆”假期间卖面获得好的收益，经测算知，该面成本价为每碗10元，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店内所需其他各种费用为168元．(1)求预计该景区明、后两年“国庆”假期间游客人次的年平均增长率；(2)为了更好地维护景区形象，物价局规定每碗面售价不得超过20元，当每碗面提高多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入-总成本-其它各种费用）【答案】(1)20(2)当每碗面提高3元时，店家才能实现每天净利润600元【分析】（1）今年“国庆”假期间接待游客达2万人次，预计后年的“国庆”假期接待游客2.88万人次，根据增长率的计算方法，即可求解；（2）成本价为每碗10元，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店内所需其他各种费用为168元，根据题意设当每碗面提高a元时，店家才能实现每天净利润600元，由此列出方程即可求解.【详解】（1）解：根据题意，设年平均增长率为x，∴2(1+x)2=2.88，解方程得，x∴预计该景区明、后两年“国庆”假期间游客人次的年平均增长率为20%（2）解：设当每碗面提高a元时，店家才能实现每天净利润600元，∴(15+a-10)(120-8a)-168=600，即a2解方程得，a1=3，当a1=3时，售价为当a2=7时，售价为答：每碗面提高3元时，店家能实现每天净利润600元．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用，理解销售中的数量关系，列出方程是解题的关键．21．（2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）2023年元宵节，某电影院开展“弘扬家国情怀，彰显中华气魄”系列活动，对团体购买《流浪地球2》电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元．(1)求每张电影票的原定零售票价；(2)为了促进消费，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，求平均每次降价的百分率．【答案】(1)每张门票的原定票价为50元(2)原定票价平均每次的降价率为20【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则降价后的价格为(x-20)元，根据按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元，列出方程，解方程即可；（2）设原定票价平均每次的降价率为y，根据原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，列出方程，解方程即可．【详解】（1）解：设每张门票的原定票价为x元，则降价后的价格为(x-20)元，依题意，得：3000x解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，且符合题意．答：每张门票的原定票价为50元．（2）解：设原定票价平均每次的降价率为y，依题意，得：50(1-y)解得：y1=0.2=20%答：原定票价平均每次的降价率为20%【点睛】本题主要考查了一元二次方程和分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，注意要对分式方程的解进行检验．22．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动汽车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2019年底拥有家庭电动汽车150辆，2021年底家庭电动汽车的拥有量达到216辆．(1)若该小区2019年底到2021年底家庭电动汽车拥有量的年平均增长率相同，则年平均增长率是多少？(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资30万元（全部用完）建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位10000元/个，露天车位2000元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．【答案】(1)该小区家庭电动汽车拥有量年平均增长率为20%(2)方案一：建室内车位20个，露天车位50个；方案二：室内车位21个，露天车位45个【分析】(1)设年平均增长率是x，根据某小区2019年底拥有家庭电动汽车150辆，2021年底家庭家庭电动汽车的拥有量达到216辆，可求出增长率.(2)设该小区可建室内车位