专题10 集合与常用逻辑用语（大题）-2022-2023学年北京高一上期末试题分类汇编（解析版）

专题10集合与常用逻辑用语（大题）一．解答题（共19小题）1．（2022秋•海淀区期末）已知集合，．（Ⅰ）求集合中的所有整数；（Ⅱ）若，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）0，1，2；（Ⅱ）或【详解】（Ⅰ），集合中的所有整数为0，1，2；（Ⅱ），，①当，即时，，成立；②当，即时，，解得，综上所述，实数的取值范围为或．2．（2022秋•丰台区期末）已知关于的不等式的解集为或．（Ⅰ）求实数，的值；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使得，求实数的取值范围．条件①：集合；条件②：集合．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）关于的不等式的解集为或，，解得．（Ⅱ）选①集合，，，解得，实数的取值范围是，．选②集合，当时，，解得，符合题意；当时，则，解得，综上，实数的取值范围是，．3．（2022秋•石景山区期末）已知全集，若集合，．（1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），【详解】（1），，，，，．（2），，，，，实数的取值范围是，．4．（2022秋•密云区期末）已知集合，．（Ⅰ）当时，求，；（Ⅱ）当时，求；（Ⅲ）当时，求的取值范围．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ），【详解】集合，．（Ⅰ）当时，，，；（Ⅱ）当时，，或，；（Ⅲ）当时，，解得．的取值范围为，．5．（2022秋•昌平区期末）已知集合．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若集合，且，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），，【详解】（Ⅰ）因为集合或，则，（Ⅱ）因为集合，且，当时，则．符合题意，当时，则，若，则或，得或，综上，的取值范围为：，，．6．（2022秋•顺义区期末）已知函数定义域为集合，集合．（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）求，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或【详解】（Ⅰ），，，集合．（Ⅱ），，，或．7．（2022秋•延庆区期末）已知非空集合，不等式的解集为．（Ⅰ）当时，求；（Ⅱ）若，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），【详解】（Ⅰ）当时，，由，解得．所以，所以．（Ⅱ）因为，，所以由，解得，所以实数的取值范围是，．8．（2022秋•怀柔区期末）已知集合，．（Ⅰ）当时，求，，；（Ⅱ）若，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）因为集合，，当时，，则，，；（Ⅱ）因为，则，则的取值范围为．9．（2022秋•门头沟区期末）设全集，集合，．（1）当时，求，；（2）若，求的取值范围．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）【详解】（1）当时，集合，，，．（2）或，，，，的取值范围．10．（2022秋•大兴区期末）已知命题，．（1）写出命题的否定；（2）判断命题的真假，并说明理由，【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【详解】（1）由命题，，可得命题的否定为；（2）命题为假命题，因为（当且仅当时取等号），故命题，为假命题．11．（2022秋•西城区校级期末）已知集合，或．（1）当时，求；（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）【详解】（1）当时，，所以或，（2）由题可知，，因为“”是“”的充分不必要条件，所以，可得，解得．12．（2022秋•海淀区校级期末）已知集合，集合．（Ⅰ）当时，求和；（Ⅱ）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或【详解】（Ⅰ）集合，整理得：或，集合．当时，．所以．（Ⅱ）若是的必要不充分条件，所以，当时，，解得．当时，或，整理得或．综上所述：或．13．（2022秋•朝阳区期末）设全集，2，，，集合是的真子集．设正整数，若集合满足如下三个性质，则称为的子集：①；②，，若，则；③，，若，则．（Ⅰ）当时，判断，3，是否为的（3）子集，说明理由；（Ⅱ）当时，若为的（7）子集，求证：；（Ⅲ）当时，若为的（7）子集，求集合．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ），14，【详解】（Ⅰ）当时，，2，3，4，5，，，3，，，4，，取，，则，但，不满足性质②，，3，不是的（3）子集；（Ⅱ）证明：当时，为的（7）子集，则，假设，设，即，取，，则，但，不满足性质②，，；假设，取，，，且，则，再取，，，则，再取，，，且，但与性质①矛盾，．（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当时，若为的（7）子集，，，，当时，，2，，，若为的（7）子集，，，，若，取，，，则，，取，，，则，与矛盾，则，；若，取，，，则，与矛盾，则，；若，取，，，则，与矛盾，则，；若，取，，，则，与矛盾，则，；取，，2，3，4，5，6，，9，10，11，12，，则8，9，10，11，12，，8，9，10，11，12，；取，，，则；取，，2，3，4，5，6，，16，17，18，19，，则15，16，17，18，19，，15，16，17，18，19，；取，，，则；取，，2，，则22，，22，．综上所述，集合，14，．14．（2022秋•东城区期末）对于非空数集，若其最大元素为，最小元素为，则称集合的幅值为，若集合中只有一个元素，则．（Ⅰ）若，3，4，，求；（Ⅱ）若，2，3，，，，，，，，2，3，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，；（Ⅲ）若集合的非空真子集，，，，两两元素个数均不相同，且，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的最大值为18；，4，，，5，，，6，；（答案不唯一）（Ⅲ）11【详解】（Ⅰ）由，3，4，，得；（Ⅱ），，，不妨设，由于要求的最大值，且，，2，3，，所以只需，，，8，，，，，2，，因此的最大值为，可取，4，，，5，，，6，；（答案不唯一）（Ⅲ）设集合的元素个数为，2，，因为，，，，两两元素个数均不相同，不妨设，因为为集合的非空真子集，则有，所以，2，，，于是，，，又，2，3，，，，2，3，，11符合题意，所以的最大值为11．15．（2022秋•丰台区期末）已知集合．若集合是的含有个元素的子集，且中的所有元素之和为0，则称为的“元零子集”．将的所有“元零子集”的个数记为．（Ⅰ）写出的所有“2元零子集”；（Ⅱ）求证：当，且时，；（Ⅲ）求（1）（2）（9）的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）51【详解】（Ⅰ）根据题意，的“2元零子集”有，，，，，，，；（Ⅱ）证明：根据题意，当，且时，设是的任意一个“元零子集”，即集合中所有元素之和为0，而集合，其中所有元素之和也为0，则中所有元素之和也为0，即是的“元零子集”，则有，（Ⅲ）根据题意，的“1元零子集”只有，即（1），的“2元零子集”有，，，，，，，，即（2），的“3元零子集”有，0，，，0，，，0，，，0，，，1，，，，，，1，，，，，即（3），的“4元零子集”有，，1，，，，2，，，，1，，，2，，，，1，，，，2，，，，1，，，，2，，，1，，，，0，1，，，0，1，，，0，，，，0，，，则（4），由（Ⅱ）的结论，（5）（4），（6）（3），（8）（1），的“9元零子集”即，即（9），故（1）（2）（9）．16．（2022秋•密云区期末）已知集合，规定：集合中元素的个数为，且．若，，，，则称集合是集合的衍生和集．（Ⅰ）当，2，3，，，2，4，时，分别写出集合，的衍生和集；（Ⅱ）当时，求集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）集合的衍生和集，4，5，6，；集合的衍生和集，5，6，8，9，；（Ⅱ）最大值为15，最小值为9【详解】（Ⅰ）由衍生和集的定义知：集合的衍生和集，4，5，6，；集合的衍生和集，5，6，8，9，；（Ⅱ）当时，设集合且，，集合的衍生和集的元素个数的最小值为9；若集合中任意两个元素的和不相等，则衍生和集的元素个数取得最大值，最大值为15；最大值为15，最小值为9．17．（2022秋•昌平区期末）设有限集合，2，3，，，对于集合，，，，，，给出两个性质：①对于集合中任意一个元素，当时，在集合中存在元素，，使得，则称为的封闭子集；②对于集合中任意两个元素，，都有，则称为的开放子集．（Ⅰ）若，集合，2，4，6，8，，，，，判断集合，为的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）（Ⅱ）若，，，且集合为的封闭子集，求的最小值；（Ⅲ）若，且为奇数，集合为的开放子集，求的最大值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）9；（Ⅲ）【详解】（Ⅰ）对于，，，，，，且，则为的封闭子集．对于，由题可得，7，10，13，16，，其中任意两个元素相加之和都不在集合中，任意元素也不是其他两元素之和，且，是的开放子集．（Ⅱ）由题意，，，，，，，设，集合中任意一个元素中任意一个元素，当时，在集合中存在元素，，使得，则，其中，，，，得，，，，，，，则，若，则，则在中存在元素，，使它们的和为100，又，则当时，，得，解得，在中存在元素，，使它们的和为50，又当时，，不存在元素，，使，这与集合为的封闭子集矛盾，故，当，取，2，4，8，16，32，64，96，，其符合的封闭子集的定义，的最小值为9．（Ⅲ），且为奇数，当时，得，当时，将，2，3，，里面的奇数组成集合，则，3，5，7，，，中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且，则为开放子集，此时集合元素个数为，下面说明为最大值，，成立；当时，若，则中至少有一个属于，2，3，，的偶数，设为，则，得为属于集合，3，5，7，，，中的奇数，这与开放子集的定义矛盾，故，综上，的最大值为．18．（2022秋•顺义区期末）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集．（Ⅰ）判断集合，，0，是否为封闭集，并说明理由；（Ⅱ）判断以下两个命题的真假，并说明理由；命题：若非空集合，是封闭集，则也是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则也是封闭集；（Ⅲ）若非空集合是封闭集合，且，为全体实数集，求证：不是封闭集．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）解：对于集合，因为，，所以是封闭集；对于集合，0，，因为，，不属于，所以集合，0，不是封闭集；（Ⅱ）解：对命题：令，，，，则集合，是封闭集，但不是封闭集，故错误；对于命题：设，，则有，，又因为集合是封闭集，所以，，同理可得，，所以，，所以是封闭集，故正确；（Ⅲ）证明：假设结论成立，设且，否则，所以有，设且，否则，所以有，矛盾，故假设不成立，原结论成立，证毕．19．（2022秋•延庆区期末）已知集合是集合的子集，对于，定义．任取的两个不同子集，，对任意．（Ⅰ）判断（A）（B）是否正确？并说明理由；（Ⅱ）证明：（A）（B）．【答案】见解析【