高二数学同步练习函数的单调性与导数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3。3.1HYPERLINK”file:///D:\\TDDOWNLOAD\\人教A数学选修1-1，1—2\\1、3-3—1.ppt"\t"_parent”函数的单调性与导数一、选择题1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d（a＞0)，则f（x)为增函数的一个充分条件是()A．b2－4ac＞0 B．b＞0，c＞0C．b＝0,c＞0 D．b2－3ac＞0［答案]C2．函数f（x)＝2x2－lnx的单调递增区间是（)A．(0，eq\f(1,2)） B．（0，eq\f（\r（2)，4）)C．(eq\f（1,2），＋∞） D．（－eq\f（1,2)，0)及（0,eq\f(1，2)）［答案]C[解析]函数f（x)的定义域为(0，＋∞），f′（x)＝4x－eq\f(1,x）,令f′(x)>0,得x〉eq\f(1，2）,∴函数f(x)在eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2），＋∞）)上单调递增．3．（2009·广东文，8）函数f（x)＝（x－3）ex的单调递增区间是（）A．(－∞，2） B．(0,3）C．(1,4） D．（2,＋∞)［答案］D[解析］考查导数的简单应用．f′(x）＝（x－3)′ex＋（x－3)（ex）′＝（x－2）ex，令f′（x）>0,解得x〉2，故选D.4．函数y＝xsinx＋cosx,x∈（－π，π)的单调增区间是（)A.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π，2)））和eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2)）)B。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（π，2）,0）)和eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f(π,2))）C。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π,－\f(π，2）)）和eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π,2)，π））D.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（π，2),0））和eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π，2），π))［答案］A［解析]y′＝xcosx,当－π〈x<－eq\f(π，2)时,cosx<0,∴y′＝xcosx>0,当－eq\f（π，2）<x〈0时,cosx>0，∴y′＝xcosx〈0.当0<x<eq\f(π，2）时，cosx>0，∴y′＝xcosx〉0。5．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数,则()A．a≤0 B．a<1C．a〈2 D．a≤eq\f(1,3）［答案］A［解析］f′（x)＝3ax2－1≤0恒成立，即a≤0。6．已知a〉0，函数f（x)＝－x3＋ax在［1，＋∞)上是单调减函数，则a的最大值为（）A．1 B．2C．3 D．4［答案]C［解析]f′(x)＝－3x2＋a≤0，∴a≤3x2。∴a≤3.7．设f（x)在(a，b)内可导,则f′（x)〈0是f(x）在(a，b)上单调递减的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件［答案］A8．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8）内是增函数，则(）A．b≤2 B．b＜2C．b≥2 D．b＞2［答案]A[解析]函数y＝x2－2bx＋6的对称轴为x＝b，要使函数在（2,8）内是增函数,应有b≤2成立．9．(2009·湖南文，7)若函数y＝f(x）的导函数在区间[a，b］上是增函数，则函数y＝f（x）在区间[a,b]上的图象可能是(）[答案］A[解析]考查导函数的基本概念及导数的几何意义．∵导函数f′(x）是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.［点评］B图中切线斜率逐渐减小,C图中f′（x）为常数,D图中切线斜率先增大后减小．10．设函数f(x）在定义域内可导，y＝f（x)的图象如图所示，则导函数y＝f′（x)的图象可能为（)[答案]D[解析］函数y＝f(x）在区间（－∞,0）上单调增，则导函数y＝f′(x）在区间（－∞,0)上函数值为正，排除A、C，原函数y＝f(x）在区间（0，＋∞）上先增,再减,最后再增，其导函数y＝f′(x）在区间（0，＋∞)上函数值先正，再负,再正，排除B，故选D。二、填空题11．函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为________．[答案］（－∞，－eq\f（1，3)），(1，＋∞)[解析]∵y′＝3x2－2x－1＝(3x＋1)（x－1），∴由y′〉0得，x〉1或x〈－eq\f(1,3)。12．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2）内单调递减，则实数a的取值范围是____________．［答案］[3,＋∞）[解析]y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax≤0在区间(0，2）内恒成立，即a≥eq\f(3,2）x在区间（0,2)上恒成立,∴a≥3。13．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则m的取值范围是________．［答案］m≥eq\f（1,3)［解析]因为f（x)＝x3＋x2＋mx＋1在R上单调，所以f′（x)＝3x2＋2x＋m，由题意可知f（x)在R上只能递增，∴Δ＝4－12m≤0.∴m≥eq\f（1,3）.14．若函数y＝－eq\f（4,3)x3＋ax有三个单调区间,则a的取值范围________．［答案］a〉0[解析]y′＝－4x2＋a，若y＝－eq\f（4，3)x3＋ax有三个单调区间，则方程－4x2＋a＝0应有两个不等实根，故a>0。三、解答题15．讨论函数f（x）＝eq\f(bx,x2－1)(－1＜x＜1,b≠0)的单调性．［解析］∵f(x）＝eq\f（bx，x2－1）（－1〈x<1,b≠0)∴f′（x）＝eq\f(（bx)′（x2－1）－bx(x2－1）′，（x2－1）2)＝eq\f(bx2－b－2bx2,(x2－1）2)＝eq\f(－b(1＋x2）,（x2－1)2)∵－1〈x〈1，∴1－x2>0,（x2－1）2〉0,①当b>0时，f′(x)<0，∴函数f（x）在（－1，1)上单调递减．②当b<0时，f′（x)〉0，∴函数f(x）在（－1，1）上单调递增．16．已知曲线y＝x3＋3x2＋6x－10,点P(x，y)在该曲线上移动，在P点处的切线设为l.(1）求证：此函数在R上单调递增；（2)求l的斜率的范围．［解析](1）证明：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x2＋2x＋1)＋3＝3（x＋1)2＋3〉0恒成立，∴此函数在R上递增．（2）解：由（1）知f′（x)＝3（x＋1)2＋3≥3，∴l的斜率的范围是k≥3.17．已知向量a＝(x2，x＋1），b＝(1－x，t)，若函数f(x）＝a·b在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围．[解析]f(x)＝a·b＝x2(1－x)＋t（x＋1）＝－x3＋x2＋tx＋tf′（x）＝－3x2＋2x＋t∵函数f（x）在（－1，1）上是增函数∴f′（x)≥0对x∈(－1,1)恒成立∴－3x2＋2x＋t≥0在(－1,1)上恒成立即t≥3x2－2x在(－1，1）上恒成立令g（x)＝3x2－2，x∈(－1,1）∴g(x)∈(－eq\f(1，3），5)故要使t≥3x2－2x在区间（－1，1）上恒成立，只需t≥5即：所求t的取值范围为：t≥518．设函数f(x）＝（ax2－bx）ex(e为自然对数的底数)的图象与直线ex＋y＝0相切于点A,且点A的横坐标为1.(1）求a，b的值；(2）求函数f（x)的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．[解析](1)f′（x）＝(2ax－b)ex＋(ax2－bx）·ex＝［ax2＋(2a－b)x－b]ex,由于f(x)的图象与直线ex＋y＝0相切于点A,点A的横坐标为1,则A（1，－e），所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(f（1）＝－e，f′(1）＝－e))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（(a－b)e＝－e,（3a－2b）e＝－e)），解得a＝1，b＝2。(2）由a＝1，b＝2得f(x)＝（x2－2x）ex，定义域为（－∞