高等几何课件

1．映射与变换设有集合S和S/，若对S中每一元素M，按照确定的法则T，在S/中总存在唯一元素M/与之对应，则称此法则T为集合S到集合S/的映射，记为

T:S

S/．(1.1)若在T之下，元素M(

S)的对应元素是M/(

S/)，则说T将M映成M/，记为

变换群与几何学___§1变换与变换群并称M/为M在T之下的象，M为M/在T之下的原象．M

M/

T(M)，T§1变换与变换群T(S)：集合S的全体元素在T之下的象的集合．满射：T(S)

S/；单射：S的不同元素的象元素也不同；双射：既是单射又是满射的映射．术语约定：两个集合之间的双射称为对应；将集合到自身的双射称为变换．几种常见变换例1．恒等变换若变换T，将S上每一元素变到自身，即则称为恒等变换(或单位变换)，记为I．M

T(M)

M，

M

S，TOijxyMM/a§1变换与变换群取直角标架[O;i,j]，设M(x,y)，M/(x/,y/)，

a

{a1,a2}，则Ta的坐标表达式为：简称为平移．记为Ta．Ta：x/

x

a1y/

y

a2(1.2)

例2．平移变换将平面上的点M按定向量方向a移动到点M/，使得MM/

a的变换称为平移变换，

oijxyMM/

§1变换与变换群例3．旋转变换对平面上固定点O和有向定角

，使原象点M与象点M/满足的点变换称为以O为中心的旋转变换，简称旋转，记为R

．其表达式为：R

：x/

xcos

ysin

y/

xsin

ycos

(1.3)

|OM/|

|OM|，

MOM/

例4．镜射变换对平面上的定直线

，使原象点M与象点M/之间的线段被

垂直平分的点变换称为以

为轴的镜射变换，简称镜射．建立如图坐标系，则其表达式为：§1变换与变换群OijxyMM/

x/

xy/

yMox：(1.4)

ABCDEMA/E/B/C/D/M/

/

例5．平行射影二平面

、

/交于直线

，向量

与二平面都不平行．对于

上任意点M，过M作平行于

的直线，交

/于M/，则将M映成M/的点对应称为平面

到平面

/

的平行射影，向量

为投射方向．性质：

1．将直线变成直线；

2．保持平行性和平行线段之比；

3．对应点连线平行，直线

上的点不变．§1变换与变换群2．映射的乘积与逆设点M先用R

作用得到M/，再用Ta作用得到M//，则由(1.3)和(1.2)可得M到M//的变换为：§1变换与变换群x//

xcos

ysin

a1y//

xsin

ycos

a2

我们称这种从M到M//的变换为R

和Ta的乘积，记为Ta

。R

(或Ta

R

)．一般地，设有映射T1:S

S/和T2:S/

S//，则乘积

T2T1:S

S//

定义为对任意M

S，

T2T1(M)

T2[T1(M)]．结合律成立：T3(T2T1)

(T3T2)T1．但乘积一般不可换．对于变换T:S

S，有

TT

1

T

1T

I．易知：Ta

1

T

a，TaTb

Ta

b；

R

1

R

，R

R

R

．§1变换与变换群3．不动元素与不动子集对于变换T:S

S

，若存在元素M

S

，使T(M)

M，则称M为此变换的不动元素；若存在S的子集F，使T(F)

F

，则称F为此变换的不动子集．注意：

1．不动元构成的子集是不动子集；但不动子集的元素不一定是不动元．如，与非零向量a

平行的直线都是平移Ta

的不动直线，但Ta

无不动点．

2．变换T:S

S

与T

1有相同的不动子集．§1变换与变换群§1变换与变换群解：设直线

经此镜射作用后的象为

/：Ax/

By/

C

0，将变换式代入，得Ax

By

C

0．

不动(即

与

/重合)的充要条件为

A/A

B/(

B)

C/C，此式等价于2AB

2BC

0，即A

0，B

0，C

0或A

0，B

0，故不动直线的方程为

y

0和Ax

C

0(A

0)．例求镜射变换的不动直线．x/

xy/

y

4．变换群若集合S上的某些变换构成的集合G满足条件：

1.G中任二变换的乘积仍属于G

；

2.G中每一变换T的逆T

1也属于G

，则称G为集合S上的一个变换群．由定义知：任何变换群一定包含恒等变换．可以证明：平面上绕定点O的旋转变换的集合G是一个变换群，称为旋转群．记为G1．只含恒等变换的集合{I}也是变换群．若二变换群G*、G满足G*

G

，则称G*为G的子(变换)群．§1变换与变换群如：变换群G是其自身的子群，{I}是任意变换群的子群．可以证明：G*

{R0

I，R

/2，R

，R3

/2}是旋转群G1的非平凡子群(即真子群)．§1变换与变换群§2仿射坐标与仿射平面1．仿射坐标与仿射坐标变换平面上一定点O及二不共线向量e1、e2构成一个仿射标架，记为

[O；e1，e2]．任意点M的向径的分解式为：OxyMEyExe2e1a则有序数对(x,y)称为点M关于标架

的仿射坐标．OM

xe1

ye2(1)

{x,y}也称为向量OM的坐标(或分量)．

显然，原点O的坐标是(0,0)；x轴上的单位点为Ex(1,0)；y轴上的单位点为Ey(0,1)．若在平面上给定仿射标架，则平面上全体点的集合与全体有序数对的集合有一一对应关系，故也说在平面上建立了一个仿射坐标系Oxy．因此常直接称标架

[O；e1，e2]为仿射坐标系，O称为坐标原点，e1和e2称为基本向量．习惯上，将建立了仿射坐标系的平面称为仿射平面．§2仿射坐标与仿射平面仿射坐标变换§2仿射坐标与仿射平面OO/yxMe1e2e1/e2/考察M在

下的坐标(x,y)与在

/下的坐标(x/,y/)之间的关系，即求仿射坐标变换式．仿射平面上给定二仿射坐标系

[O;e1,e2]和

/

[O/;e1/,e2/]．设在

下，新原点及新基本向量的坐标分别为O/(a1,a2)，e1/

{a11,a21}，e2/

{a12,a22}，则仿射坐标变换式为：写成矩阵形式，为§2仿射坐标与仿射平面x

a11x/

a12y/

a1y

a21x/

a22y/

a2，det(aij)

0(2)

x

a11a12x/

a1y

a21

a22y/a2

，det(aij)

0(2)/

由(2)可得，向量在

下的坐标{u,v}与在

/下的坐标{u/,v/}之间的关系为：故有定理1

点的仿射坐标变换是满秩线性变换．定理2

向量的仿射坐标变换是满秩齐次线性变换．特例：直角坐标变换§2仿射坐标与仿射平面u=a11u/

a12v/v=a21u/

a22v/

，det(aij)≠0(3)

OO/xyM

y/x/e1/e2/e1e2记有向角

e1,e1/

，则e1/

{a11,a21}

{cos

,sin

}，e2/

{a12,a22}

{

sin

,cos

}，§2仿射坐标与仿射平面代入(2)式即得平面解析几何中的直角坐标变换式：x

x/cos

y/sin

a1y

x/sin

y/cos

a2．

§2仿射坐标与仿射平面仿射平面上的几个常用结论过点M0(x0,y0)，平行于向量

{u,v}的直线

的方程为：

(x

x0)/u

(y

y0)/v，(1)

称为直线

的点向式方程．u

0时，可变形为：y

kx

b；其中，k

v/u称为直线的方向数；

u

0时，成为：x

x0，约定其方向数为

．上述分析表明，直线方程总形如：Ax

By

C

0(A，B不同时为0)，称为直线的一般式方程．OxyMM0

e1e2仿射平面上关于点与直线的几个结论：1.

二直线

(i)：Aix

Biy

Ci

0(i

1,2)

相交

A1/A2

B1/B2；平行

A1/A2

B1/B2

C1/C2；重合

A1/A2

B1/B2

C1/C2．§2仿射坐标与仿射平面直线的参数方程：x

x0

uty

y0

vt(

t

)

且若P3分线段P1P2成定比

，则

x3

(x1

x2)/(1

)，y3

(y1

y2)/(1

)．2.

三点Pi(xi,yi)(i

1,2,3)共线

x1

y11x2

y21=0，x3

y31

§2仿射坐标与仿射平面3.

三直线

(i)：Aix

Biy

Ci

0(i

1,2,3)共点或平行的充要条件是：A1

B1

C1A2

B2

C2

0．A3

B3

C3

注：以上结论与直角坐标系下相应结论一致；但特殊的直角坐标系下成立的结论不能完全照搬到一般仿射坐标系下．§3仿射变换1．透视仿射变换uv

*MNM/N/M*N*

设平面

与

*

交于直线

，取分别具有投射方向u，v的两个平行射影T1：

*和T2：

*

，则乘积

T

T2T1：

称为

上的透视仿射变换．§3仿射变换几何性质：

I.

将点变成点，将直线变成直线；

II.

保持平行性和平行线段之比；

III.

对应点连线平行；

IV.

交线

上的点均为不动点．对应点连线所具有的固定方向称为透视方向；平面

与

*交线

称为透视仿射轴(简称轴)．可以证明：一对对应直线与轴这三条直线或者三线共点，或者三线平行．定理1轴和一对对应点决定唯一透视仿射变换．（存在性易得．唯一性见后图）§3仿射变换A/M/M//AMB

C2．仿射变换的定义及性质平面

上的点变换T:

，若将直线变成直线，且保持平行性和平行线段之比，则称为仿射变换．基本性质：

1．同素性；

2．结合性；

3．将向量变成向量且保持向量的线性关系．§3仿射变换若A、B、C是共线三点，则AC

BC．

称系数

为A、B、C的简单比，记为

(ABC)；称A、B为基点，C为分点．

4．仿射变换保持共线三点的简单比．设在给定仿射坐标系下，A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)，则

(ABC)

(xC

xA)/(xC

xB)(yC

yA)/(yC

yB)．又(xC

xA)/(xC

xB)(yC

yA)/(yC

yB)

AC/BC．故简单比也可定义为：(ABC)

AC/BC．§3仿射变换例求证：若仿射变换有两个不动点M

和N，则直线MN上每一点都是此变换的不动点．证明：设P

是直线MN

上任一点，其在仿射变换下的象为P/，则

(PMN)

(P/MN)，即PN/MN

P/N/MN．故P

P/，即直线MN

上的点都是不动点．§3仿射变换3.仿射变换的表达式如图，设Oe1e2e/1e/2ExMxEyMyE/xM/xE/yM/yO/x/y/xyM/MM(x,y)

M/(x/,y/)TMx

Mx/TT

O

O/(a1,a2)My

My/Te1

OEx

T

O/Ex/

e1/

{a11,a21}

e2

OEy

T

O/Ey/

e2/

{a12,a22}

§3仿射变换故得仿射变换的表达式为：x/

a11x

a12y

a1y/

a21x

a22y

a2，det(aij)

0．(2)

T则OMx

xOEx

O/Mx/

xO/Ex/

TOMy

yOEy

O/My/

yO/Ey/

但OM/

OO/

O/Mx/

O/My/，

即OM/

OO/

xO/Ex/

yO/Ey/，(1)

其矩阵形式为：于是有定理2

在给定的仿射坐标系下，平面上的仿射变换是满秩线性变换．反之，可证明满秩线性变换是仿射变换．推论1

在仿射坐标系

=[O;e1,e2]下，对仿射变换(2)而言,{a11,a21}=e1/,{a12,a22}=e2/分别是e1,e2的仿射象,O/(a1,a2)是原点O的仿射象．§3仿射变换

x/

a11a12x

a1y/

a21

a22ya2，det(aij)

0(2)/

推论2

仿射变换将仿射坐标系变成仿射坐标系，且象点在象坐标系下的坐标等于原象点在原坐标系下的坐标．推论3

代数曲线的次数在仿射变换下不变．注意：将仿射点变换(2)与§2的仿射坐标变换(2)比较，可见二者在形式上均为满秩线性变换．意味着，对满秩线性变换可作两种不同解释：一、可理解为在同一坐标系下，点的坐标与其仿射象点的坐标之间的关系；二、可看成在二不同坐标系下，同一点的不同坐标之间的关系．按照上述思想，从向量的坐标变换式立即得到§3仿射变换定理3

在仿射变换(2)下，若向量

{u,v}的象为

/

{u/,v/}，则例1

位似变换§3仿射变换Oxye1e21．不动点：原点；2．不动直线：过原点的直线；3．不是透视仿射变换．u/

a11u

a12vv/

a21u

a22v，det(aij)

0(3)

x/

axy/

ay，a

0

例2伸缩变换不动点：x轴上的所有点；不动直线：平行于y轴的所有直线以及x轴．在直角坐标系下，圆x2

y2

1经其作用后变成椭圆x/2

y/2/a2

1．问：伸缩变换是透视仿射变换吗？§3仿射变换OxyPP/e1e2x/

xy/

ay，a

0

Oyxe1e2PP/MM/y=y0例3推移变换不动点：

x轴上的所有点；不动直线：平行于x轴的所有直线．问：伸缩变换是透视仿射变换吗？§3仿射变换x/

x

ayy/

y，a

0

4．重要定理定理4

设Pi(xi,yi)和Pi/(xi/,yi/)(i

1,2,3)分别是平面上不共线三点，则存在唯一仿射变换将Pi映成Pi/．§3仿射变换证明：设仿射变换为将

(xi,yi)

(xi/,yi/)代入，得在上式的第一式中，令i

1,2,3，得xi/

a11xi

a12yi

a1yi/

a21xi

a22yi

a2，(1)

x/

a11x

a12y

a1y/

a21x

a22y

a2，det(aij)

0．

§3仿射变换因P1、P2

、P3不共线，故因此方程组(2)有唯一解a11,a12,a1，同理可求唯一确定的a21,a22,a2．再由(2)可得x1/

a11x1

a12y1

a1x2/

a11x2

a12y2

a1x3/

a11x3

a12y3

a1，(2)

x1

y11x2

y21

0，x3

y31

x2/

x1/y2/

y1/x3/

x1/y3/

y1/x2

x1

y2

y1x3

x1

y3

y1a11

a21a12

a22

，

§3仿射变换因P1/、P2/、P3/不共线，故

故定理成立．推论1

仿射变换是透视仿射变换

该仿射变换有一条由不动点构成的直线．推论2

仿射变换是恒等变换

该仿射变换有不共线三不动点．x2/

x1/y2/

y1/x3/

x1/y3/

y1/0．

从而，0．a11

a21a12

a22

定理5

非透视的仿射变换可通过至多三次透视仿射变换来实现．

定理5的证明思路：设A、B、C

是仿射变换T

的三不共线的非不动点，其对应点依次为A/、B/、C/．§3仿射变换A/B/C2

A/B1C1ABCA/B/C/

定理6

平面上全体仿射变换的集合构成一个变换群，称为仿射群．记为G6．T1

T2

T3§4欧氏平面和保距变换1.保距变换的定义及表达式建立了直角坐标系的平面称为欧氏平面．欧式平面上，保持距离不变的仿射变换称为保距变换(或正交变换)．x/

a11a12x

a1y/

a21

a22ya2，det(aij)

0T：是保距变换

A(aij)是正交矩阵．

定理1

直角坐标系下，仿射变换：

证明：设在仿射变换T作用下

v

{v1,v2}变成v/

{v1/,v2/}．由于(v1/v2/)

(v1

v2)AT，从而对任意向量v，v/2

v2的充要条件是ATA

E，等价于A

1

AT．注：正交条件A1

AT

用矩阵元素表示为：

a112

a212

a122+a2221，a11a12

a21a220．也等价于：

a112

a122

a212

a2221，a11a21

a12a220．正交条件也可描述为：矩阵的两个行向量单位正交，或二列向量单位正交．利用上述代数条件不难得出下面的结论：§4欧氏平面和保距变换

(v1

v2)ATA

v1v2故v/2

(v1/v2/)v1/v2/

例将点(0,1)，(2,0)分别变成(

1,0)，(0,2)的保距变换是否存在？若存在，写出变换式．

解：假定保距变换存在，设为§4欧氏平面和保距变换x/cos

sin

x

a1y/sin

cos

ya2定理2

直角坐标系下，保距变换可表示为：其中，定角

(

,

]．

x/

a11a12x

a1y/

a21a22

ya2．

1

a11a120

a10a21a22

1a2则，

§4欧氏平面和保距变换且0

a11a122

a12a21a22

0a2，

由此得a12

a1

1(1)a22

a2

0(2)2a11

a1

0(3)2a21

a2

2(4)a112

a1221(5)a212

a2221(6)a11a21

a12a220(7)

由(1)、(3)、(5)解得a1

0a11

0a121a1

8/5a11

4/5a123/5或

§4欧氏平面和保距变换故所求保距变换存在，为由(2)、(4)、(6)解得a2

0a22

0a211a2

4/5a22

4/5a213/5或

a1

0a11

0a121a2

0a22

0a211a1

8/5a11

4/5a123/5a2

4/5a22

4/5a213/5由(7)得或

x/4/5

3/5

x

8/5y/3/5

4/5

y4/5x/0

1

xy/10

y

或

．

§4欧氏平面和保距变换2.保距变换的实现定理3行列式为

1的非恒等保距变换是旋转与平移的乘积．

证明：容易看到，保距变换的乘积．即T

TaR

．

x/cos

sin

x

a1y/sin

cos

ya2

T:

R

：x//

xcos

ysin

y//

xsin

ycos

是旋转

与平移Ta：x/

x//

a1y/

y//

a2

§4欧氏平面和保距变换定理4行列式为

1的非恒等保距变换是旋转、镜射和平移的乘积．

证明：保距变换的乘积．即T

TaRoxR(

)．x/cos

sin

x

a1y/sin

cos

ya2

T:

x//

xcos(

)

ysin(

)y//

xsin(

)

ycos(

)是旋转R(

)：

镜射Mox：x///

x//

y///

y//

与平移Ta：x/

x///

a1y/

y///

a2

§4欧氏平面和保距变换行列式为

1的保距变换称为正运动；行列式为

1的保距变换称为反运动．3.保距变换的性质定理5保距变换保持向量内积不变．

证明：设在保距变换下，

{u1,u2}

{u1/,u2/}，{v1,v2}

{v1/,v2/}，则

(u1

u2)ATA

v1v2

u1v1

u2v2．v1v2

(u1,u2)

u1/v1/

u2/v2/

(u1/,u2/)v1/v2/

§4欧氏平面和保距变换定理6保距变换保持向量夹角不变．推论保距变换保持面积不变．定理7仿射变换是保距变换

它将直角坐标系变成直角坐标系．定理8平面上全体保距变换的集合构成一个变换群，称为欧氏群(或运动群)．记为G3．易证：全体正运动的集合构成群，称为正运动群．显然，正运动群是欧氏群的子群，而欧氏群是仿射群的子群．§5几何学与变换群的关系1．Klein观点介绍若给定集合S和S上的一个变换群G，则称配对(S,G)为空间．若对S中的图形F

和F/，存在G

的变换T，使F变成F/，则称F

和F/

有关系，记为F/

F．利用近世代数知识不难证明引理上述图形间的关系“

”是等价关系．由此可按照等价关系“

”对S的图形进行分类：等价图形属于同一类，不等价图形属于不同类．每一等价类中各图形所共有的性质和量为在群G的变换下的不变性质和不变量．§5几何学与变换群的关系对于空间(S,G)而言，研究图形关于群G

下的不变性质、不变量和图形分类的所有命题的集合，称为集合S上群G附属的几何学．若集合S上的群G*

是G的子群，则称G*

附属的几何是G附属的几何的子几何．显然，群所含变换越少，不变性质和不变量就越多，从而其所附属的几何学包含的内容就多．2．变换群与几何学平面上欧氏群附属的几何学称为欧氏平面几何．平面上仿射群附属的几何学称为仿射几何．§5几何学与变换群的关系按照Klein观点，变换群与几何学的关系如下：对于给定的空间，不同的变换群附属不同的几何学，它研究图形在此变换群下的不变性质、不变量和图形分类．如仿射几何研究的平行性、同素性、结合性是仿射不变性质，简单比是其不变量．而欧氏群附属的欧氏几何研究的长度、角度、面积是其不变性质，简单比、距离是其不变量．由于欧氏群是仿射群的子群，故欧氏几何是仿射几何的子几何．而后面将学习的射影几何则是比仿射几何更大的几何．例1

下列图形在仿射变换下的对应图形是什么？平行四边形；梯形；等腰三角形；二全等的矩形例2

下列几何量和性质是哪种(最大的)几何学讨论的对象？线段的长度；两直线所成的角；离心率；平行线段之比；三角形面积；平行；垂直；平行四边形对角线互相平分．例3

仿射变换下，正方形有哪些性质不变？其仿射象是什么图形？

例4“三角形重心”与“二互相垂直直线”的仿射象各是什么？§5几何学与变换群的关系

二次曲线的射影理论

§1.配极与二次曲线1.二阶曲线与二级曲线给定配极射影平面上，配极的自共轭直线的轨迹称为二级曲线．射影平面上，配极的自共轭点的轨迹称为二阶曲线．其中，aij

aji，Aij是(aij)中aij的代数余子式．其对应的二阶曲线和二级曲线方程为：

(

1,

2,

3)(x1,x2,x3)(aij)

(x1,x2,x3)(

1,

2,

3)(Aij)．

：

§1.配极与二次曲线由于配极有两种类型，故曲线也如此．若配极为双曲型，则其对应二级曲线有无穷多实直线，故也称为二次线束．(如下图)若配极为双曲型，则其对应二阶曲线有无穷多实点，故也称为二次点列．(如下图)配极对应的二级曲线方程为：配极对应的二阶曲线方程为：(x1,

x2,x3)(aij)0．(1)x1x2x3(

1,

2,

3)(Aij)0．(1)/

1

2

3即

aijxixj

0,aij

aji．即

Aij

i

j

0,Aij

Aji．

§1.配极与二次曲线若配极是椭圆型的，则其对应二级曲线不存在，或说对应虚二级曲线．若配极是椭圆型的，则其对应二阶曲线不存在，或说对应虚二阶曲线．由于配极与曲线的对应，故可将配极的相关概念移植到曲线．下面就双曲型配极对应的曲线讨论点、直线与曲线的关系．§1.配极与二次曲线1.

切线：

的自共轭直线．切点为该直线上的自共轭点；(其等价定义：切线是有唯一属于二阶曲线的点的点列)1.

切点：

的自共轭点．切线为过该点的自共轭直线；(其等价定义：切点是有唯一属于二级曲线的直线的线束)2.

二切点线(割线)：过二自共轭点的直线；2.

二切线点：有二自共轭直线通过的点；3.

无切点线(离线)：不过自共轭点的直线．3.

无切线点：无自共轭直线通过的点．

abc§1.配极与二次曲线2.极点与极线二次曲线配极的极点和极线，称为其对应二阶曲线和二级曲线的极点和极线．定理1/

对于二级曲线定理1

对于二阶曲线直线

的极点方程为点y

的极线方程为(x1,

x2,x3)(aij)0．(2)x1x2x3(

1,

2,

3)(Aij)0．(2)/

1

2

3

(y1,

y2,y3)(aij)0．(3)x1x2x3(

1,

2,

3)(Aij)0．(3)/

1

2

3

§1.配极与二次曲线下述定理表明，二阶曲线与二级曲线就其本质而言是一样的．推论1/

点y关于二级曲线(2)/的极线坐标为(

1,

2,

3)

(y1,y2,y3)(aij)．推论1直线

关于二阶曲线(2)的极点坐标为(x1,x2,x3)

(

1,

2,

3)(Aij)．推论2/

属于二级曲线(2)/的任意直线

的切点方程为推论2在二阶曲线(2)上的任意点y的切线方程为(y1,

y2,y3)(aij)0．x1x2x3(

1,

2,

3)(Aij)0．

1

2

3

§1.配极与二次曲线定理2/

二级曲线定理2

二阶曲线的切点集合为二阶曲线的切线集合为二级曲线其中，

Aij是(aij)中aij的代数余子式．其中，

Bij是(bij)中bij的代数余子式．(x1,

x2,x3)(aij)0．(2)x1x2x3(

1,

2,

3)(bij)0．

1

2

3

(x1,

x2,x3)(Bij)0．x1x2x3(

1,

2,

3)(Aij)0．(2)/

1

2

3

xyz

定理3

不在二次曲线上的点为二切线点

其极线是二切点线，且极线与曲线的两交点与此二切线点所连直线是切线．因上述二相互对偶的定理，二阶曲线与二级曲线统一了起来，将二者统称为二次曲线．方程(2)和(2)/

分别是二次曲线的点坐标方程和线坐标方程．由此可知：二级曲线是配极变换的自共轭直线的集合，它与二阶曲线是对偶的．§1.配极与二次曲线xyz

证明：设过二切线点x的两条切线

、

的切点分别为y、z．从而x的极线

与曲线交于y、z两点．即

是二切点线．反之，设点x的极线

与曲线交于y、z两点．因点x的极线

过y、z两点，故y、z的极线

、

过x．这即是说

、

就是过x的两条切线．因y、z的极线

、

过x，故x的极线过y、z．§1.配极与二次曲线§1.配极与二次曲线推论不在曲线上的点是无切线点

其极线是无切点线．例1

已知二次曲线:x123x22

x322x1x24x1x30和点a(1,0,1)，试判定点a是二次曲线

的哪一类点．解法1：

方程可改写为：由此可得a关于

的极线

:x1

x2

x3

0，解得

x3

x1

x2，代入

方程得x1x2x3(x1,x2,x3)1121302010．(*)

3x122x1x22x22

0．因

22

4

3

2

20<0，故

为

的无切点线，从而a是

的无切线点．解法2：由(*)式可得，

与a的线坐标方程分别为：

:3

123

222

322

1

212

1

34

2

30，

a:

1

30，将a的线坐标方程代入

的线坐标方程，得

7

122

1

22

22

0，其判别式

22

4

7

2

52<0，故线束a中无

的切线，即a是

的无切线点．§1.配极与二次曲线§1.配极与二次曲线若一对点是配极

的共轭点对，则称它们是

对应的二次曲线的共轭点对．定理4

若过点对x、x/的直线

交二次曲线

于u、v两点，则x与x/是

的共轭点对

(uv;xx/)

1．xx/vu

证明：设

：(x)(aij)(x)T

0．因x、x/、u、v共线，故可设

(x)

(u)

(v)，

(x/)

(u)+(v)．又(x)(aij)(x/)T

[

(u)+(v)](aij)[

(u)+(v)]T

(u)(aij)(u)T+[

+

](u)(aij)(v)T+(v)(aij)(v)T．因u、v为

上二点，故(u)(aij)(v)T

0且

(x)(aij)(x/)T

[

+

](u)(aij)(v)T．所以，x与x/是

的共轭点对

(x)(aij)(x/)T

0

[

+

](u)(aij)(v)T0

+

0

(uv;xx/)

1．§1.配极与二次曲线注意：此定理将共轭与调和共轭联系了起来．a/b/c/ab//c//sbca//qpr§1.配极与二次曲线证明：因三点形abc与三点形a//b//c//对应顶点连线共点，故对应边交点

(a

b)

(a//

b//)

p，

(b

c)

(b//

c//)

q，

(c

a)

(c//

a//)

r共线．例2由二次曲线的内接三点形abc的各顶点作此曲线的切线，构成外切三点形a/b/c/，从不在上述各直线上任一点s与a、b、c分别连直线交对边于a//、b//、c//．求证：

a/

a//、b/

b//、c/

c//共点．a/b/c/ab//c//sbca//qpr在完全四点形sa//cb//的对角线a

b上，有

(ba;pc//)

1，因a、b在曲线上，故p

与

c//是一对共轭点．又p

在

c/的极线a

b上，故p

与

c/共轭．因此，p

的极线是c/

c//．§1.配极与二次曲线同理，q

的极线是a/

a//，

r

的极线是b/

b//．从而，因p、q、r

共线，故a/

a//、b/

b//、c/

c//共点．uwabcdxyv二次曲线

对应的配极的自极三点形称为二次曲线

的自极三点形．定理5

二次曲线的内接完全四点形的对角三点形是曲线的自极三点形．证明：设

的内接完全四点形abcd的对角三点形为uvw，并设x

(u

v)

(a

d)，

y

(u

v)

(b

c)，则(ad;xw)

1，故由定理4知x与w共轭，即w的极线过x；§1.配极与二次曲线同理，w的极线过y．因此，w的极线为x

y

u

v．同理，u的极线为w

v；v的极线为u

w．所以三点形uvw是自极三点形．§1.配极与二次曲线利用定理5可以解决一些作图问题．例3作不在曲线

上的已知点v关于

的极线．abcduwv

uΓxy例4过不在曲线

上的已知点u，作

的切线．作法：

1)由例3作出u的极线，与曲线交得二点；

2)分别与u连线，则得切线．§1.配极与二次曲线§1.配极与二次曲线例5

直线关于二次曲线Γ的极点．作法：直线上任取二不在曲线上的点，作出各自的极线，则二线交点为直线的极点．例6任意点x

关于二次曲线的极线．作法：过x任取两条直线，由例5作法作二直线的极点，连接二点所得直线即为x

的极线．§1.配极与二次曲线3.二次曲线方程的简化形式因以自极三点形为坐标三点形时，配极可化为标准形式，故二次曲线的点坐标方程可简化为：

b1x12

b2x22

b3x32

0．下面是另一种简化形式：定理6

以二次曲线的一个二切线点和由此点作出的二切线的切点构成的三点形为坐标三点形，则曲线方程可写为：

x12

kx2x3

0(k

0)．注：也可写为：x22

kx1x3

0或x32

kx1x2

0．o(1)o(2)o(3)

a22

a33

0．又点(1,0,0)的极线为(1,0,0)，故a12

a13

0．再令k

2a23/a11即得证．§1.配极与二次曲线证明：取该二切线点为o(1)，由其所引切线而得二切点分别为o(2)

、o(3)，以o(1)o(2)o(3)为坐标三点形．设曲线为

:(x)(aij)(x)T

0，aij

aji．因点(0,1,0)和(0,0,1)在

上，故代入方程可得§1.配极与二次曲线推论若在定理6中，选单位点在二次曲线上，则曲线方程为：x12

x2x3

0．下面证明此处定义的切线与通常的切线定义一致．例7证明：直线为二次曲线的切线

此直线与二次曲线交于二重点．证明：选取如推论中的坐标系，则

的点坐标方程为：x12

x2x3

0，其对应矩阵为200(aij)001．

010

§1.配极与二次曲线故

的线坐标方程为：

124

2

30．设直线

：

1x1

2x2

3x30．因直线x1=0为二切点线，故不妨

30．由此解出x3，代入点方程得

3x12

1x1x2

2x22

0．故

与

交于二重点

12

4

2

30

的坐标满足

的线坐标方程

是

的切线．此矩阵的伴随矩阵为：(Aij)100002020，

§2.一维射影对应与二次曲线本节将用一维射影对应研究二次曲线，并证明Pascal定理和Brianchon定理．1.二次曲线的射影定义定理1/

设

和

/是二级曲线

/的二不同定直线，

是

/的动直线，则由

/

定义的点列

到点列

/的映射是非透视的射影对应．定理1(Steiner)设z和z/是二阶曲线

的二不同定点，x是

的动点，则由z

x

z/

x定义的线束z到线束z/的映射是非透视的射影对应．定理1证明思路：建立如图坐标系，则曲线方程为：x22

x1x3

0，故可设x坐标为x(

2,

,

2)．由此可计算对应直线坐标o(2)exz/

o(3)z

o(1)

/

/

z

z/

(0,0,1)

(0,1,0)

(0,1,0)

(1,0,0)

(0,1,1)

/(1,1,0)

(0,

,

)

/(

,

,0)进而可验证(

;

)(

;

/

/)．由此证得定理．上述二对偶定理实际上给出了二阶曲线与一维射影对应的关系．上述定理的逆定理也成立：§2.一维射影对应与二次曲线o(2)o(1)o(3)ex

/

/§2.一维射影对应与二次曲线定理2/设二不同底的点列成非透视的射影对应，则对应点的连线集合(或包络)为包含二点列底的二级曲线．定理2

设二不同心的线束成非透视的射影对应，则对应直线的交点轨迹为通过二线束中心的二阶曲线．证明定理2：以此二线束的中心为o(1)、o(3)，记

o(1)

o(3)．设在此射影对应T

下，

，

．TT1令o(2)

．以o(1)o(2)o(3)为坐标三点形，并以一对对应直线

和

/的交点为单位点e．§2.一维射影对应与二次曲线设在此射影对应T

下，一对动对应直线

和

/的交点为x．由于

o(1)

e，

/

o(3)

e，故其坐标分别为

(0,1,1)，

/(1,1,0)．从而(

)(

)(

)(

/

)(

)(

)．T设(

)

(

)

(

)，则由(

;

)=(

;

/

/)得(

)

(

)

(

)(

/)

(

)+

(

)．T故

和

/的坐标分别为

(0,

,

)，

/(

,

,0)．所以，x

/的坐标为

(x1,x2,x3)

(

2，

,

2)．可见，x

/的坐标满足方程x22

x1x3

0．显然，o(1)、o(3)的坐标也满足此方程．得证．§2.一维射影对应与二次曲线成射影对应的二线束(点列)称为射影线束(点列)．利用上述成对偶的互逆定理，可给出二阶曲线和二级曲线的射影定义．二不同底的非透视射影点列的对应点连线的集合称为二级曲线．二不同中心的非透视射影线束的对应直线交点的轨迹称为二阶曲线．若二点列

和

/成透视，则将过二点列公共点y及透视中心x的所有直线的集合称为退化二级曲线．(见后图)若二线束z和z/成透视，则将二线束公共直线

及透视轴

的所有点作成的集合称为退化二阶曲线．(见后图)§2.一维射影对应与二次曲线zz/

yx

/

退化二次曲线将在§3讨论，现仍讨论非退化的情形．证明定理3：定理3/

给定每三线不共点的五线，恰有一条二级曲线包含这五线．定理3

给定每三点不共线的五点，恰有一条二阶曲线通过这五点．§2.一维射影对应与二次曲线aa/b(1)b(2)b(3)如图，a、a/、b(1)、b(2)、b(3)是每三点不共线的五点，则对应关系

a

b(i)

a/

b(i)(i

1,2,3)确定了线束a到线束a/

的唯一射影对应

T：a{b(1),b(2),b(3)