高等数学课件

医学高等数学§1、函数§2、函数的极限§3、函数的连续性第一章函数、极限与连续第一节：函数一、函数的概念二、复合函数与反函数三、函数的几种简单特性四、初等函数本节主要内容有：一、函数的概念引子：常量:在某一变化过程中始终保持同一个数值不变的量称为常量，一般用a，b，c表示。变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量称为变量，一般用x，y，z表示。1.常量与变量2.函数的定义定义：设x、y是同一变化过程中的两个变量，如果对于变量x的每一个允许的取值，变量y按照一定的规律总有一个确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函数.记为：因变量自变量3.定义域、值域定义域：自变量所有允许取值的集合称为函数的定义域。值域：所有函数值的集合称为值域。4.函数的两个要素函数的两个要素DRƒ定义域

对应关系值域函数相同的条件:(1)对应关系;(2)定义域.只有当上述两条件完全相同时,才认为是两个函数相同.6.区间

区间的定义:界于某两个实数a和b(a<b)之间的全体实数被称为一个区间.a,b称为区间的端点。7.邻域定义：以x0为中心,以（

>0）为半径的开区间称为x0的一个邻域,x0

叫做邻域的中心,

叫做邻域的半径.记为U(x0,

)或(x0),即U(x0,

)=(x0-,x0+)例8:(-1,1)是一个开区间,也是0的一个1邻域.|y-y0|<是y0的一个邻域分段函数：当自变量的取值范围不同时，其表达式也不同，这样的函数称为分段函数.如:8.分段函数(1)符号函数几个特殊的分段函数举例1-1xyo(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷(Dirichlet)函数(4)取最值函数yxoyxo1.复合函数注意函数复合后的定义域不能为空.二、复合函数与反函数例：设求解显然给出的函数符合复合的条件，因此例题例：设求的定义域为是没有意义的.不满足复合函数定义的条件，从而复合函数有什么特性？?譬如，设函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，那么f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)]的奇偶性如何？（这里假定复合后都是有意义的）答案：f[f(x)]是奇函数，其余均为偶函数.结论：假设外函数和内函数都是奇（或偶）函数，如果至少有一个是偶函数，那么复合函数一定是偶函数，否则就是奇函数.2.反函数

说明：1.原函数的定义域（值域）恰是其反函数的值域（定义域）;2.原函数与反函数的图像是相同的，但由于互换了x和y的位置所以图像就不同了，即：在同一个直角坐标系中是关于y＝x对称的曲线.二、函数的四种简单特性1.函数的有界性；

2.函数的单调性；

3.函数的奇偶性；

4.函数的周期性主要内容1.函数的有界性定义:设函数ƒ(x)的定义域是D,如果存在一个正数M,使对D中某一个子区间I内任意一点x，恒有|ƒ(x)|

M,则称函数ƒ(x)在I上是有界的,如果不存在这样的正数M,则称ƒ(x)在I上是无界的.

注：函数是否有界需指明所考察的区间。命题:函数y=f(x)为有界函数的充要条件是存在两个实数

N

和M,使得对任意的xD,恒有N

f(x)M其中N称为函数的下界,M称为函数的上界,具有下界的函数被称为下方有界函数,具有上界的函数被称为上方有界函数。有界和无界是对立的,非此即彼的；如函数y=1/x在区间(1,+∞)上有界，但是在(0,1)上无界。有界性是相对于一定区间来讲的概念，函数在某一区间上有界，但是在另一区间上可能无界；注意2.函数的单调性若函数y=f(x)的定义域是D，如果在D的某个子区间I中内任取两个值x1和x2,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2),则称该函数在区间I上是单调递增.单调递增函数的图形是沿x轴的正向上升的.如下图所示xyxy若函数y=f(x)的定义域是D，如果在D中的某个子区间I中任意取两个值x1和x2,当x1<x2时,有f(x1)>f(x2),则称该函数在区间I上是单调递减.单调递减函数的图形是沿x轴的正向下降的.如下图所示xyxy单调递增和单调递减函数统称为单调函数例：3.函数的奇偶性奇函数

:对于函数y=f(x)定义域D中的任意一点x(-x∈D),恒有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为D内的奇函数.定义域Ｄ就应该是对称于原点的数集,即当x∈D时,有-x∈D奇函数的图形是关于原点对称的.偶函数

:对于函数y=f(x)定义域D中的任意一点x(-x∈D),恒有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为D上的偶函数.定义域Ｄ就应该对称于原点的数集,即当x∈D时,有-x∈D偶函数的图形是关于y轴对称的.判别函数奇、偶性例：考察函数f(x)=0的奇偶性.结论：奇（偶）函数的定义域是关于原点对称的数集；并非所有函数都具有奇偶性，即存在非奇非偶函数；存在既是奇函数又是偶函数的函数；4.函数的周期性对于函数

y=f(x),xD,如果存在非零常数T,对任意的xD,x+TD,恒有f(x+T)=f(x),则我们称函数f(x)为D上的周期函数.T称为函数y=f(x),xD的周期.1.周期函数的定义域一定是一个无穷区域.2.周期函数的图形在每一个周期中都是相同的形状

.3.通常,周期函数的周期T都是指最小正周期;但是并不是每个函数都有最小正周期.命题：T是函数f(x)的周期,则T/a是f(ax)的一个周期.例子1.y=sinx,x

(-,)是一个以2的周期函数.2.y=tanx,xn±/2是一个以

的周期函数.并非所有的周期函数都有最小正周期！例如函数(为常数)及狄利克雷(Dirichlet)函数为有理数为无理数均为周期函数,但没有最小正周期.三、初等函数1.六类基本初等函数1、常数函数y=c（c为常数）2、幂函数y=xa(a≠

0)3、指数函数y=ax(a>0,a≠1)4、对数函数y=logax(a>0,a≠1)5、三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx6、反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotxa.幂函数b.指数函数c.对数函数对数函数与指数函数互为反函数.d.三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数e.反三角函数反三角函数1、数列的极限定义：对于数列{an},当n无限增大时,若an无限接近于一个确定的常数A,则称当n趋于无穷大时,an收敛于A(或极限(limit)为A)为,记为例如:否则称该数列发散.２、函数的极限当x

时,函数f(x)的极限;当x+和x-时,函数f(x)的极限;当xx0时,函数f(x)的极限;当xx0+和xx0－时,函数f(x)的极限.当xx0时定义：设函数ƒ(x)在点x0的某邻域内有定义(x0处可以没有定义),若当自变量x以任意方式无限趋近于定值x0时,若函数ƒ(x)无限趋近于一个常数A，则A称为函数ƒ(x)当x->

x0时的极限,记为

当xx0+和xx0－时定义：对于函数y=f(x),若自变量x仅从x0的左侧(或仅从x0的右侧)趋近于定值x0时,函数f(x)趋近于常数A,则称A为函数f(x)当x

x0时的左极限(右极限),记作

例子当x

时

设函数f(x)在x的绝对值无限增大时(记作x

),如果函数f(x)无限趋近于一个常数A,则称A为函数f(x)在x

时的极限,记为当x+或

x-时

若仅当自变量x沿x轴正方向无限增大或沿x轴负方向绝对值无限增大时（假设函数有定义）,函数f(x)无限趋近于一个常数A,则称A为函数f(x)的单侧极限,记为３、函数f(x)极限存在的充要条件例题4.极限存在的判断准则注意：法则1对于数列来说也成立.**单调有界法则注意：准则2对于函数来说也成立.例16：求极限例17：求极限适当放缩二、无穷小与无穷大 1.无穷小量与无穷大量

2.无穷小量的性质

主要内容1.无穷小与无穷大的定义注意！

2.无穷小量定理3.无穷小的性质性质1：有限个无穷小的代数和或乘积仍是无穷小。性质2：有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小，即：例19：求极限无穷小的性质4.无穷小与无穷大的关系5、无穷小量的比较命题：例21：已知定理1-2

极限的四则运算法则注意对于两个数列也同样成立三、极限的四则运算极限的计算(1)分母的极限不为0，可利用商的极限法则分母的极限为0，不能用商的法则极限的计算(2)分子、分母的极限都不存在，利用无穷大与无穷小的关系从以上例子可以得出如下求分式极限的方法：极限的计算(3)分子、分母的极限分别为0，不能用商的极限法则，可通过有理化变形。不能直接使用乘积的法则，可通过有理化变形例28：已知解：由题设不妨令四、两类重要极限主要内容X1思考题:例题1.函数连续性的定义由函数在某点连续的定义可知解：？？？左连续与右连续连续函数例题函数的间断点间断点的分类

第一类间断点若x0是f(x)的间断点,且在x0处的左、右极限都存在,则点x0是f(x)的第一类间断点.(2)第二类间断点若x0不是f(x)的第一类间断点,则点x0是f(x)的第二类间断点.可去间断点跳跃间断点第二类间断点这种间断点称为振荡间断点，属于第？类间断点二、初等函数的连续性例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;注意

???开区间上的连续函数一定有最大（小）值吗？一定有界吗？为什么？试举例说明.三、闭区间上连续函数的性质几何解释:2.1导数的概念2.1.1引例2.1.2导数的定义2.1.3导数的几何意义2.1.4函数的连续性与可导性的关系2.1.1引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动以自由落体运动为例，则物体在时刻t0

的瞬时速度为速度反映了路程对时间变化的快慢程度2.切线问题曲线在M

点处的切线割线MN

的极限位置MT(当时)割线MN

的斜率切线MT的斜率两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.2.1.2导数的定义定义1.

设函数在点存在,并称此极限为记作:则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.(2-1)若上述极限不存在,在点不可导.若也称在注意:就说函数的导数为无穷大.(2-1)(2-1)在上式中，令，则可得导数定义的等价形式：设函数f(x)在[x0,x0+

)内有定义，若即极限存在，则称a为f(x)在点x0处的右导数.记为单侧导数设函数f(x)在(x0–

,

x0]内有定义，若即极限存在，则称a为f(x)在点x0处的左导数.记为定理.函数在点且可导的充分必要条件是应用情境：主要用于分段函数在分段点处的可导性判断。导函数若

x(a,b),函数f(x)皆可导，则说f(x)在(a,b)内可导.这时f(x)是关于x的一个新函数，称之为f(x)在(a,b)内的导函数，通常我们仍称之为f(x)在(a,b)内的导数：记作:若f(x)在(a,b)内可导，且存在，则称f(x)在[a,b]上可导，f

(x)称为f(x)在[a,b]上的导函数。由定义求导数（三步法）步骤:例1：求函数y=x2的导函数y'，并计算x=2处的导数值。解：因此，例2：血药浓度减少的问题：药物一次静脉注射后，时刻t的血药浓度有以下规律：其中C0为静脉注射后药物达到扩散平衡时的血药浓度。k为参数，依赖于个体和药物的特性，可有实验测定。求血药浓度减少的瞬时速度。解：2.1.3导数的几何意义切线方程:法线方程:函数f(x)在点x0的导数f

(x0)就是对应的平面曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率k:曲线y=f(x)在点x0处的切线可能垂直于x轴、平行于x轴、或不存在，这些反映出的导数值是：切线平行于x轴：即k=tg

=0切线垂直于x轴：即k=tg

=，曲线为连续曲线;在点x0处无切线：f

(x0)不存在.

y