8.2.1几个函数模型的比较课件-高一上学期数学

第8章函数应用8.2函数与数学模型函数可以刻画事物变化过程中有依赖关系的两个变量之间的关系，我们能运用函数的概念与性质有效地解决问题.例如，要研究气温的变化规律，从气象台温度记录仪上收集到如下信息(图8-2-1)，怎样来研究气温的变化状况呢?我们是这样来研究的：(1)分别用数(数量)T(单位：℃)，(单位：h)来刻画温度和时间的状态，就得到两个数集，例如，t

的范围为[0，24]，T的范围为[－2，9].●不同的数学模型之间有什么区别?●怎样建立函数模型去解决实际问题?几个函数模型的比较不同的函数模型可以刻画不同的自然现象，不同函数的“变化趋势”也不同.对不同函数的“变化趋势”的研究和比较，可以加深我们对自然现象的理解.例1(1)用计算器或计算机计算下列各值：2，3，4，2，3，4.解：2＝1.0201，2＝，3＝1.030301，3＝0.970299，4＝1.04060401，4＝0.96059601.猜测一下，365大概是多少365大概是多少?(2)用计算器或计算机计算下列各值：2，3，4，，2，4.猜测一下，大概是多少大概是多少?猜测一下，大概是多少大概是多少?解：2＝，2＝，3＝1.030301，3＝0.970299，4＝1.04060401，4＝0.96059601.(3)用计算器或计算机计算一下(1)(2)中的结果，与你的猜测进行比较，谈谈你对“指数爆炸”的理解.解：365≈，365≈，100≈13781，100≈2.656×10－5，260≈57822669934，1000≈1.748×10－46.一、“指数爆炸”的含义：指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)随着x的增大a＞1时y______，且增大的速度越来越_____，呈“______”的趋势0＜a＜1时y_______，并逐步趋向于______增大快爆炸减小0例2(1)在同一个直角坐标系中画出下列4个函数在区间(0，＋∞)上的图象：y＝2x，y＝x2，y＝x，y＝log2x.结合这4个函数的图象，比较它们随着x

的增大函数值增长的快慢，并指出：当x

的值足够大(x＞16)的时候，这4个函数的值的大小关系；解这4个函数的图象如图8-2-2所示.由图8-2-2可知：当0＜x＜2时，0＜x＜2＜4；当x＝2时，2x＝x2＝4；当2＜x＜4时，4＜2＜x＜16；当x＝4时，2x＝x2＝16；当x＞4时，16＜x2＜2.对应地，当0＜x＜4时，0＜log2x＜x＜2；当x＝4时，x－log2x＝2；当4＜x＜16时，2＜x＜log2x＜4；当x＝16时，x＝log2x＝4；当x＞16时，x＞log2x.可以发现：当x

的值足够大(x＞16)时，这4个函数值的大小关系是2x＞x2＞x＞log2x.(2)先想象下列两组函数图象之间的关系，再用数值验算，提出更一般的猜想.①y＝x与y＝x100；②y＝x与y＝lgx.解

①可以想象，在区间(0，＋∞)上，函数y＝x与y＝x10的图象都是随着x

的增大而上升的，函数值的大小有如下特征：当0＜x＜1时，x＞x10；

当2≤x≤9000时，x＜x10，例如，当x＝9000时，9000

≈7.8×1038，900010≈3.5×1039，显然9000

＜900010；当x

≥

10000时，x＞x10，例如，当x＝10000时，

10000≈1.6×1043，1000010≈

1040，显然10000

＞1000010.②可以想象，在区间(0，＋∞)上，函数y＝x与y＝lgx的图象都是随着x

的增大而上升的，函数值的大小有如下特征：当0＜x＜10时，x＞1＞lgx；

当30≤x＜1010时，x＜lgx，例如，当x＝30时，30≈1.4051，lg30≈1.4771，显然30＜lg30；当x＝10时，x＝lgx＝10；当x＞10时，x＞lgx，例如，当x＝1011

时，(1011)≈，lg1011≈11，显然(1011)＞lg1011.因此，我们可以得到更一般的猜想：对于指数函数y＝a(a＞1)，幂函数y＝xa(a＞0)和对数函数y＝logax(a＞1)，当x足够大时，总有ax＞xa＞logax.(3)借助图形计算器或计算机，作出下列两组函数的图象，验证你在(2)中的猜想.①y＝2x与y＝x100；②y＝x与y＝log2x.解借助图形计算器或计算机，观察函数y＝2x，y＝x100的图象(图8-2-3)，可以发现：当x的值从0开始增大时，随着x的增大，当0≤x≤1时，2x＞x100；之后很快有2x＜x100，直到x＞997时，总有2x＞x100.同样，借助图形计算器或计算机，观察函数y＝x，y＝log2x的图象(图8-2-4)，可以发现：当从4开始增大时，一直有x＜log2x，直到x＞65536时，总有x＞log2x.由此，我们进一步验证了(2)中的猜想：当足够大时，总有ax＞xa＞logax.二、三种函数的增长速度的比较对于指数函数y＝ax(a＞1)，幂函数y＝xα(α＞0)和对数函数y＝logax(a＞1)，当x足够大时，总有_______________.ax＞xα＞logax(1)本质：通过数据运算、图象的变化归纳出三种函数的增长特点和增长速度的差异.(2)应用：根据现实的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.【思考】在三种函数增长关系的结论中，怎样理解“总会存在一个x0”?提示：因为三种函数增长速度不同，当自变量逐渐增大时，三种函数以不同的速度增加.使函数值相等的值可视为临界点就是x0，因此可以理解为自变量足够大时一定会出现x0.当然x0不唯一，比x0大的任意一个实数也可以作为x0.1.辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”)(1)函数y＝logx

的衰减速度越来越慢.

(

)(2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. (

)(3)对应任意x∈(0，＋∞)，总有2x＞x2. ()

【基础小测】✔✔✘2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是 (

)C解析3.有一组实验数据如表所示：x12345y1.55.913.424.137

C解析：通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变.解析【跟踪训练】1.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是 (

)A.y＝100 B.y＝100xC.y＝x D.y＝log2xC解析：结合函数y＝100，y＝100x，y＝x及y＝log2x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝x.解析2.如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N.当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t的函数关系的图象是(

)C解析

3.三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 (

)A.y1，y2，y3B.y2，y1，y3C.y3，y2，y1D.y1，y3，y2C解析解析通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律.4.函数y＝x2与函数y＝xlg

x在区间(0，＋∞)上增长较

快的一个是___________.

y＝x2解析：当x变大时，x比lgx

增长要快，所以x2

要比xlgx

增长的要快.解析5.某电脑公司六年来电脑年产量y(台)与生产时间x(年)的函数关系如图.有下列说法：①前三年产量增长速度越来越快；②前三年产量增长速度越来越慢；③后三年这种产品停止生产；④后三年产量保持不变.其中说法正确的是_______.(填序号)

②④练习1.利用计算器或计算机，计算下表中与的值对应的函数y＝x与y＝x

的值(精确到0.0001)：x1020100365730y＝0.99x0.90440.81790.36600.02550.0007y＝1.01x1.10461.22022.704837.78341427.58792.利用图形计算器或计算机，在同一个直角坐标系中画出下列各组两个函数在区间(0，

＋∞)上的图象，并结合函数的图象，比较它们随着x的增大函数值增长的快慢，并指出当x的值足够大的时候，这两个函数值的大小关系.(1)y＝10x，y＝x100；(2)y＝x，y＝logx；(3)y＝x，y＝x2；(4)y＝x－2，y＝2－x.(1)y＝10x，y＝x100；解y＝10x红色图象，y＝x100蓝色图象.在(0，＋∞)上，y＝10x的图象初期在y＝x100

的图象的上方，随着x的增大图象变化到y＝x100

的图象的下方，当x的值足够大，图象又变化到y＝x100的图象的上方，即相对于y＝x100来说，y＝10x的图象增长的速度先快后慢，当x的值足够大，y＝10x的图象增长的速度越来越快，并远远超过y＝x100

的增长速度.(2)y＝x，y＝logx；解y＝x

红色图象，y＝logx蓝色图象.在(0，＋∞)上，y＝x

的图象起点高，所以初期图象在y＝logx的上方，相对于y

＝logx来说，y＝x

的图象增长的速度先慢后快，随着的增大，y＝x0.6的图象变化到y＝logx的图象的下方，当x的值足够大，图象又变化到y＝logx的图象的上方.解y＝x红色图象，y＝x2蓝色图象.(3)y＝x，y＝x2；在(0，

＋∞)上，y＝x

的图象初期在y

的图象的上方，随着x的增大图象变化到y＝x2

的图象的下方，当x

的值足够大，图象又变化到y＝x2的图象的上方，即相对于y＝x2来说，y＝x的图象增长的速度先快后慢，当x的值足够大，y＝x

的图象增长的速度越来越快，并远远超过y＝x2的增长速度.(4)y＝x－2，y＝2－x.解y＝x－2红色图象，y＝2－x

蓝色图象.y＝x－2和y＝2－x在(0，＋∞)上都是单调递减的函数，y＝2－x的图象初期在y＝x－2的图象的下方，随着x的增大图象变化到y＝x－2的图象的上方，当x的值足够大，图象又变化到y＝x－2的图象的下方，即相对于y＝x－2来说，y＝2－x的图象减小的速度先慢后快，当x的值足够大，y＝2－x的图象减小的速度越来越快，并远远超过y＝x－2的减小速度.函数的实际应用函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具.利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问题.●怎样建立函数模型，解决实际问题?●怎样选择合适的数学模型刻画客观世界的变化规律?例3某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C(单位：万元)单位成本P(单位：万元)、销售收入R(单位：万元)以及利润L(单位：万元)关于总产量x(单位：台)的函数关系式.解：总成本与总产量的关系为C＝200＋x，x∈N*.单位成本与总产量的关系为P＝200x＋，x∈N*.销售收入与总产量的关系为R＝x，x∈N*.利润与总产量的关系为L＝R－C＝x－200，x∈N*.例4

例5在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝

f(x＋1)－f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)＝3000x－20x(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4000(单位：元)，利润是收入与成本之差.(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值?(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；解由题意知，x∈[1，100]，且x∈N*.

P(x)＝R(x)－C(x)＝3000x－20x2－(500x＋4000)

＝－20x2＋2500x－4000，

MP(x)＝P(x＋1)－P(x)

＝－20(x＋1)2＋2500(x＋1)－4000－(－20x2＋2500x－4000)

＝2480－40x.(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值?

例5中边际利润函数MP(x)当1时取最大值，说明生产第二台与生产第一台的总利润差最大，即生产第二台报警系统装置利润最大.MP(x)＝2480－40x

是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比在减少.通过上述3个例子，我们可以看出，解决实际问题通常按的程序进行，其中建立数学模型是关键.练习1.某地高山上温度从山脚起每升高100m降低℃.已知山顶的温度是℃，山脚的温度是26℃.

问：此山有多高?解设从山脚起每升高x百米时，温度为y摄氏度根据题意得y＝26－x，山顶温度是摄氏度，代入得＝26－x.∴x＝19(百米)，∴山的相对高度是1900米.2.某车站有快、慢两种车，始发站距终点站，慢

车到终点站需16min，快车比慢车晚发车3min，且行

驶10min后到达终点站.试分别写出两车所行路程关

于慢车行驶时间的函数关系式.两车在何时相遇?相遇

时距始发站多远?解慢车所行路程y1与时间x的函数关系式为y1

＝x(0＜x≤16)，快车所行路程y2

与慢车行驶时间x

的函数关系式为0，0＜x

≤3y

＝0.72x－3，3＜x≤13，7.2，13＜x≤16设两车在慢车出发xmin时相遇，则y1＝y2，即0.45x

＝0.72(x－3)，解得x＝8，此时y1＝y2＝3.6.即两车在慢车出发8min时相遇，相遇时距始发站3.6km.

解根据题意，得S＝f(t)·g(t)＝

4.某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按每个高出成本价1元售出售完后共赚得78元.问：这两椰子原来共有多少个?

5.已知镭经过100年剩留原来的95.76%，设质量为1的镭经过年后的剩留量为y，则x，y的函数关系是怎样的?试写出.解设镭的年衰减率为r，镭开始的质量为1，则一年后镭的剩留量为：1－1×r＝1－r，二年后镭的剩留量为：(1－r)－(1－r)r＝(1－r)2，三年后镭的剩留量为：(1－r)2－(1－r)2r＝(1－r)3，······经过x

年后镭的剩留量为y，所以y＝(1－r)x，又因为镭经过100年剩留原来的95.76%，所以0.9576＝(1－r)100，所以1－r＝0.9576，所以

y＝(0.9576)x＝0.9576(x∈N*).

习题感受·理解1.已知某产品今年年产量是m

件，计划以后每年的产量比上一年增加20%，写出x

年后该产品的年产量y

与

x之间的函数关系式.解

1年后，年产量为y＝m·(1＋20%)＝m(件)；2年后，年产量为y＝m·(1＋20%)＝2m(件)；3年后，年产量为y＝2m·(1＋20%)＝3m(件)；······x年后年产量为y＝mx(件).所以x年后该产品的年产量y与x之间的函数关系式为y＝m·12x(x∈N*)

3.一种放射性元素，最初质量为1000g，按每年10%衰减.(1)写出x

年后这种放射性元素质量y

与之间的函数

关系式；(2)求这种放射性元素的半衰期(放射性物质的质量衰

减为原来的一半所需要的时间).(精确到0.1)(1)写出x

年后这种放射性元素质量y

与之间的函数

关系式；解最初的质量为1000g，经过1年，y＝1000(1－10%)＝，经过2年，y＝1000(1－10%)2＝2，经过x年，y＝1000(1－10%)3＝x，所以年x后这种放射性元素质量y与x之间的函数关系是y＝x，x＞0.(2)求这种放射性元素的半衰期(放射性物质的质量衰

减为原来的一半所需要的时间).(精确到0.1)

思考·运用4.某工厂第一季度某产品月生产量分别为10000件、12000件13000件为了估测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产

量y(单位：件)与月份x的关系.模拟函数可以选用二

次函数或函数y＝abx＋c(其中a，b，c

为常数)已知4月

份的产量为13600件，问：用以上哪个函数作为模拟

函数较好?为什么?解

选二次函数作为模拟函数时，设f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0).

p＋q＋r＝10000由已知4p＋2p＋r＝12000，9p＋3q＋r＝13000

p＝－500解得q＝3500，

r＝7000故f(x)＝－500x2＋3500x＋7000.

f(x)＝500x＋3500x＋7000.f(4)＝－500×4＋3500×4＋7000＝13000(件).选指数型函数g(x)＝abx＋c(a≠0)作为模拟函数时，ab＋c＝10000由已知ab2＋c＝12000，ab3＋c＝13000a＝－8000解得b＝0.5，c＝14000故g(x)＝－8000×0.5x＋14000.

g(4)＝－8000×0.54＋14000＝13500(件)经比较可知，13500件比13000件更接近于4月份的产量13600件，故选用指数型函数y＝－x＋14000作为模拟函数较好.5.甲、乙两家电子商店同时上市一批移动硬盘原价800元/个.为了促销，甲商店推出如下优惠政策：买1个，单价为780元；买2个，单价为760元······依此类推，每多买1个，则单价减少20元，但价格底线为440元/个商店一律按原价的75%降价促销.某单位需购买一批该型号的移动硬盘问：选择去哪一家商店购买，才能使得花费较少?

解：设单位购买x个移动硬盘，去甲、乙两商店购买花费分别为y甲，y乙，800－20x＞440，解得x≤18.当1≤x≤18时，则y＝(800－20x)x；当x＞18时，y甲＝440x，(800－20x)x；(1≤x≤18)，∴y甲＝440x，(x＞18).y乙＝x＝600x，当x＝10时，y甲＝y乙；当1≤x≤10时，y甲－y乙＝200x－20x2＝20x(10－x)＞0，∴y甲＞y乙.当x＞10时，y甲－y乙＝20x(10－x)＜0，∴y甲＜y乙.综上可知：当个数大于10个时，在甲商店买便宜；当个数小于10个时，在乙商店买便宜；当买10个时，两商店一样.6.某建材实验室在做陶粒混凝土强度实验中，考察每立方米混凝土的水泥用量x(单位：kg)对28天后的混凝土抗压强度

y(单位：kg/m)的影响，测得如下数据：试建立适当的数学模型回答以下问题：(1)每立方米混凝土中增加1

kg水泥时，可提高抗压强度多少?解：画出散点图，如图所示由散点图可设函数解析式为y＝kx＋b.取(160，58.3)，(260，89.7)代入解得

k＝，b＝，所以近似方程为y＝＋，所以每立方米混凝土中增加1kg水泥时，可提高抗压强度0.314kg/m2；(2)当x＝225(kg)时，y的预测值是多少?解当x＝225(kg)时，y＝0.314×225＋＝2，即y的预测值是2.7.某公司今年头6个月的月利润如下表所示：假定短期内利润增长基本符合对数规律，预测一下今年7，8两个月的月利润各是多少.解：由题意设利润随月份增长的函数解析式为y＝klogax＋b，

探究·拓展解我国现有人口约13亿.如果今后能将人口平均增长率控制在1%，x为年份，y(亿)为人口数.指数函数：那么经过20年后，我国人口最多为多少亿?y＝13×(1＋1%)x＝13×1.01x，当x＝20时，y＝13×1.0120

≈16(亿).对数函数：那么经过几年后，我国人口将达到18亿?

幂函数：我国现有人口约13亿，经过20年后，我国人口将达到16亿，求今后每年人口平均增长率a应控制在多少?

分段函数：某城市出租汽车收费标准为：当行程不超过3km时，收费7元；行程超过3km，但不超过10km时，在收费7元的基础上，超过3km的部分每公里收费元，不足1km的按1km算；超过10km时，超过部分除每公里收费元外，再加收50%的回程空驶费，求车费y(元)与路程x(km)之间的函数解析式设z为大于等于x的最小整数，则由题意得：

7，(0＜x≤3)y＝7＋(z－3)，(3＜x≤10)

7＋(10－3)＋1.5(z－10)，(x＞10)，

7，(0＜x≤3)即

y＝4＋z，(3＜x≤10)

1.5z－1，(x＞10)，应用与建模体重与脉搏问题生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温.研究表明，消耗的能量E

与通过心脏的血流量Q成正比.根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比，表1给出了一些动物体重与脉搏率对应的数据.(1)根据生物学常识，给出血流量与体重之间关系的数学模型；(2)建立脉搏率与体重关系的数学模型；(3)根据表1，作出动物的体重和脉搏率的散点图，验证所建立的数学模型.简化假设为了建立数学模型，需要了解一些生物学概念，例如，血流量Q是单位时间流过的血量，脉博率f

是单位时间心跳的次数；还需要知道一些生物学假设，例如，心脏每次收缩挤压出来的血量q与心脏大小成正比，动物心脏的大小与这个动物体积的大小成正比.建立模型(1)因为动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多，保持体温需要的能量也就越大，所以动物体内消耗的能量E

与身体的表面积S

成正比，即E＝p1S.又因为动物体内消耗的能量E

与通过心脏的血流量Q

成正比，即E＝p2Q.由此可得Q＝S，其中p1，p2

和p为均为正的比例系数.

(3)我们用Excel作出数据的散点图：在工作表中输入数据，选中数据区，按“插入/图表/散点图”的顺序作出散点图(图1).右击数据点，选择“添加趋势线”，在6种类型中分别选择指数幂、二次多项式等趋势线，根据显示的“R平方值”，选择最大的一个.