2023学年山西省临汾高三第五次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2

1.设片，F,分别是双线［->2=］（。>0）的左、右焦点，。为坐标原点，以KE为直径的圆与该双曲线的两条渐近

a-

线分别交于A8两点（AB位于y轴右侧），且四边形为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.x+y=0B.s/3x+y=0C.x±y/3y=0D.3x±y=0

2.已知将函数/（x）=sin（0x+。）-3<8<3）的图象向右平移g个单位长度后得到函数g（x）的图

7T

象，若/（X）和g（x）的图象都关于尤=一对称，则①的值为（）

4

3

A.2B.3C.4D.-

2

3,若各项均为正数的等比数列{4}满足4=3%+2/，则公比4=（）

A.1B.2C.3D.4

4.若集合A={x|国<2,xw/?},B={y|y=-%2,xe/?},则AcB=（）

A.{x|0<x<2}B.{x|x<2}C.{x|-2<x<0}D.0

5.复数z满足（l+i）z=|l-q,贝!Jz=（）

,.nJ.「夜夜.V2V2.

AA.1-iB・］+iC・-----------1nD・-----1-------1

2222

6.要得到函数y=—的图象，只需将函数>=6sin（2x—图象上所有点的横坐标（）

TT

A.伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移I个单位长度

71

B.伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再将得到的图像向左平盯个单位长度

C.缩短到原来的，倍（纵坐标不变）,再将得到的图象向左平移357r个单位长度

224

1

D.缩短到原来的1倍（纵坐标不变）,再将得到的图象向右平移上个单位长度

224

7.设等比数列｛〃”｝的前项和为S“，若8。刈9+。2016=0,则考的值为（）

）3

8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

正（主）视图侧（左）视图

32

A.—B.64D.32

3T

9.已知正三棱锥A-BCO的所有顶点都在球。的球面上，其底面边长为4,E、F、G分别为侧棱A8,AC,AD

的中点.若。在三棱锥A-BCD内，且三棱锥A-38的体积是三棱锥0-58体积的4倍，则此外接球的体积与

三棱锥O-EFG体积的比值为（）

A.6岳B.8岳C.12岳D.24百万

10.”=2”是“函数/（犬）=（2。2—«为常数）为幕函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

11.已知4-6,0）,B（V3,0）,P为圆龙2+y2=i上的动点，而=耳，过点p作与AP垂直的直线/交直线QB

于点M,若点M的横坐标为％,则凶的取值范围是（）

A.|x|>lB.|x|>lC.|x|>2D.|x|>V2

..------1.UUU1uuu

12.已知AAHC是边长为3的正三角形，若BD=/C，则AD.BC=

315

A.一一B.—

22

315

C.-D.——

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为

14.若函数/(x)=xln(x+Ja+x2)为偶函数,则。=.

55S

15.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S,,,4+/=]，且。2+4="，则｝=.

16.AB,C三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160,240,400,为调查联考数学学科的成绩,

现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在8学校抽取的数学成绩的份数为30,则抽取的样本容量为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，AABC为等腰直角三角形，AB=AC=3,。为4c上一点，将沿80折起，得到三棱

锥且使得A在底面的投影E在线段上，连接AE.

(1)证明：BDVAEx

(2)若tan/ABO=g,求二面角C一一。的余弦值.

一20一

18.(12分)已知矩阵加=]],求矩阵M的特征值及其相应的特征向量.

19.(12分)如图所示，在四棱锥P—ABC。中，R4_L平面PCO,底面A5CO满足AO〃3C,AP=AB=BC=-AD=2,

2

ZABC=9Q°,E为AO的中点，AC与BE的交点为。.

p

(1)设H是线段BE上的动点，证明：三棱锥〃-尸8的体积是定值；

(2)求四棱锥P-ABCD的体积；

(3)求直线5c与平面080所成角的余弦值.

X=1+/COS6Z

20.(12分)在直角坐标系直为中，直线/的参数方程为，.(f为参数，.在以。为极点，x轴

、y=l+/sina

正半轴为极轴的极坐标中，曲线C：/?=4cos。.

(1)当&=一时，求。与/的交点的极坐标；

4

(2)直线/与曲线C交于A，B两点，线段AB中点为M(U)，求IA8I的值.

21.(12分)已知数列｛4｝的前"项和为S,,,且满足S,=2a“-l(〃wN*).

(I)求数列｛4｝的通项公式；

£14

(II)证明：X—<7-

jt=iqJ

22.(10分)已知椭圆C:二+反=l(a>b>0)的焦距为2,且过点P(2,0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)设尸为C的左焦点，点M为直线x=T上任意一点，过点尸作心的垂线交C于两点A,B

(i)证明：OM平分线段AB(其中。为坐标原点)；

\MF\

(ii)而取最小值时，求点”的坐标.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由于四边形。4工8为菱形，且|0月|=|。4],所以小。工为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.

【详解】

如图，因为四边形。为菱形，|。闾=|。4|=|0臼，所以△AOg为等边三角形，乙4。工=60°,两渐近线的斜

率分别为百和-JL

【点睛】

此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.

2.B

【解析】

因为将函数/(x)=sin(的+。)(0＜。＜6,—9＜8＜彳)的图象向右平移彳个单位长度后得到函数g(x)的图象,

可得g(x)=sin[0(x—(+(p

-s\x}\a)x-^a)+(p,结合已知，即可求得答案.

【详解】

••,将函数/(x)=sin(s+。)(0＜。＜6,—3＜夕＜2)的图象向右平移彳个单位长度后得到函数g(x)的图象

71

二g(/x)\=sing(%——吟+夕]=si.n(cox——co+(p),

7T

又・••山)和g⑴的图象都关于x=]对称'

冗,兀

一CD+（p=k［兀T----

412

•,由（4,&eZ）,

7171.71

-a>--co+（p=K2^+—

■rr

得§啰=（匕_&）乃,（K，左2eZ）,

即ey=3（K-A2）（4&ez）,

又：0<a><6,

co=3.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象

的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

3.C

【解析】

由正项等比数列满足%=34+24，即弓/=34+24闯，又qwO,即/一2夕一3=0,运算即可得解.

【详解】

解：因为q=3q+2a2,所以％/=3q+2。闻，又。尸0,所以q2-2q-3=0,

又4>0,解得4=3.

故选：C.

【点睛】

本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.

4.C

【解析】

试题分析：化简集合〃=[-22],3=(F,0L二〃03=|-20]

故选C.

考点：集合的运算.

5.C

【解析】

利用复数模与除法运算即可得到结果.

【详解】

解.Z.”ZL0-」（j）一夜（1）_夜V2.

z-z,

解.-777-TT7-（i+/）（i-z）-^^-TT

故选：c

【点睛】

本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.

6.B

【解析】

分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可.

详解：将函数y=Gsin（2x-g］图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

得到y=V5si"（/x2x-q）=百5沅（％-9）,

再将得到的图象向左平移个个单位长度得到y=Jis加X—5+彳）=Jis沅（X-^），

故选B.

点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合①和。的关系是解决本题的关键.

7.C

【解析】

求得等比数列｛4,｝的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得引的值.

*

【详解】

设等比数列｛4,｝的公比为心；8。刈9+。2016=0，，/=%幽==，，4=一：，

“2016»2

因此'*=1^=1+/=（.

故选：C.

【点睛】

本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.

8.A

【解析】

根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积.

【详解】

由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：

可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4,

164

^y=-x（4x4）x4=—

故选：A

【点睛】

本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题.

9.D

【解析】

如图，平面截球。所得截面的图形为圆面，计算由勾股定理解得/?="，此外接球的体积为

*匹万，三棱锥。-EEG体积为立，得到答案.

33

【详解】

如图，平面EFG截球。所得截面的图形为圆面.

正三棱锥A-3C0中，过A作底面的垂线AH,垂足为H,与平面EFG交点记为K,连接久>、HD.

依题意匕一BCD=4%.88,所以AH=40H,设球的半径为R,

在Rt&OHD中，OD=R>HD=--BC=2y>OH=-0A=—，

3333

由勾股定理：2=殍+圉，解得R="，此外接球的体积为粤^万，

由于平面EFGH平面BCD,所以AH，平面EFG,

球心。到平面EFG的距离为K0,

则KO=QA-/C4=OA-LA"=R-2R=0=^,

2333

所以三棱锥O—EFG体积为』x■1x旦义下义国=显,

34433

所以此外接球的体积与三棱锥O-EFG体积比值为246万•

故选：D.

【点睛】

本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

10.A

【解析】

根据密函数定义，求得b的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.

【详解】

•••当函数〃x）=（2"-38—l）x"为幕函数时，2b2-3h-\=\,

解得〃=2或—,

2

=2”是“函数/（X）=（2b--3匕-1）£为嘉函数”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题考查了充分必要条件的概念和判断，幕函数定义的应用，属于基础题.

11.A

【解析】

由题意得11MBi-|M4|卜忸。|=2］。尸|,即可得点M的轨迹为以A,B为左、右焦点，”=1的双曲线，根据双曲线的

性质即可得解.

【详解】

如图，连接OP,AM,

由题意得|。叫一|砌|=忸。|=210Pl=2,

二点"的轨迹为以A,B为左、右焦点，。=1的双曲线,

二国N1.

【点睛】

本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.

12.A

【解析】

由砺=；而可得=+=+因为AABC是边长为3的正三角形，所以

33

AbBC=(AB+-BC)BC=ABBC+-BC=3x3cosl200+-x32,故选A.

3332

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.—

21

【解析】

试题分析：从编号分别为1,1,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有C*=210种不同的结果,

由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件A为“取出球的编号互不相同”，

QAQ

则事件A包含了c；•C；•G•C；•C；=8()个基本事件，所以尸(A)=布=*.

考点：1.计数原理；1.古典概型.

14.1

【解析】

试题分析：由函数f(x)=xln(x+Ja+x2)为偶函数=函数g(x)=InO+Ja+f)为奇函数，

g(0)=lna=O=a=l.

考点：函数的奇偶性.

【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结

合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型.首先利用转化思想，将函数f(x)=x\n(x+yla+x2)

为偶函数转化为函数g(x)=ln(x+J^7M)为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取g(O)=lna=O=a=l.

15.63

【解析】

由题意知q=一~£,继而利用等比数列｛4｝的前«项和为s“的公式代入求值即可.

【详解】

I.用「A

解：由题意知4="&=不，所以区==!一"=_^_=63.

%+。324*q5(l-q)(%

故答案为：63.

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题.

16.100

【解析】

某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.

【详解】

X

设抽取的样本容量为X,由已知，30=240x—解得X=1()O.

160+240+400

故答案为：100

【点睛】

本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析；(2)也

2

【解析】

(1)由折叠过程知AE与平面垂直，得AELBO,再取A4中点加，可证AA与平面MB。垂直，得

AA.1BD,从而可得线面垂直，再得线线垂直；

(2)由已知得。为AC中点，以E为原点，EB,£4,所在直线为x,z轴，在平面BCD内过£作8C的垂线为)'轴建

立空间直角坐标系，由已知求出线段长，得出各点坐标，用平面的法向量计算二面角的余弦.

【详解】

(1)易知AE与平面BCO垂直，...AEL8。，

连接A4一取A4中点”，连接"

由。4=。4，胡=34得？14]VMD,A4,LMB,MB[\MD=M,

二A4,"L平面MB。，的匚平面双弘)，，^，^。，

又A4mAE=A，平面A4/，...BOJLAE;

(2)由tan/A8O=L,知。是AC中点，

2

令显=疵,则赤=而+而=(1—4)南+4/，

由丽=而—丽=—而，BD±AE>

.,.((l-A)AB+/lAC)-(-AC-Afi)=O,解得4=一，故BE=2&CE=C.

23

以E为原点,EB,EA所在直线为x，z轴，在平面8c。内过E作8c的垂线为)’轴建立空间直角坐标系，如图，

则BQ五,0,0),CJ&0,0),A(0,0,1),。(—坐,沙,0),

44

反《=(—20,0,1),丽=(一还，逑,0),设平面A8D的法向量为五=(九,y,z),

44

丽•BA^=-2&x+z=0

则《—9723yli八取X=1,贝IJ7%=(1,3,2\/2).

m•BD=-----x+----y=0

44

又易知平面\BC的一个法向量为n=(0,1,0),

---m•n3>/2

cos<m,n>=iff=----7==--.

|m||n|1-3V22

二面角C-BAi-D的余弦值为也.

2

【点睛】

本题考查证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角.证线线垂直，一般先证线面垂直，而证线面垂直又要证线线垂

直，注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化.求空间角，常用方法就是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空

间角.

0

18.矩阵M属于特征值1的一个特征向量为］,矩阵/属于特征值2的一个特征向量为

【解析】

先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令/（2）=（）解方程可得特征值，再由特征值列出方程组，即可求得相应的特

征向量.

【详解】

/、2—209

由题意，矩阵M的特征多项式为/（几）=।.=/t2-32+2,

令/"）=0,解得4=1,4=2,

（2-2）-x+0->'=0

将4=1代入二元一次方程组Z八,，解得x=0,

-x+（zt-l）y=0

「0〕

所以矩阵/属于特征值1的一个特征向量为］；

1

同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为［v

【点睛】

本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算，其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键,

着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

19.(1)证明见解析(2)V…8=2近(3)察

【解析】

(1)因为底面A8CO为梯形，且BC=ED,所以四边形5C0E为平行四边形，则8E〃CZ),

又BE.平面PCD,COu平面PC。，所以BE||平面PC。，

又因为H为线段BE上的动点，APC。的面积是定值，从而三棱锥〃-28的体积是定值.

(2)因为平面PC。，所以P4_LC£>,结合BE〃CD,所以AP_L8E,

又因为AB_LBC,AB=BC=-AD,且£为AO的中点，所以四边形A8CE为正方形，所以8E_LAC，结合

2

APcAC=A,则BE1平面APC,连接P。，则3ELP0,

因为平面PC。，所以Q4_LPC,

因为4。=夜48=及4尸，所以APAC是等腰直角三角形，。为斜边AC上的中点，

所以POLAC,且ACIBE=O,所以PO_L平面ABC。，所以尸。是四棱锥P-A3CD的高，

又因为梯形48C。的面积为L(8C+A£>)xAfi=L(2+4)x2=6,

22

在RtZ\APC中，P0=6,所以％梯扬既。.PO=gx6xa=2G・

(3)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系。-型，如图所示，

则8（夜，0,0）,C（0,叵,0）,0（—2啦，血,0）,P（0,0,0）,

则配=（-V2,y/2,0）,丽=（夜,0,-夜）,丽=（-272,夜,-应），

设平面PBO的法向量为〃=（“,匕卬），贝叶一，即｛「广「，则《,

n-PD^O-2yl2u+y/2v->/2w=01v=3w

令卬=1,得到“=（1,3,1）,

则sina=|cos（BC,n）|=|嚏1=年，

设BC与平面尸8。所成的角为a

所以cosa—Vl-sin2a---,

11

所以直线BC与平面PBD所成角的余弦值为Ml.

11

20.(1)(0,0),(2后康；(2)20

【解析】

(1)依题意可知，直线/的极坐标方程为，=n?(夕eR),再对「分三种情况考虑；

4

(2)利用直线参数方程参数的几何意义，求弦长即可得到答案.

【详解】

7F

(1)依题意可知，直线/的极坐标方程为。=一(peR),

4

当「〉0时，联立解得交点「夜

X7=4cos。，

当。=0时，经检验(0,0)满足两方程，(易漏解之处忽略2=0的情况)

当。<0时，无交点；

综上，曲线c与直线/的点极坐标为(o,o),

(2)把直线/的参数方程代入曲线C,Wr2+2(sina-cosa)r-2=0,

可知：+?2=0,-t2=-29

所以IAB|=,_4=抱+幻2-4%=2&•

【点睛】

本题考查直线与曲线交点的极坐标、利用参数方程参数的几何意义求弦长，考查函数与方程思想、转化与化归思想、

分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

21.(I)a,=2"，neN*.(H)见解析

【解析】

(1)由4=c>0,分〃=1和〃22两种情况，即可求得数列｛4｝的通项公式；

(2)由题，得/=谈\=*=(>”'，利用等比数列求和公式，即可得到本题答案.

【详解】

(I)解：由题，得

当〃=1时，4=5]=2<7]-1,得4=1；

当〃..2时，an=Sn-S^=2a„-\-2a^+\,整理，得a“=2a,i.

，数列｛4｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

.•.a,,=1.2"T=2"T,〃eN*;

111」、〃|

(II)证明：由(I)知，>=0.八2=而=(,)，

1_111

故汇下二F+T+…+方

4a