第1课时用空间向量研究距离问题练习-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第1课时用空间向量研究距离问题一、选择题1.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为 ()A.223 B.1C.2 D.2.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),那么过点P且平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是 ()A.2B.22C.23 D3.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,若点P(-2,1,4)到平面α的距离d=103,则x= (A.-1 B.11C.-1或-11 D.9或-214如图,在四棱锥P-ABCD中,PB⊥平面ABCD,AB⊥BC,PB=AB=2BC=2,则点C到直线PA的距离为 ()A.3 B.5C.2 D.25.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是 ()A.66 B.63 C.36 6.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=π2,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=1,则直线AB1到平面BC1D的距离为 (A.33 B.23C.34 7.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD的距离为 ()A.2 B.4C.83 D.8.(多选题)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是棱AB上一动点,则P到平面A1C1D的距离可能是 ()A.33 B.3C.423 D9.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是A1C1的中点,P在正方体内部且满足AP=34AB+12AD+23A.|AP|=18112B.点O到平面ABC1D1的距离是C.平面A1BD与平面B1CD1的距离为33D.点P到直线AB的距离为二、填空题10.如图,在四棱锥P-ABCD中,AC∩BD=O,底面ABCD为菱形,边长为2,∠ABC=60°,PO⊥平面ABCD,异面直线BP与CD所成的角为60°,若E为线段OC的中点,则点E到直线BP的距离为.

11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为2,E,F分别是AB,CC1的中点,则点B到平面A1EF的距离为.

12.在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,则直线AD到平面PBC的距离为.

三、解答题13.如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM.(1)求BC的长;(2)求点B到平面PAM的距离.14.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E为PD的中点.(1)求异面直线AC与PB的距离;(2)在侧面PAB内(包括边界)找一点N,使NE⊥平面PAC,并求出点N到直线AB和AP的距离.15.如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,BC1与底面ABCD所成角的正切值为2,M是DD1的中点,N是BD上的一个动点,设DN=λDB(0<λ<1).(1)当λ=12时,证明:MN与平面ABC1D1(2)若点N到平面BCM的距离为d,试用λ表示d,并求出d的取值范围.

答案1.A[解析]连接AB,∵A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),∴AB=(1,0,0),BC=(-1,2,-2),∴点A到直线BC的距离d=|AB|1-cos2<AB,BC>2.C[解析]连接AP,因为点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),所以AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,2),AP=(0,-1,0).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则AB·n=0,AC·n=0,即-x+y=0,-x+2z=0,令x=1,得3.C[解析]由题意PA=(x+2,2,-4),所以d=|PA·n||n|=103,即|-2(4.A[解析]因为PB⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PB⊥AB,PB⊥BC,又AB⊥BC,所以以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则C(1,0,0),A(0,2,0),P(0,0,2),所以PC=(1,0,-2),PA=(0,2,-2),即PC·PA=4.PC在直线PA上的投影向量的长度为|PC·PA||PA|=422=2,故点C到直线5.D[解析]以P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),所以PA=(1,0,0),AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=0,n·AC=0,即-x+y=0,-x+6.A[解析]以B为原点,BC,BA,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),C1(1,0,1),D12,12,0,A(0,1,0),B1(0,0,1),所以BC1=(1,0,1),BD=12,12,0,AB1=(0,-1,1).设平面BC1D的法向量为n=(x,y,z),则BC1·n=0,BD·n=0,即x+z=0,12x+12y=0,令x=1,则n=(1,-1,-1).因为AB1·n=0×1+(-1)×(-1)+1×(-1)=0,所以AB1⊥n,又AB7.C[解析]如图所示,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),M(2,0,4),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),∴EF=(2,2,0),MN=(2,2,0),AM=(-2,0,4),BF=(-2,0,4),∴EF=MN,AM=BF,∴EF∥MN,AM∥BF.∵EF⊄平面AMN,MN⊂平面AMN,BF⊄平面AMN,AM⊂平面AMN,∴EF∥平面AMN,BF∥平面AMN,又EF∩BF=F,∴平面AMN∥平面EFBD.设平面AMN的法向量为n=(x,y,z),则n·MN=2x+2y=0,n·AM=-2x+4z=0,取x=2,则n=(2,-2,1)8.BC[解析]如图,以D1为坐标原点,以D1A1,D1C1,D1D的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A1(2,0,0),B(2,2,2),D(0,0,2),C1(0,2,0),故A1C1=(-2,2,0),A1D=(-2,0,2),设P(2,λ,2)(0≤λ≤2),平面A1C1D的法向量为n=(x,y,z),则n·A1C1=-2x+2y=0,n·A1D=-9.ACD[解析]以点A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),因为AP=34AB+12AD+23AA1,所以AP=34,12,23,所以|AP|=916+14+49=18112,故选项A正确;因为C1O=12C1A1=-12,-12,0,而平面ABC1D1的一个法向量为DA1=(0,-1,1),所以点O到平面ABC1D1的距离d1=|DA1·C1O||DA1|=122=24,故选项B错误;A1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),A1D1=(0,1,0),设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n·A1B=0,n·A1D=0,即x-z=0,y-z=0,令z=1,则y=1,x=1,故n=(1,1,1),所以点D1到平面10.32[解析]连接BE,以O为坐标原点,向量OB,OC,OP的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,∵AB∥CD,∴∠PBA为异面直线PB与CD所成的角,即∠PBA=60°.在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°,∴OA=1,OB=3.设PO=a,则PA=a2+1,BP=a2+3.在△PBA中,由PA2=BA2+BP2-2BA·BP·cos∠PBA,得a2+1=4+a2+3-2×2×a2+3×12,可得a=6,∴B(3,0,0),P(0,0,6),E0,12,0,∴BE=-3,12,0,BP11.32[解析]如图,取A1B1的中点G,连接EG,则EG∥AA1,则EG⊥平面ABC.连接EC,由已知可得CE⊥AB,AE=1,CE=3.以点E为坐标原点,分别以EC,EA,EG所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,0),A(0,1,0),A1(0,1,2),C(3,0,0),F(3,0,1),B(0,-1,0),所以EA1=(0,1,2),EF=(3,0,1),EB=(0,-1,0).设n=(x,y,z)是平面A1EF的法向量,则EA1·n=y+2z=0,EF·n=3x+z=0,取x=1,可得z=-3,y=212.2[解析]直线AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离,由已知可得AB,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),所以PB=(2,0,-2),BC=(0,2,0).设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),则n·PB=2a-2c=0,n·BC=2b=0,取13.解:(1)∵PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,∴以点D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设BC=2a,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(2a,1,0),M(a,1,0),A(2a,0,0),则PB=(2a,1,-1),AM=(-a,1,0),∵PB⊥AM,∴PB·AM=-2a2+1=0,可得a=22故BC=2a=2.(2)设平面PAM的法向量为m=(x1,y1,z1),∵AM=-22,1,0,AP=(-2,0,1),∴m·AM=-又AB=(0,1,0),∴点B到平面PAM的距离d=|AB·m||14.解:(1)由题意得AB⊥AD,PA⊥AD,PA⊥AB.以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(3,1,0),P(0,0,2),B(3,0,0),∴AC=(3,1,0),PB=(3,0,-2),AP=(0,0,2).设异面直线AC,PB的公垂线的方向向量为n=(x,y,z),则n⊥AC,n⊥PB,即n·AC=3x+y=0,n·PB=3(2)设N(a,0,c),0≤a≤3,0≤c≤2,由(1)知E0,12,1,∴NE=∴N36,0,1,∴点N到直线AB的距离为1,点N15.解:(1)证明:连接D1B,如图,∵λ=12,∴N为DB的中点,又M是DD1的中点,∴MN为△BDD1的中位线,则MN∥D1B.∵MN⊄平面ABC1D1,D1B⊂平面ABC1D1,∴MN与平面