第4章 位错的弹性性质课件

第4章位错的弹性性质第4章位错的弹性性质4.1

弹性力学基础知识所谓弹性连续介质，是对晶体作了简化假设之后提出的模型：(1)

晶体是完全弹性体，因此服从胡克定律；(2)

晶体是各向同性的，因此其弹性常数（弹性模量、泊松比等）不随方向而变化；(3)晶体内部由连续介质组成，因此晶体中的应力、应变、位移可用连续函数表示。1）弹性连续介质第4章位错的弹性性质

A

A在m-m截面上P点处定义：m-m截面上P点的正应力m-m截面上P点的切应力（剪应力）m-m截面上P点的全应力

物体在受力状态下，其内部不同部分之间互相产生作用力，这种作用力称为内力。作用在某点处的内力，在该点的微面积上的集度p，叫该点处的应力。2）应力第4章位错的弹性性质变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元在直角坐标系下，单元体为无限小正六面体xyzxyz单元体的三对表面：正面：外法向与坐标轴同向负面：外法向与坐标轴反向单元体是变形体的最基本模型1单元体的概念第4章位错的弹性性质为了表达弹性体内部任意一点M的应力状态，利用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过M点截取一个平行六面体单元,如图所示xyzxyz该分量的指向所在面的法向两脚标相同——正应力两脚标不同——切应力2应力分量第4章位错的弹性性质xOzydzdxdyXYZOsyysyyszzszztzytyztyztzytyxtyxtxytxysxxsxxtzxtxztzxtxz正面正方向为正，负面负方向为正正面负方向为负，负面正方向为负应力的正负号第4章位错的弹性性质圆柱坐标：用z轴、ρ方向及θ角来描述为表示任一点应力状态也是取一个体积元，其上的应力分量也有9个，3个正应力,6个切应力第4章位错的弹性性质棱边长度的改变量与原棱长之比

。以线段伸长为正，线段缩短为负。正应变切应变原来成直角的两棱之间角度的改变量。以角度减小为正，以角度增大为负。3）应变第4章位错的弹性性质4）泊松比一般情况下，任意一点存在36个常数cij值。晶体的对称性越强，独立的弹性常数数目越少。在弹性连续介质中，只有2个独立的cij值，工程上分别用E、G标记:六个应力分量与六个应变分量之间，均遵循胡克定律:σij=cijε。式中cij为弹性模量，是量度材料抵抗弹性变形能力的物理量。G为切应变弹性模量，也叫切变模量：

E为正应变弹性模量，也叫杨氏模量：

E和G之间存在如下关系：E=G/2(1-ν)，其中ν是表示纵横变形茉系的参量，称为泊松比第4章位错的弹性性质xxzzAA’E’uxdxuzdzECFC’F’5）应变与位移的关系该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足的关系，称为几何方程，也称为柯西（Augustin-LouisCauchy）几何关系。第4章位错的弹性性质4.2

位错的应力场位错中心部分畸变程度最为严重，超出了弹性应变范围，不讨论。仅讨论中心区以外的弹性畸变区，借助弹性连续介质模型。假设：晶体是各向同性的均匀连续弹性介质，位错处在无限大的连续介质中。

优点缺点模型简单中心区不适用，忽略晶体结构的影响第4章位错的弹性性质

1）刃位错的应力场①应力场模型在圆柱体中心挖出一个半径为rO的小洞沿xoz平面从外部切通至中心在切开的两面上加外力，使其沿x轴作相对位移b;再把切开的面胶合起来撤去外力这样的圆柱体与包含一个刃型位错的晶体相似。第4章位错的弹性性质②应力场的特点同时存在着正应力与切应力;刃型位错的应力场，对称于多余半原子面;滑移面上无正应力，只有切应力，且其切应力最大。正刃型位错的滑移面上侧，在x方向的正应力为压应力;滑移面下侧，在x方向上的正应力为拉应力半原子面上或与滑移面成45°的晶面上，无切应力。正应力：切应力：其中：第4章位错的弹性性质2）螺型位错的应力场①应力场模型与函数沿xz平面剖开使之沿z轴产生相对位移b，然后再粘合。当然也要挖去位错线附近的严重畸变区域。第4章位错的弹性性质②应力场的特点只有切应力分量（σθz、σzθ），而无正应力。螺型位错的应力场，是对称于位错线的。所产生的切应力大小只与r的大小有关，即只与离位错线的距离成反比，而与θ无关。柱坐标表达式第4章位错的弹性性质4.3

位错的应变能位错在周围晶体中引起畸变，使晶体产生畸变能，这部分能量称为位错的应变能。与位错的畸变相对应，位错的能量也可分为两部分：一是位错中心畸变能；二是位错中心以外的能量即弹性应变能

。根据点阵模型对位错中心能量的估算得：弹性应变能占总能量的90%，所以位错中心畸变能可忽略不计，即通常用弹性畸变能表示位错的应变能。第4章位错的弹性性质1）刃型位错的应变能ABCD①形成图示的位错的功，可以理解为XZ剖面ABCD两边晶体在切应力σθr作用下产生相对位移u=b所做的功。刃型位错在XZ剖面的应力:②在XZ剖面上θ=0，cosθ=1③当剖面从r到(r+dr)处，产生位移db(r)所做功：④当剖面从r0处扩展到R处，db从0变到b所功:单位长度的刃错线总能量（应变能）：R

σθrR第4章位错的弹性性质2）螺型位错的应变能σθz在XZ剖面的应力为:

单位长度的螺错线能量：

第4章位错的弹性性质单位长度的混合位错能量：上述公式可简化为：R—位错应力场最大作用范围的半径r0—位错中心区域的半径θ—混合位错的柏氏矢量与位错线的夹角α—由位错的类型、密度(R值)决定，其值0.5~1.03）混合位错的应变能第4章位错的弹性性质讨论。1）位错的能量包括两部分：Ec和Ee。位错中心区的能量Ec一般小于总能量1/10,常可忽略；而位错的弹性应变能ln(R/r0),它随r缓慢地增加,所以位错具有长程应力场。2）位错的应变能与b2

成正比。从能量的观点来看，晶体中具有最小b的位错应该是最稳定的，因此位错趋向于取b最小的组态。3）W螺/W刃=1-ν，常用金属材料的ν约为1/3，故螺型位错的弹性应变能约为刃型位错的2/3。4）位错的能量是以单位长度的能量来定义的，故位错能量还与位错线的形状有关。由于两点间以直线为最短，所以直线位错的应变能小于弯曲位错的，即更稳定，因此位错线有尽量变直和缩短其长度的趋势。5）位错的存在均会使体系的内能升高。因此，位错的存在使晶体处于高能的不稳定状态，可见位错是热力学上不稳定的晶体缺陷。第4章位错的弹性性质1）位错的线张力位错的总能量与位错线的长度成正比，因此为降低能量，位错线有缩短变直的倾向，好像沿位错线有个张力，这个张力叫位错的线张力。当位错线的长度增加一无限小量，其能量增加与长度增量的比值等于线张力T，即：T=ΔW/ΔL，所以位错的线张力在数值上等于单位长度位错线的能量，并且与位错线的具体形状有关。4.4位错的受力第4章位错的弹性性质①直线位错的线张力单位长度位错的能量为:当ro→b0(10-8cm)，R(相当于亚晶粒长度)≈10-4cm时，直线位错的线张力为:第4章位错的弹性性质②弯曲位错的线张力r>λ区域：r<λ区域：未弯曲前:线张力T:若设（一般情况下）λ=100r0，第4章位错的弹性性质物理意义①曲线线张力与波长有关②由于远程应力场可互相抵消，所以弯曲位错的线张力小于直线位错的线张力。③

位错的线张力不仅驱使位错线变直，而且也是晶体中位错呈三维网状分布的原因。因为位错网络相交于同一结点的各位错，其线张力处于平衡状态，从而保证了位错在晶体中的相对稳定性。第4章位错的弹性性质③弯曲位错的向心恢复力由于位错有线张力，所以弯曲位错会由线张力产生一个指向曲率中心的向心恢复力F，f为每单位长度位错的向心恢复力由式可见，曲率半径r越小，则恢复力越大；要使位错弯曲，外力必须在位错上作用一个能与向心恢复力平衡的力。第4章位错的弹性性质(1)分析该位错环各段位错的结构类型。(2)求各段位错线所受的力的大小及方向。(3)在τ的作用下，该位错环将如何运动？(4)在τ的作用下，若使此位错环在晶体中稳定不动，其半径应为多大？

如图某晶体的滑移面上有一柏氏矢量为b的位错环，并受到一均匀切应力τ。例题第4章位错的弹性性质(1)令逆时针方向为位错环的方向，则a点为正刃型位错，b点为负刃型位错，c点为左螺旋位错，d点为右螺旋位错。环上其它各点为混合型位错。(2)各点均受力均为F=τb，方向垂直于位错线并指向滑移面的未滑移区。(3)在应力作用下位错环在晶体中扩展，直至达到应力与位错线的线张力的平衡，位错环最后在晶体中稳定不动。(4)使位错环不动时，作用在位错线的向心恢复力与外加应力作用在单位位错线上的力平衡，所以：

答案第4章位错的弹性性质2）外加应力场作用在位错线上的力它是虚设的、驱使位错滑移的力，它必然与位错线运动方向一致，即处处与位错线垂直，指向未滑移区。虚功原理：外力使晶体变形所做的功=位错运动所作的功。外力作用在晶体上后，使位错线向着与之垂直的方向移动，好象有个力，垂直作用在位错线上，称之为外加应力场作用在位错线上的力。①位错在外切应力场中的受力第4章位错的弹性性质虚功原理应力：单位面积上的内力

假设作用在滑移面上的切应力为τ,当使长度为l的位错线移动距离D之后，晶体正好位移了位错的一个柏氏矢量b，设此面上晶体位移b所做的功为W1实功：力在自身引起的位移上所做的功W1虚功：力在其他原因产生的位移上所做的功W2第4章位错的弹性性质作用在单位位错线上的力F与外加切应力τ及柏氏矢量b成正比，由于同一位错线各点柏氏矢量b相同，所以当外加切应力均匀作用在晶体上时，位错线各点所受力的大小是相同的。作用于位错线上的力F与外加切应力τ的方向不一定是一致的(纯刃型位错与τ同向，纯螺型位错与τ垂直)。特点第4章位错的弹性性质柏氏矢量分解为：应力在面积上的作用力为：

若晶体中有一段位错线元dl,它的柏氏矢量为b,在外加应力场σ作用下，位移ds,把应力场写成②位错在一般应力场中的受力第4章位错的弹性性质作用在位错线上的力所作的功为又：W1=W2所以，即：时所作的功为由混合积性质得：此作用力位移第4章位错的弹性性质例1：晶体中有一位错环ABCD，柏氏矢量为b，求在切应力作用下各段位错线上受力。解：首先设位错环的正方向如图上箭头所示，然后按力的一般表达式求出各段位错受力。外加应力场为：柏氏矢量为：第4章位错的弹性性质同理可得：∴刃型、螺型位错均受力，在τ作用下，环在滑移面上滑移，结果使环扩大，滑出表面。第4章位错的弹性性质解：首先设位错环的正方向如图上箭头所示，然后按力的一般表达式求出各段位错受力。外加应力场为：柏氏矢量为：例2：晶体中有一位错环ABCDA，柏氏矢量为,求在正应力作用下各段位错线上的受力。第4章位错的弹性性质同理可得：∴在正应力作用下，刃型位错作攀移运动，螺位错不受力，不动。第4章位错的弹性性质3）位错间的相互作用力两个位错靠近到一定程度，即达到它们彼此的应力场范围以内时，就相互吸引或相互排斥，好象它们之间存在着作用力，这就是位错间的相互作用力。从能量角度看，位错有应变能，两个位错无论相斥或相吸，其趋势是力求降低总的弹性应变能。第4章位错的弹性性质S1的应力场:则位错S1对位错S2的作用力：①两根平行螺型位错间的作用力设两平行螺型位错平行于z轴，S1原点，S2在（x,y）两个螺型位错间的相互作用力矢量(xi+yj)正好是大小为r而方向由位错b1指向位错b2的矢量。无论第二个位错处于什么方向(即任何θ角)，受到永远沿着它们之间的连线的排斥力，其大小则为ub1b2/2πr第4章位错的弹性性质(1)如果第二个位错是左螺型位错，则它受到的是第一个即右螺型位错的吸引力。即两个平行异号螺型位错是相吸的，同号则是相斥的。(2)第二个螺型位错对第一个螺型位错施加同样大小但方向相反的力。(3)作用力随两者的距离呈反比变化。(4)因设位错线很长，各处均受到同样作用力。第4章位错的弹性性质②两垂直螺型位错间的作用力位错A、B相互作用力：两相互垂直螺位错A、B的柏氏矢量分别为bA和bB，A//z轴，B∥x轴，bB=(bB00)，位错B为单位位错线长i第4章位错的弹性性质讨论当bA与bB同向时，FAB<0，即两同号相互垂直的螺型位错相互吸引当bA与bB反向时，FAB>0，即两异号相互垂直的螺型位错相互排斥。第4章位错的弹性性质①两平行刃型位错间的作用力

设两平行位错为同号位错。将坐标原点定在位错线Ⅰ上，以此位错线为z轴。位错Ⅱ位于(x,y)处.因为位错在滑移面上容易滑移。由位错I的应力σyx引起的作用于位错II上的力Fx使位错Ⅱ沿x轴方向滑移，叫滑移力。由σxx引起的作用力Fy使位错Ⅱ沿y轴方向攀移，叫攀移力。两个刃型位错间的相互作用力第4章位错的弹性性质讨论Fx同号位错(1)当x=0即位错2在Y轴上，或x=±y即位错2在x-y坐标的45°线上时，Fx=0，没有使位错2滑移的力。前者稳定，后者亚稳(2)∣x∣>∣y∣，即位错2处于Ⅰ,Ⅱ两个区间时，Fx>0，应力场斥力使它向距Y轴更远方向滑移，使两位错分开(3)∣x∣<∣y∣，即位错2处于Ⅲ,Ⅳ两个区间时，Fx<0，位错2受到位错1的吸引力，使它更靠近Y轴(形成位错墙）异号位错第4章位错的弹性性质表示Fx与x关系，x表示两位错水平距离,y表示两位错的垂直距离.Fx的单位以Gb1b2/[2π(1-v)y]来表示，X坐标以y的距离表示。实线表示两个同号位错的作用力，虚线表示两个异号位错的作用力第4章位错的弹性性质讨论Fy攀移力Fy与y同号，当位错e2在位错e1的滑移面上边时，y>0，Fy>0，即指向上；当位错e2在位错e1的滑移面下边时，y<0，Fy<0，即指向下。同号位错沿y轴方向互相排斥；异号位错沿y轴方向互相吸引(进而相接而消失)第4章位错的弹性性质②两垂直刃型位错间的作用力两垂直的刃型位错，其垂直情况可有几种、但不管取哪一种，其相互作用力都表现为攀移力。第4章位错的弹性性质两刃、螺型位错间的相互作用力相互平行螺型位错的应力场没有使刃型位错受力的应力分量，刃型位错的应力场也没有使螺型位错受力的应力分量，所以两个位错间没有相互作用。相互垂直刃型位错线与螺型位错线垂直时，因其垂直情况不同，其相互作用情况也不同，比较复杂；第4章位错的弹性性质结论：众多位错之间即有吸引又有排斥，交互作用的结果使体系处于较低的能量状态，或者说位错将处于低能的排列状态。上面只是讨论了简单的位错交互作用情况，实际晶体中位错往往是混合型的，它们的排列也不可能完全平行或垂直的，所以位错间的交互作用十分复杂。第4章位错的弹性性质螺位错：这个力相当于在自由表面外侧与位错成镜面对称的位置放入一个反号螺位错（称映像位错）对真实位错的作用力，故这力称映像力。对于刃位错，也近似用此方法计算映像力。在两个弹性模量不同的介质的界面（如相界面），对它附近的位错也会产生映像力。在薄膜晶体中映像力将起重要作用。当位错处于自由表面附近时，便有自动移向表面，以降低位错应变能的趋势。这个现象说明自由表面对位错具有吸引力4）晶体表面作用于位错上的力第4章位错的弹性性质5）半点阵模型与派—纳力①半点阵模型及其基本方程yx

ＡＢ-u(x)u(x)

(x)刃型位错芯部构造示意图aPeiels和Nabarro提出了半点阵模型，导出了P-N力公式。具有简单立方点阵的晶体，沿滑移面将晶体切为二部分，相对位移b/2，然后适当压缩上部晶体，拉伸下部晶体，使A、B两个原子面上的原子，靠原子间的互相作用合并到一起，形成刃位错。第4章位错的弹性性质由图可知：P-N模型的假设：1)仍将A面以上和B面以下晶体看成是连续介质。2)将A、B面之间的切应力认为是其面上对应原子之间的相对位移(x)的正弦函数，周期为b。首先求B面对A面的切应力

xy当

(x)很小时第4章位错的弹性性质二式相等：当

(x)很小时，满足胡克定律：Eshelby提出一个近似方法，将柏氏矢量为b的位错分解成位错强度为无限小的无穷多个弹性位错，沿滑移面连续分布。再求A面以上的弹性体对A面的作用力

xy第4章位错的弹性性质在滑移面上，某弹性位错在x处产生的切应力d

xy整个位错在x处产生的切应力是[-,]内诸位错积分：又因为：，代入上式单位长度的x轴上的强度分布为，在范围内的强度就应该是

，在整个x轴上的强度之和等于b，则第4章位错的弹性性质在平衡状态下：此即P－N模型的基本公式，它的方程解：u(x)即位错中心上下面原子的位移。第4章位错的弹性性质得位错宽度②位错中心宽度一定晶体中，密排面间距越大，面间原子对齐能力越弱，所以位错宽度越大。原子结合键力方向性越强的晶体，位错宽度越小。当V=1/3时，位错宽度仅为1.5a,即约1.5个面间距。定义：原子发生位移小于极限值一半时的宽度。第4章位错的弹性性质－A、B面的对应原子铺开φ(x)产生的错排能。每对原子列的错排能：错排能的计算采用离散方法计算位错中心的错排能。A面或B面原子的错排能：③P-N力第4章位错的弹性性质A、B面上原子列位置可表示为：(0<<1)用αb表示位错滑移后中心到最近平衡位置的距离根据Cottrell－Nabarro的求和公式:第4章位错的弹性性质位错移动所遇到的阻力：克服最大阻力所需要的临界切应力：第4章位错的弹性性质4.5

位错与点缺陷的交互作用位错在晶体中产生应力场，而溶质原子可能由于其大小不同于基体原子，在基体中引起畸变，这种畸变对位错的应力场做功，从而产生溶质原子和位错的交互作用能。交互作用能随溶质原子与位错的相对位置而异，因此溶质原子就趋向于能量较低的位置，这就表现出位错对溶质原子的作用力。以上这种由尺寸引起的交互作用称为尺寸交互作用。第4章位错的弹性性质设想一连续弹性介质的晶体中含有一刃位错和一个溶质原子或空位，体系的能量为：U0+Ue+UIDU0-点缺陷的应变能；Ue-位错的应变能；UID-当溶质原子移近位错时，体系能量的改变值，即弹性交互作用能。可能为正，也可能为负。yxθr1r0γ1）位错与溶质原子间交互作用能第4章位错的弹性性质r1r0假想在连续弹性介质中挖一球形孔洞，半径为r0（置换或空位：溶剂原子半径，间隙：间隙半径），然后填入一个半径为r1（溶质原子半径）的小球。如果体系无位错，该过程只反抗周围介质做功，能量为U0。第4章位错的弹性性质r1r0στ当有位错存在时，除U0外，该过程还需反抗位错应力场σij做功，相当于弹性交互作用能UID由于点缺陷在晶体中产生的是球形对称的畸变，所以位移始终垂直于球面，故应力场中σij在球面上产生的切应力做功为0。（∵没有切应变），而正应力σ为平均值。第4章位错的弹性性质位错与点缺陷的交互作用能用UID表示，则：在位移Δr＝r1－r0过程中，孔洞周围体积改变为ΔV，反抗位错应力场所做之功为：

ΔW＝－σΔV将刃位错应力场代入得：r1r0στ第4章位错的弹性性质大原子