六种类型解决与圆有关的题目-解析版

与圆有关的知识TOC\o"1-1"\h\z\u类型一直线与圆相交的弦长最值 4类型二将军饮马的线段最值 7类型三点的轨迹 10类型四切线的夹角，面积，切线弦方程（较难） 12类型五几何意义（难） 21类型六阿氏圆的两种表述与应用（难） 25圆的方程【知识清单】1、圆的定义及方程定义平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程x-a圆心a,b；半径r一般方程x充要条件：.圆心：半径：.（1）圆x-a2+y-b2（2）以Ax1,y1，2、点与圆的位置关系定点Mx0,y（1）d>r⟺点M在圆外；即：x-a2+y-b（2）d=r⟺点M在圆上；即：x-a2+y-b（3）d<r⟺点M在圆内；即：x-a2+y-b2<直线与圆圆与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系几何法代数法相交相切相离（1）直线l与半径为r的圆相交于AB，圆心到直线l的距离为d，则弦长AB=（2）设点Px0若定点P在圆C上，则过点P的圆C的切线方程为：.特别地，若a=0，b=0，则过点P的圆C的切线方程为：若定点P在圆C外，则过点P可以做圆C的两条切线，则两切点所在直线的方程为：.（3）圆系：经过圆C1:x2+y2、圆与圆的位置关系若两圆的半径分别为r1,r位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1ddrd=0≤d<代数特征类型一直线与圆相交的弦长最值【典型例题】1．（2021下·浙江金华·高二校联考期末）已知直线l:y=kx+1，圆C:x-12+y+12=12．则直线l恒过定点，直线【答案】0,14【详解】解：直线l:y=kx+1，当x=0时，y=1，故直线l恒过定点(0,1)；圆C:(x-1)2+(y+1)2=12，因为所以直线l被圆C截得的最大弦长为直径43故答案为：(0,1)；432．（2019上·广东佛山·高二佛山一中校考期中）已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2【答案】-33【详解】圆x2+y设圆x2+y2=12圆心(0,0)则有d=12-整理得-23此时直线l斜率为33，倾斜角为30°过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|=2故答案为:-33．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知直线l：kx-y-2k+2=0被圆C：x2+(y+1)2=16【答案】9【详解】将直线l的方程整理可得kx-2-y+2=0，易知直线恒过定点圆心C0,-1，半径R=4所以当直线过圆心时弦长取最大值，此时弦长为直径2R=8；易知，当圆心C0,-1与2,2的连线与直线l

此时弦长为2R2-由对称性可知，当弦长为4,5,6,7时，各对应两条，共8条，当弦长为8时，只有直径1条，所以满足条件的直线l共有9条.故答案为：94．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知圆C:x2+y2=4，直线l经过点P32,0与圆C相交于A，B两点，且满足关系OM=22A．1 B．±1 C．22 D．【答案】D【详解】设直线l的方程为y=kx-3整理得1+k2x2-3由韦达定理得x1+x2=由OM=22OA+22所以OA+OB=2所以OA⋅OB=0所以1+k29故选：D.5．(多选)（2021·江苏南通·一模）已知直线l:y=kx+1，圆C:x-12+y+12=12，则直线A．5 B．6 C．35【答案】BC【详解】由题意可得直线l:y=kx+1过定点P0,1，因为0-1所以点P在圆C内，当CP⊥l时，最短弦长为2r当l过点C时，最长弦长为圆C的直径43所以弦长的取值范围为27故选：BC.6．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知圆C：x-12+y2=4，过点A0,1的两条直线l1，l2互相垂直，圆心C到直线l1，lA．22 B．1 C．2【答案】B【详解】过圆心C分别作直线l1，l2的垂线，垂足分别为E，∵l1，l2互相垂直，所以四边形由圆C：x-12+y2=4∴d所以d1d2≤1，当且仅当d1故选：B.

类型二线段最值【典型例题】1．（2019上·山东青岛·高二统考期中）已知圆x2+(y-2)2=1上一动点A，定点B(6,1)，x轴上一点W【答案】3【详解】根据题意画出圆x2+y-2作B关于x轴的对称点B'，连接圆心与B'，则与圆的交点A，AB即为AW+BW的最小值，即AB=故答案为：352．（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知点P在直线y=x-2上运动，点E是圆x2+y2=1上的动点，点F是圆(x-6)【答案】8【详解】如图所示，圆(x-6)2+(y+2)圆x2+y可知PA-3≤所以PF-若求PF-PE的最大值，转化为求设O0,0关于直线y=x-2的对称点为B，设B坐标为m,n则nm=-1n2=m因为PO=PB，可得当P，B，A三点共线，即P点为P1所以PF-PE的最大值为故答案为：8.3．（2023·全国·模拟预测）已知A,B分别为圆C1:(x+3)2+y2=4与圆C2【答案】3【详解】由圆C1:x+32+又由C2:x2+设C2(0,-3)关于直线x+y-3=0对称的点为可得n+3m×(-1)=-1m2+n-32连接CC1，当P为CC1与直线l的交点时，连接则PA所以PA+故答案为：310类型三点的轨迹【典型例题】1．（2023上·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考阶段练习）已知直线l与圆O:x2+y2=9交于A，B两点，点P4,0A．32+2 B．2+2【答案】C【详解】设A(x1,y1),B(x2,又x12+则x1所以2x又PA⊥PB，则PA⋅PB=0，而PA所以x1x2综上，2x整理得(x-2)2+y所以M在圆心为(2,0)，半径为22又(0-2)2+02=4>则OMmin所以AB故选：C.2．（2023·浙江·模拟预测）已知圆O:x2+y2=4和点A4,4，由圆外一点P向圆O引切线，切点分别为MA．724 B．722【答案】C【详解】设Px,y，连接OM，则OM⊥PM，可得OM所以OP2即4+x-42+所以OP=当x=94时，故选：C.

3．（2022·全国·清华附中朝阳学校校考模拟预测）在平面直角坐标系内，A1,0，B2,0，动点C在直线y=x上，若圆M过A，B，C三点，则圆M面积的最小值为（A．π2 B．π4 C．π【答案】A【详解】由圆的几何性质知，圆心在A,B中垂线上，故可设圆心M坐标32当圆M与直线y=x相切即圆心到y=x的距离等于到A点距离时，圆M的面积最小，可得：32-a12+当a=12时，M32,12，圆M当a=-72时，M32,-72，圆M所以圆M面积的最小值为π2

故选：A类型四切线的夹角，面积，切线弦方程【典型例题】1．（2021上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2A．PQ的取值范围是1,3 B．直线x1x+y1y=1C．直线x1x+y1y=4与圆C2【答案】ABD【详解】圆C1：x2+y2=1的圆心为C1观察图象可得2-1≤PQ≤2+1，所以PQ的取值范围是∵x1x1+y又C1(0,0)到直线x1x+y∴直线x1x+y1y=1∵点Px1,y1在圆C∴

C2(0,0)到直线x1x+y∴直线x1x+y圆x2+y2=点(0,0)到直线x2x+y∴直线x2x+y故选：ABD.2．（2021·安徽六安·校联考一模）已知⊙O:x2+y2=1，直线l:x+y-2=0，P为l上的动点，过点Р作⊙O的切线PA，PB，切点为A．1 B．2 C．2 D．2【答案】C【解析】首先画出图形，利用圆的切线性质得到AB⊥OP，从而得到SPAOB=12OP⋅AB，即可得到OP【详解】如图所示：圆心为O0,0，半径r=1因为OA=OB，PA=所以SPAOB又S所以OP⋅AB=2PA．要使由勾股定理得PA=即要使OP⋅AB取到最小值即当直线OP与直线x+y-2=0垂直时，OP取到最小值.所以OPmin=0+0-2所以OP⋅故选：C．3．（2022上·重庆·高二校联考期末）设圆O：x2+y2=1与y轴的正半轴交于点A，过点A作圆О的切线为l，对于切线l上的点B和圆ОA．若∠ABO=30°，则点B的坐标为3B．若OB=2，则C．若∠OBC=30°，则OBD．若∠ABC=60°，则OB【答案】BD【详解】解：对A：若∠ABO=30°，在直角三角形OAB中，由OA=1可得AB=3，所以点B的坐标为3对B：当BC与圆О相切时，∠OBC最大，此时在直角三角形OCB中，因为OB=2,OC=1，所以易得∠OBC=30∘；当B、O、C三点共线时，∠OBC对C、D：当BC与圆О相切时，∠OBC最大，即∠ABC最大，此时∠ABC=2∠OBC，当OB=2时，∠ABC=60∘，∠OBC=30∘.当点B在点-3,1和3,1之间变动时，∠ABC≥60故选项：BD.4．（2021上·陕西西安·高二长安一中校考阶段练习）已知点P在圆x-52+y-52=16上，点A①点P到直线AB的距离小于10

②点P到直线AB的距离大于2③当∠PBA最小时，PB=3④当∠PBA最大时，PB【答案】①③④【详解】解：∵A(4,0)，B(0,2)，∴过A、B的直线方程为x4+y圆(x-5)2+(y-5)圆心到直线x+2y-4=0的距离d=|1×5+2×5-4|∴点P到直线AB的距离的范围为[1155∵1155<5，∴11∴点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故①正确，②错误；如图，当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大(P点位于P1时∠PBA最小，位于P2时此时|BC|=(5-0)∴|PB|=|BC故选：①③④．5．（2021上·湖北·高三校联考阶段练习）已知圆O的方程为x2+y2=1，过第一象限内的点Pa,b作圆O的两条切线PA、PB，切点分别为A．直线AB的方程为ax+by-1=0B．四点O、A、P、B共圆C．若P在直线3x+4y-10=0上，则四边形OAPB的面积有最小值2D．若PO⋅PA=8，则【答案】ABD【详解】设A(x1,y1)，x1x1y1≠0时，kOA=y又x12+y12=1同理设B(x2,y2而P在两切线上，所以ax1+by1-1=0，由∠PAO=∠PBO=π2，因此可得∠PAO+∠PBO=π，所以四点O、A、P、由四边形OAPB的性质知其面积等于rPA，要使得切线长PA最小，则OP最小，即为O到直线的距离d=0+0-1033+由PO⋅PA=8，用PA⊥OA得PO所以a2+b2=9，由基本不等式知(a+b)2≤2(a2+b故选：ABD．6．（2018上·江苏扬州·高二统考阶段练习）已知圆O：x2+y2=1，圆M：x-a2+y-a+42=1.若圆M上存在点【答案】2-【详解】解：如图，圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A,B，使得∠APB=60°，则∠APO=30°，在RtΔPAO中，PO=又圆M的半径等于1，圆心坐标Ma,a-4∴POmin=∵MO∴由a2解得：2-2故答案为：2-27．（2022上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）若过点(2,1)的圆C与两坐标轴都相切，且与过点A(0,6)和点B(8,0)的直线相离，设P为圆C上的动点，则下列说法正确的是（

）A．圆心C的坐标为(1,1)或(5,5)B．△ABP面积的最大值为22C．当∠PAB最小时，|PA|=5D．不存在点P使∠APB=【答案】BCD【详解】由题意知圆心必在第一象限，设圆心的坐标为a,a，则圆的半径为a，圆的标准方程为x-a2+y-a2=a2当a=1时，圆心1,1到直线lAB：6x+8y-48=0的距离为d=当a=5时，圆心5,5到直线lAB：6x+8y-48=0的距离为d=又圆C与lAB：6x+8y-48=0相离，所以圆心的坐标为1,1因为点P到直线6x+8y-48=0的距离的最大值为d=6+8-48所以S△ABP当∠PAB最小时，PA与圆C相切，由对称性或勾股定理可得PA=假设存在点P使∠APB=34π，则△ABP的外接圆圆M设圆M方程为x-a20-a2+6-b2又因为P为圆C上的动点，当圆心M(1,-1)时，|CM|=2<52当圆心M7,7时，CM=62>1+52，所以圆M故选：BCD8．（2013上·陕西西安·高三阶段练习）过点3,1作圆x-12+y2=1的两条切线，切点分别为A，BA．2x+y-3=0 B．2x-y-3=0 C．4x-y-3=0 D．4x+y-3=0【答案】A【详解】圆(x-1)2+y以(3,1)、C(1,0)为直径的圆的方程为(x-2)2因为过点3,1圆x-12+y2=1所以，AB是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程2x+y-3=0，故选：A．9．（2021·广西玉林·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:y=kx+8上存在点P，过点P作圆O:x2+y2=4的切线，切点分别为Ax【答案】-∞【详解】取AB的中点Q,如图所示：根据圆的切线性质：OA⊥PA,OP⊥AB，所以可得Rt△OPA∽Rt△OAQ，所以OAOP由Qx所以OQ=由x所以OQ=1，则OP=4点O到直线l的距离为d=则d=8k所以k∈故答案为：-∞,-10．（2021·上海崇明·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，过点P(-3,a)作圆x2+y2-2x=0的两条切线，切点分别为M(x1, 【答案】4．【详解】由x2+y2-2x=0得x-1取MN中点Q，由题意得kMN因为(所以(y2因此kBQ=kPA，从而P,A,B三点关系，即故答案为：4.11．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知直线l：x-y+8=0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2=16的两条切线，切点分别为C，D两点，则直线CD恒过定点坐标为；记M是CD【答案】-2,24【详解】由题意设点Pt,t+8，Cx1因为PD，PC是圆的切线，所以OD⊥PD，OC⊥PC，所以C,D在以OP为直径的圆上，其圆的方程为:(x-t2)2+将两个圆的方程作差得直线CD的方程为：tx+t+8即tx+y+8y-2=0，所以直线又因为OM⊥CD，M，Q，C，D四点共线，所以OM⊥MQ，即M在以OQ为直径的圆(x+1)2其圆心为G-1,1，半径为r=所以AMmin所以AM的最小值为42故答案为：-2,2,412．（2021·安徽池州·统考一模）已知直线l:y=x+3与x轴的交点为A-3,0，P是直线l上任一点，过点P作圆E:x-12+y2=4的两条切线，设切点分别为C､D，MA．22 B．32 C．7【答案】B【详解】设点M坐标为x,y，P点坐标为x0,y0，因为P，M，E因为y0=xCD的直线方程为x0将①代入②得x-122+y-12以22为半径的圆，所以AM的最大值为故选：B类型五几何意义【典型例题】1．（2022·全国·高二专题练习）已知实数x，y满足方程x2（1）yx的最大值和最小值分别为和（2）y－x的最大值和最小值分别为和；（3）x2+y2的最大值和最小值分别为【答案】3-3-2+6/6-2-2-6/-6-27+4【详解】原方程可化为x-22+y（1）yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝当直线y＝kx与圆相切时（如图），斜率k取最大值或最小值，此时|2k-0|k2+1=3所以yx的最大值为3，最小值为－3（2）y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2-0+b|2=3，解得b所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.（3）x2又圆心到原点的距离为2，所以x2+y2的最大值是2+3故答案为：（1）3；-3（2）-2+6；-2-6（3）7+42．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）已知Mx1,y1，Nx2,y2是圆【答案】10,18【详解】由题知，圆C的圆心坐标C3,4，半径为2，因为MN=22设P为MN的中点，所以CP=2，所以点P的轨迹方程为点P的轨迹是以C3,4为圆心半径为2设点M，N，P到直线x+y=0的距离分别为d1，d2，所以d1=x1+所以x1因为点C到直线x+y=0的距离为3+42=7即522≤d≤所以x1+y故答案为：10,183．（2023·全国·模拟预测）已知实数x，y满足x-12+y-22=2【答案】5【详解】x-12+y+22=2注意到1-2≤x≤1+2，故2-则y+2x+1=y--2x--1表示圆令y+2x+1=k，则y+2=kx+1则直线kx-y+k-2=0与圆则d=k-2+k-2k解得1≤k≤7，即1≤y+2注意到x+1≠0,3+2×y+2故3x+2y+74x+2y+8所以3x+2y+74x+2y+8的最小值，转化为y+2∵y+2x+1的最小值为1，所以3x+2y+74x+2y+8的最小值为故答案为：564.已知实数x,y满足x2+y2=4,求式子35-2解析:35-2x+13-6y=3(x-1)2+y2+x2+(y-3)2,转化为Px,y5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知实数x1,x2,y1,y2，满足【答案】18-26/【详解】依题意，方程x12+y1令B(x1,y1),A(x

显然OB=(x1,y|AB|=|OA|2+|OB|2=13，取线段因此点P在以原点为圆心，132而x1即x1+y1-9+x过A,B分别作直线l的垂线，垂足分别为M,N，过P作PD垂直于直线l于点D，于是AM//PD//BN，|AM|+|BN|=2|PD|，x1+y1-9+x显然|PD|≥d-|OP|=92-132，当且仅当点O,P,D所以(x故答案为：18-类型六阿氏圆的两种表述【典型例题】1．（2023·江苏·高二专题练习）阿波罗尼斯证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这类圆称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，点A(-1,0),B(1,0)、，动点P到点A,B的距离之比为22，当P,A,B不共线时，△PABA．22 B．2 C．22【答案】A【详解】以AB所在的直线为x轴，以线段AB垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，由A(-1,0)，B(1,0)，设P(x,y)，则(x+1)2整理得(x+3)2+y2=8当点P到x轴距离最大时，△PAB的面积最大，所以△PAB面积的最大值是S=1故选：A.

2．（2023·湖南·校联考二模）已知A2,0，点P为直线x-y+5=0上的一点，点Q为圆x2+y2A．52+22 B．52【答案】D【详解】设Mx,0,Qx则1⇔x12+y12=1⇒x=如图，当P,Q,M三点共线时，且PM垂直于直线x-y+5=0时，PQ+MQ有最小值，为PM，即直线x-y+5=0到点M距离，为故选：D3．（2023上·湖南邵阳·高二湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）过点P1,3作斜率为k的直线l交圆E:x2+y2=8于A，B两点，动点Q满足PAPB=QAQB，若对每一个确定的实数A．1 B．2 C．3 D．2【答案】D【详解】由题可知，P1,3在圆令PAPB=QA显然P是AB的内比分点，设P'则PAPB=P'AP'

对每一个确定的实数k，PQ的最大值为d即Q,P'重合时根据圆的对称性，如图，讨论λ>1的情况，而CP当AB为直径时，λ此时P'A故PQ的最大值为d当AB不为直径时，1<λ<3+22，4<且λ,AB由P'AP显然λ接近于1时P'此时PQ的最大值dmax综上，dmax故选：D4.在平面直角坐标系Oxy中,过原点的直线l交直线x=9于点A,交半径为3的圆O于点B,若线段OB上存在一点C(a,b)(不含端点),使得对于圆O上任意一点P都满足PCPA=BCAB,则ab解析:由于PCPA=BCAB,可知PB为设直线AB与圆的另一个交点为D,由于∠BPD=90o,所以PD平分∠APC的外角,所以由外角平分线的性质,DCDA=PCPA,所以DC设C(a,ka)B(x,kx)D(-x,-kx)A(9,9k)故DCDA=a+x9+x=可得:x2=9ax=3a∴B(3a,3ka)点Bab=ka2=kk2+12=f(k)f'(k)