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文档简介

解方程组：→把第1个方程分别乘以（-2）、（-1）加到第2个、3个方程把第1行分别乘以（-2）、（-1）加到第2、3行→把未知量系数和常数按原顺序写成下表消元法解方程组增广矩阵把第3个方程分别乘以（-4）、1加到第2个、1个方程把第3行分别乘以（-4）、1加到第2、1行→把第2个方程与第3个方程互换位置把第2行与第3行互换位置→把第3个方程分别乘以（-1）、1加到第1、2个方程分别把把第3行乘以（-1）、1加到第1、2行→分别把第1个方程和第3个方程乘以和分别用和乘第1行和第3行→线性方程组的系数可以排成下面的一个表：而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表：（3）（4）

称为线性方程组（1）的系数矩阵.称为线性方程组（1）的增广矩阵.

一个线性方程组的增广矩阵显然完全代表这个方程组.

下面三种变换称为矩阵的初等行变换（1）对调两行（对调i,j两行，记作（2）以不为零的数k乘某一行的所有元素

(第i行乘数k,记作一、矩阵的初等变换和初等矩阵1、矩阵的初等变换（3）把某一行的所有元素的k倍加到另一行对

应的元素上去

（第i行的k倍加到第j行上去,记作定义

●矩阵的初等变换相应地有三种列初等变换（1）交换矩阵的两列，记作（2）用非0常数乘以矩阵的某一列的元素，记作（3）某一列的元素乘以数k后加到另一列上去，记作上述六种变换，统称为矩阵的初等变换(换法矩阵)1.将E的第i行与第j行交换得到的初等矩阵2、初等矩阵

单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，它们是：(倍法矩阵)2以数乘单位矩阵的第i

行得初等矩阵注倍法矩阵的特点是：；其它元素与单位矩阵相同.(消法矩阵)

3、把E的第j行的k倍加到第i行上，得到初等矩阵注消法矩阵的特点是：；

其它元素与单位矩阵相同.如n=4

用初等矩阵右乘给定矩阵，其结果就是对给定矩阵施行相应的初等列变换。

用初等矩阵左乘给定的矩阵，其结果就是对给定的矩阵施以相应的初等行变换。3、初等矩阵与初等变换之间的关系的右边乘以相应的l

阶初等矩阵.定理

设A

是一个n

l

矩阵,对A

施行一次初等行变换,相当于在A

的左边乘以相应的n阶初等矩阵;对A

施行一次初等列变换,相当于在A

例如如果矩阵A经过有限次初等变换变成容易验证等价关系满足：（1）反身性：对任意矩阵

A，（2）对称性：（3）传递性：二、矩阵的等价和矩阵的标准形1、等价矩阵定义

矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记作矩阵A的行阶梯形的矩阵称为矩阵A的标准形。（主对角线上1的个数可以是0）第r行即2、矩阵A的标准形形如例2

设问：矩阵A和B是否等价？解

先求A、B的标准形对B施行一系列初等变换得定理

对任意矩阵存在一系列m阶初等和n阶初等矩阵使得于是有:在定理中令:推论

对任意矩阵存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使得例化为等价标准形的变换矩阵。解可以看成是由3阶单位矩阵经4次初等变换,而得.而这4次初等变换所对应的初等方阵为:由初等方阵的性质得教学目的

理解初等矩阵的概念，理解矩阵的等价和标准形，掌握初等变换和初等矩阵的关系，熟练掌握矩阵等价的充要

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