福建省漳州市2021届高三数学毕业班适应性测试试题一

福建省漳州市2021届高三数学毕业班适应性测试试题（一）（考试时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。第Ⅰ卷（选择题60分）一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合，，下列结论成立的是A． B．C．D．2．若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边上一点绕原点顺时针旋转到达点的位置，则A． B． C．D．4．已知为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，点，则的最小值为A． B．C．D．5．原始的蚊香出现在宋代．根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下:在水平直线上取长度为1的线段，做一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最大值为A．B．C．D．6．已知中，，，点是的重心，则A．B．C．D．7．正实数，，满足，，，则实数，，之间的大小关系为A．B．C．D．8．正四面体的体积为，为其中心，正四面体与正四面体关于点对称，则这两个正四面体公共部分的体积为A． B． C．D．二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．）9．小王于2016年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2020年底，他没有再购买第二套房子.下图是2017年和2020年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：2017年各项支出2020年各项支出根据以上信息，判断下列结论中不正确的是A．小王一家2020年用于饮食的支出费用跟2017年相同B．小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的3倍C．小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍D．小王一家2020年用于房贷的支出费用比2017年减少了10．已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列说法正确的是A． B．C．若，则 D．若，则11．在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则A．B．C．D．12．已知函数，则下列结论正确的是（）A．是周期为的奇函数 B．在上为增函数C．在内有21个极值点 D．在上恒成立的充要条件是第Ⅱ卷（非选择题90分）三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．的展开式中，的系数为_______．14．定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为_______．15．三棱柱中，，，是等腰直角三角形，，，则异面直线与所成角的余弦值为_______．16．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以坐标原点为圆心，为半径的圆交的一条渐近线于两点，且线段被的另一条渐近线平分，则的离心率为_______；若的焦距为，为上一点，且，直线交于另一点，则_______．（本题第一空2分，第二空3分）四．解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）在中，，，分别是角，，的对边，并且.若，，求的面积；求的最大值.18．（本小题满分12分）已知等比数列的前项和为，满足，且，，依次构成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）请从①②③这三个条件选择一个，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.19．（本小题满分12分）如图，圆柱的轴截面是正方形，、分别是上、下底面的圆心，是弧的中点，、分别是与中点.（1）求证：//平面；（2）求锐二面角的余弦值.20．（本小题满分12分）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：（1）根据频率分布直方图，求样本平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为，求随机变量的分布列及期望值．21．（本小题满分12分）已知函数，（，）（1）当，讨论在上的零点个数；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.22．（本小题满分12分）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．在平面直角坐标系中，椭圆：（）的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形．过点且斜率不为的直线与椭圆交于不同的两点，．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为，，直线与直线交于点，试证明，，三点共线；（3）求面积的最大值.

学校:准考证号:姓名:（在此卷上答题无效）工作秘密★启用前漳州市2021届高三毕业班适应性测试（一）数学参考答案（考试时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。第Ⅰ卷（选择题60分）一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．C2．D3．D4．A5．B6．C7．A8．C【解析】1．集合，，不满足，则A错；，则B错；，则C正确；，则D错.故选C.2．则，复数在复平面上对应的点为，故复数在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.3．依题意可知在角的终边上，所以，故选D．4．点是抛物线内的一点，设点在抛物线准线上的射影为，根据抛物线的定义可知，要求的最小值，即求的最小值.当，，三点共线时，取到最小值.故选A.由题意得，恰好有6段圆弧或有段圆弧与直线相交时，才恰有个交点，每段圆弧的圆心角都为，且从第1段圆弧到第段圆弧的半径长构成等差数列：，，，当得到的“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最大值为．故选B.6．由题意，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，由于，，则，，故又点是的重心，则，，，故选C7．，即为函数与的图象交点的横坐标，即为函数与的图象交点的横坐标，即为函数与的图象交点的横坐标在同一坐标系中画出图象，可得.故选A.8．如图，点，，，，，分别是边，，，，，的中点，这两个正四面体公共部分为多面体．三棱锥是正四面体，其棱长为正四面体棱长的一半，则这两个正四面体公共部分的体积为.故选C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）9．ACD10．BCD11．ABD12．BD【解析】9．由于小王选择的是每月还款数额相同的还贷方式，故可知2020年用于房贷方面的支出费用跟2017年相同，D错；设一年房贷支出费用为，则可知2017年小王的家庭收入为，2020年小王的家庭收入为，，小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了50%，C错；2017、2020年用于饮食的支出费用分别为，A错；2017、2020年用于其他方面的支出费用分别是，B对．故选ACD．10．由已知，得.若，则，不满足，故A错；由，故B正确；当时，且，则，，所以，故C正确；当时，且，则，，所以，所以，则，故D正确.故选BCD.11．，A正确；已知所以即，D正确；若为锐角三角形，所以，若为直角三角形或钝角三角形时可类似证明，B正确；，所以，C错．故选ABD.12．因为的定义域为，，所以是奇函数，但是，所以不是周期为的函数，故A错误；当时，，，单调递增，当时，，，单调递增，且在连续，故在单调递增，故B正确；当时，，，令得，，当时，，令得，,因此，在内有20个极值点，故C错误；当时，，设，所以，令，，，单调递增，，所以，在单调递增.当趋近于时，趋近于，所以，故D正确.故选BD.三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13． 14．15． 16．，【解析】13．展开式的通项为令，则，所以的展开式中，的系数为故答案为.14．由已知，当时，，不等式等价于又定义在R上的偶函数，所以，所以或，解得或则不等式的解集为故答案为.15．因为，，所以，又因为是等腰直角三角形，，，所以，因为，又，所以，所以．又，所以根据题意可知异面直线与所成角为，根据余弦定理得，故答案为.16．如图所示建立平面直角坐标系，设的中点为，则由双曲线的对称性知，，所以，所以，可得，，；的焦距为，所以，.设，则，又由，得，所以，在中，由余弦定理得，，即，解得，即．故答案为，.四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．解：（1）因为，，所以，因为，所以， 2分又因为，所以． 3分所以的面积． 5分（2）由（1）可得，所以 8分因为，所以， 9分所以当时，有最大值1． 10分18．解：（1）设等比数列的公比为，根据已知条件，，，依次构成等差数列，所以，则， 2分因为，所以，解得 4分由，即，所以，解得 5分所以 6分（2）选① 7分 9分 12分选② 7分（*） 9分可得 11分所以 12分选③ 9分 12分19．解：（1）取的中点为，连接，则////，且 2分所以四边形为平行四边形，所以//，又面，面所以//面. 4分（2）面，则，，是圆柱底面的直径，是弧的中点，所以，为中点，则以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图． 5分设，则，，， 6分，设平面的一个法向量为，则，，取，则，，则 8分，设平面的一个法向量为，则，，解得，取，则，则 10分所以. 11分所以锐二面角的余弦值为. 12分20．解：（1） 2分 3分（2）由题意样本方差，故，所以， 4分由题意，该厂生产的产品为正品的概率.所以//面. 6分（3）所有可能取值为，，，. 7分 9分随机变量的分布列为0123 11分 12分21．解：（1），，，令，得当，，在单调递减当，，在单调递增所以是的极小值点同时也是最小值点，即 2分当，即时，在上没有零点；当，即时，在上只有1个零点； 3分因为，所以只有一个零点，又因为，取，，得当，，在单调递增当，，在单调递减，所以对，，所以，即所以，所以内只有一个零点，所以在上有两个零点. 5分综上所述，当时，在上有两个零点；当时，函数在上没有零点；当时，函数在上有一个零点. 6分方法一：恒成立，即 7分所以构造，所以，在上单调递增只需，即恒成立 8分令， 9分当时，，所以在单调递减；当时，，所以在单调递增，所以，即 11分又，所以. 12分方法二：，有，则当时， 7分令，所以在单调递减， 8分注意到，所以.（必要性） 9分下面证明（）令，当，，所以在上单调递增当，，所以在上单调递减所以，