2024届山东泰安知行学校高三上数学期末综合测试试题含解析

2024届山东泰安知行学校高三上数学期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等差数列中，，，若（），则数列的最大值是（）A． B．C．1 D．32．复数的共轭复数为（）A． B． C． D．3．若执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A． B． C． D．44．已知函数，，的零点分别为，，，则（）A． B．C． D．5．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第三象限C．的共轭复数 D．6．执行如下的程序框图，则输出的是（）A． B．C． D．7．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数的值判断拟合效果，越小，模型的拟合效果越好；③若数据的方差为1，则的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据，其线性回归方程，则“满足线性回归方程”是“，”的充要条件；其中真命题的个数为()A．4 B．3 C．2 D．18．已知复数满足，(为虚数单位)，则()A． B． C． D．39．对于函数，定义满足的实数为的不动点，设，其中且，若有且仅有一个不动点，则的取值范围是（）A．或 B．C．或 D．10．已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（）A．1 B． C．2 D．411．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（）A． B． C． D．12．已知命题,；命题若，则，下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设平面向量与的夹角为，且，，则的取值范围为______.14．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，其中，，则的值为_______________．15．从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为__________.16．在三棱锥P-ABC中，，，，三个侧面与底面所成的角均为，三棱锥的内切球的表面积为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）当时，判断函数，（）有几个零点，并证明你的结论；（3）设函数，若函数在为增函数，求实数的取值范围．18．（12分）如图，已知在三棱锥中，平面，分别为的中点，且.（1）求证：；（2）设平面与交于点，求证：为的中点.19．（12分）已知函数（1）求函数在处的切线方程（2）设函数，对于任意，恒成立，求的取值范围.20．（12分）已知点，直线与抛物线交于不同两点、，直线、与抛物线的另一交点分别为两点、，连接，点关于直线的对称点为点，连接、．（1）证明：；（2）若的面积，求的取值范围．21．（12分）年，山东省高考将全面实行“选”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）.为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取人做调查.统计显示，男生喜欢物理的有人，不喜欢物理的有人；女生喜欢物理的有人，不喜欢物理的有人.（1）据此资料判断是否有的把握认为“喜欢物理与性别有关”；（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会.现从名男同学和名女同学（其中男女喜欢物理）中，选取名男同学和名女同学参加座谈会，记参加座谈会的人中喜欢物理的人数为，求的分布列及期望.，其中.22．（10分）如图，在四棱柱中，底面为菱形，.（1）证明：平面平面；（2）若，是等边三角形，求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

在等差数列中,利用已知可求得通项公式,进而,借助函数的的单调性可知,当时,取最大即可求得结果.【详解】因为，所以，即，又，所以公差，所以，即，因为函数，在时，单调递减，且；在时，单调递减，且.所以数列的最大值是，且，所以数列的最大值是3.故选:D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易.2、D【解析】

直接相乘，得，由共轭复数的性质即可得结果【详解】∵∴其共轭复数为.故选：D【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.3、D【解析】

模拟程序运行，观察变量值的变化，得出的变化以4为周期出现，由此可得结论．【详解】；如此循环下去，当时，，此时不满足，循环结束，输出的值是4.故选：D．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论．4、C【解析】

转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解.【详解】函数，，的零点，即为与，，的交点，作出与，，的图象，如图所示，可知故选：C【点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.5、D【解析】

利用的周期性先将复数化简为即可得到答案.【详解】因为，，，所以的周期为4，故，故的虚部为2，A错误；在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；的共轭复数为，C错误；，D正确.故选：D.【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.6、A【解析】

列出每一步算法循环，可得出输出结果的值.【详解】满足，执行第一次循环，，；成立，执行第二次循环，，；成立，执行第三次循环，，；成立，执行第四次循环，，；成立，执行第五次循环，，；成立，执行第六次循环，，；成立，执行第七次循环，，；成立，执行第八次循环，，；不成立，跳出循环体，输出的值为，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.7、C【解析】

①根据线性相关性与r的关系进行判断,

②根据相关指数的值的性质进行判断,

③根据方差关系进行判断,

④根据点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断.【详解】①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;

②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误;

③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;

④因为点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，即，不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当，时，点必满足线性回归方程；因此“满足线性回归方程”是“，”必要不充分条件.故④错误;

所以正确的命题有①③.

故选：C.【点睛】本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题.8、A【解析】，故，故选A.9、C【解析】

根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得；构造函数，并讨论的单调性与最值，画出函数图象，即可确定的取值范围.【详解】由得，.令，则，令，解得，所以当时，，则在内单调递增；当时，，则在内单调递减；所以在处取得极大值，即最大值为，则的图象如下图所示：由有且仅有一个不动点，可得得或，解得或.故选：C【点睛】本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.10、C【解析】

设直线l的方程为x＝y，与抛物线联立利用韦达定理可得p．【详解】由已知得F（，0），设直线l的方程为x＝y，并与y2＝2px联立得y2﹣py﹣p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），∴y1+y2＝p，又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0（y1+y2）＝，所以p=2,故选C．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．11、D【解析】

根据等差数列公式直接计算得到答案.【详解】依题意，，故，故，故，故选：D．【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.12、B【解析】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据已知条件计算出，结合得出，利用基本不等式可得出的取值范围，利用平面向量的数量积公式可求得的取值范围，进而可得出的取值范围.【详解】，，，由得，，由基本不等式可得，，，，，因此，的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.14、【解析】

根据题意，判断出，根据等比数列的性质可得，再令数列中的，，，根据等差数列的性质，列出等式，求出和的值即可.【详解】解：由，其中，，可得，则，令，，可得.①又令数列中的，，，根据等差数列的性质，可得，所以.②根据①②得出，.所以.故答案为.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.15、【解析】

甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,根据公式即可求得概率.【详解】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,.故答案为:.【点睛】本题考查古典概型的概率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易.16、【解析】

先确定顶点在底面的射影，再求出三棱锥的高以及各侧面三角形的高，利用各个面的面积和乘以内切球半径等于三棱锥的体积的三倍即可解决.【详解】设顶点在底面上的射影为H，H是三角形ABC的内心，内切圆半径.三个侧面与底面所成的角均为，，，的高，，设内切球的半径为R，∴，内切球表面积.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥内切球的表面积问题，考查学生空间想象能力，本题解题关键是找到内切球的半径，是一道中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调增区间,单调减区间为,;（2）有2个零点，证明见解析;（3）【解析】

对函数求导,利用导数的正负判断函数的单调区间即可;函数有2个零点.根据函数的零点存在性定理即可证明;记函数,求导后利用单调性求得,由零点存在性定理及单调性知存在唯一的,使，求得为分段函数,求导后分情况讨论：①当时，利用函数的单调性将问题转化为的问题;②当时，当时,在上恒成立，从而求得的取值范围.【详解】（1）由题意知,，列表如下：020极小值极大值所以函数的单调增区间为，单调减区间为,.（2）函数有2个零点.证明如下：因为时，所以，因为,所以在恒成立,在上单调递增，由，，且在上单调递增且连续知,函数在上仅有一个零点，由（1）可得时,，即，故时，，所以，由得，平方得，所以，因为，所以在上恒成立,所以函数在上单调递减,因为,所以,由，，且在上单调递减且连续得在上仅有一个零点，综上可知：函数有2个零点.（3）记函数，下面考察的符号．求导得．当时恒成立．当时，因为，所以．∴在上恒成立，故在上单调递减．∵，∴，又因为在上连续，所以由函数的零点存在性定理得存在唯一的，使，∴,因为,所以∴因为函数在上单调递增,,所以在，上恒成立．①当时，在上恒成立，即在上恒成立．记，则，当变化时，，变化情况如下表：极小值∴，故，即．②当时，，当时，在上恒成立．综合（1）（2）知，实数的取值范围是．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间、极值、最值和利用零点存在性定理判断函数零点个数、利用分离参数法求参数的取值范围;考查转化与化归能力、逻辑推理能力、运算求解能力;通过构造函数,利用零点存在性定理判断其零点,从而求出函数的表达式是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】

（1）要做证明，只需证明平面即可；（2）易得∥平面，平面，利用线面平行的性质定理即可得到∥，从而获得证明【详解】证明：（1）因为平面，平面，所以.因为，所以.又因为，平面，平面，所以平面.又因为平面，所以.（2）因为平面与交于点，所以平面.因为分别为的中点，所以∥.又因为平面，平面，所以∥平面.又因为平面，平面平面，所以∥，又因为是的中点，所以为的中点.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.19、（1）；（2）【解析】

（1）求出，即可求出切线的点斜式方程，整理即可；（2）的取值范围满足，，求出，当时求出，的解，得到单调区间，极小值最小值即可.【详解】（1）由于，此时切点坐标为所以切线方程为.（2）由已知，故.由于，故，设由于在单调递增同时时，，时，，故存在使得且当时，当时，所以当时，当时，所以当时，取得极小值，也是最小值，故由于，所以，.【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题，应用导数求最值是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20、（1）见解析；（2）．【解析】

（1）设点、，求出直线、的方程，与抛物线的方程联立，求出点、的坐标，利用直线、的斜率相等证明出；（2）设点到直线、的距离分别为、，求出，利用相似得出，可得出的边上的高，并利用弦长公式计算出，即可得出关于的表达式，结合不等式可解出实数的取值范围.【详解】（1）设点、，则，直线的方程为：，由，消去并整理得，由韦达定理可知，，，代入直线的方程，得，解得，同理，可得，，，,代入得，因此，；（2）设点到直线、的距离分别为、，则，由（1）知，，，，，，同理，得，，由，整理得，由韦达定理得，，，得，设点到直线的高为，则，，，，解得，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查直线与直线平行的证明，考查实数的取值范围的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理、弦长公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是难题．21、（1）有的把握认为喜欢物理与性别有关；（2）分布列见解析，.【解析】

（1）根据题目所给信息，列出列联表，计算的观