山西省太原市2023-2024学年高二上学期期中学业诊断数学试卷（含答案）

山西省太原市2023-2024学年高二上学期期中学业诊断数学试卷说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分．一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．椭圆的焦点坐标为（

）A． B． C． D．3．圆的圆心坐标为（

）A． B． C． D．4．已知，且，则实数（

）A． B．5 C． D．15．直线与直线之间的距离是（

）A． B．1 C． D．26．已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定7．如图，正方体的棱长为2，是的中点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（

）A． B．圆与圆相交C．直线的方程为 D．直线l的方程为10．已知点分别是椭圆的两个焦点，点在上，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为 B．椭圆的离心率C．面积的最大值为 D．的最大值为11．已知直线，则下列说法正确的是（

）A．直线与相交于点B．直线和轴围成的三角形的面积为C．直线关于原点O对称的直线方程为D．直线关于直线对称的直线方程为12．已知点在圆上，点在上，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为B．的最大值为C．过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为D．过P作直线，使得直线与直线的夹角为，设直线与直线的交点为，则的最大值为三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．直线在轴上的截距为．14．已知，则向量与的夹角为．15．已知点是直线上的动点，点在线段上（是坐标原点），且满足，则动点的轨迹方程为．16．已知椭圆的左，右顶点分别为，动点P在C上（异于点），点Q是弦的中点，则的最大值为．四、解答题（本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知的三个顶点，分别是的中点．(1)求直线的一般式方程；(2)求边的垂直平分线的斜截式方程．18．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．(1)用向量表示向量；(2)利用向量法证明：．19．已知圆的圆心在x轴上，且经过和两点．(1)求圆的一般方程；(2)求圆与圆的公共弦的长．20．已知椭圆的离心率是，且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线l与椭圆C相交于两个不同的点，直线分别与轴相交于点，证明：线段的中点为定点．21．如图，在几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别是，的中点，，平面ABC，．(1)若，求证：平面；(2)若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求直线DE与平面所成角的正弦值．1．C【分析】根据直线的斜率求得倾斜角.【详解】直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.故选：C2．A【分析】根据椭圆的标准方程求得，从而确定正确答案.【详解】椭圆的焦点在轴上，，所以焦点坐标为.故选：A3．D【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，从而求得圆心坐标.【详解】圆可化为，所以圆心坐标为.故选：D4．A【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.【详解】由于，所以.故选：A5．C【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.【详解】依题意，直线与直线之间的距离是：.故选：C6．A【分析】求出直线所过定点，再根据点与圆的位置关系判断即可.【详解】已知直线，变形为，由，即直线恒过定点，代入圆的方程的左端有，即点在圆内，所以直线与圆相交，故选：A7．D【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，，所以点到直线的距离为.故选：D8．B【分析】根据椭圆的定义转化，结合三点共线来求得的取值范围.【详解】依题意，，，，，，所以，当位于线段与椭圆交点处时等号成立.根据椭圆的定义可知，如图所示，设的延长线与椭圆相交于，则当位于时，取得最大值为，综上所述，的取值范围为.故选：B在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭圆的定义进行转化，然后结合三点共线来确定最值.在解题过程中，要画出对应的图象，结合图象来进行求解.9．BD【分析】根据对称性求得，然后根据两个圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】圆的圆心为，半径，圆即，根据对称性可知，解得，所以A选项错误.此时，圆心为，半径.，由于，所以两圆相交，B选项正确.直线的方程，所以C选项错误.线段中点坐标为，直线斜率为，所以直线l的方程为，所以D选项正确.故选：BD10．AD【分析】根据椭圆的定义和标准方程、离心率、三角形面积、余弦定理、三角恒等变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】椭圆，，，设，，则，则，函数在上单调递增，所以当时，取得最小值，所以A选项正确.椭圆的离心率，所以B选项错误.由于为定值，所以当位于椭圆的左右顶点时，三角形的面积取得最大值为，所以C选项错误.设，，当且仅当时等号成立，即的最小值为，当取得最小值时，取得最大值，此时为锐角，，所以此时也取得最大值，且的最大值为，所以D选项正确.故选：AD11．AC【分析】通过联立方程组求得交点坐标，结合三角形的面积、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由解得，所以交点坐标为，A选项正确.直线与轴的交点为，与轴的交点为，直线过原点，由图可知，直线和轴围成的三角形的面积为，所以B选项错误.由上述分析可知，直线关于原点O对称的直线过点，所以直线关于原点O对称的直线方程为，所以C选项正确.点关于直线的对称点是；点关于直线的对称点是，所以直线关于直线对称的直线方程为，即，所以D选项错误.故选：AC12．ACD【分析】根据直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆与圆的位置关系、弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，直线和圆相离，所以的最小值为，A选项正确.由于是直线上任意一点，所以没有最大值，B选项错误.对于D选项，由于直线与直线的夹角为，所以等于到直线的距离的倍，所以的最大值为，D选项正确.对于C选项，设，的中点为，，所以以为圆心，为半径的圆的方程为，整理得，由、两式相减并化简得，即直线的方程为，到直线的距离为，所以，对于函数，所以恒成立，当时，取得最小值为，所以，所以，所以，所以C选项正确.故选：ACD方法点睛：求解直线和圆的位置关系有关题目，主要的方法是数形结合的数学思想方法，根据图象以及圆的几何性质来对问题进行研究.求解圆与圆相交所得弦长，可利用两个圆的方程相减来求得相交弦所在直线方程.13．【分析】根据截距的知识求得正确答案.【详解】由，令，解得，所以直线在轴上的截距为.故14．【分析】根据向量的夹角公式求得正确答案.【详解】，则为锐角，所以.故15．（）【分析】设出两点的坐标，由以及三点共线求得正确答案.【详解】设，设，依题意可知，由于三点共线，所以，则，由于，所以，整理得（）.故（）

16．##【分析】设出点坐标，求得坐标，进而求得的表达式，并利用三角恒等变换、基本不等式等知识求得的最大值.【详解】依题意，设，根据椭圆的对称性，以及题目所求“的最大值”，不妨设，，则，即，所以由于，所以由基本不等式可得，当且仅当时等号成立.故

在椭圆中，求解最值有关问题，如线段长度、面积、角度等量的最值，可考虑先求得其表达式，然后根据表达式的结构选取合适的求最值的方法来进行求解，如本题中，利用三角换元，然后结合基本不等式来求.还可以考虑二次函数的性质、函数的单调性等知识来进行求解.17．(1)(2)【分析】（1）求得的坐标，进而求得直线的方程并转化为一般式方程.（2）求得垂直平分线的斜率，进而求得其斜截式方程.【详解】（1）由于分别是的中点，所以，所以，直线的方程为，即.（2），所以边的垂直平分线的斜率为，所以边的垂直平分线的斜截式方程为.18．(1)(2)证明详见解析【分析】（1）根据空间向量的线性运算求得正确答案.（2）通过证明来证得结论成立.【详解】（1）连接，则（2），所以，所以.19．(1)(2)【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程.（2）先求得公共弦所在直线方程，再结合点到直线的距离公式以及勾股定理求得公共弦长.【详解】（1）设，由得，解得，则，，所以圆的标准方程为，半径为，所以圆的一般方程为.（2）圆即，圆心为，半径为，两点的距离为，而，所以两圆相交，由、，两式相减并化简得，到直线的距离为，所以公共弦长为.20．(1)(2)证明详见解析【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据直线求得两点的横坐标，进而计算出线段的中点为定点．【详解】（1）依题意，解得，所以椭圆的方程为.（2）依题意，过点的直线与椭圆C相交于两个不同的点，画出图象如下图所示，由图可知直线的斜率存在，且，设直线的方程为，由消去并化简得，，设，则，而，所以直线的方程为，令，解得，同理可求得，则，所以线段的中点为定点.要求椭圆的标准方程，主要是根据已知条件求得标准方程中的，和是两个未知数，要求解两个未知数，则需要两个条件才能求解，如本题中的椭圆的离心率以及点的坐标，再结合即可求得，从而求得椭圆的标准方程.21．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取AC的中点O，连接OD，易证OD⊥平面ABC，然后以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，论证，即可；（2）设，则，易知是平面ABC的一个法向量，再求得平面的一个法向量，由求得a，再利用线面角公式求解.【详解】（1