2023黄冈中学自主招生考试数学试卷

2024黄冈中学自主招生考试数学试卷2024年湖北省黄冈中学自主招生数学试卷

一、填空题（每小题5分，共40分）

1．（5分）方程组的解是．

2．（5分）若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围为．

3．（5分）设﹣1≤x≤2，则|x﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为．

4．（5分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P1，P2，P3、...、P2024在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、(x2024)

纵坐标分别是1，3，5…共2024个连续奇数，过P1，P2，P3、…、P2024分别作y

轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2024′，y2024′），则|P2024Q2024|=．

5．（5分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点动身绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是．

6．（5分）有一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是．

7．（5分）已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则这五个数据的标准差是．

8．（5分）若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为．

二、选择题（每小题5分，共40分）

9．（5分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）

A．3：2：1B．5：3：1C．25：12：5D．51：24：10

10．（5分）若始终角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）

A．B．C．D．

11．（5分）抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）

A．≤a≤1B．≤a≤2C．≤a≤1D．≤a≤2

12．（5分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）

A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元

13．（5分）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）

A．B．C．D．

14．（5分）如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则

无阴影两部分的面积之差是（）

A．B．1﹣C．﹣1D．1﹣

15．（5分）已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B．C．D．

16．（5分）某工厂其次季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比其次季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）

A．2x%B．1+2x%C．（1+x%）x%D．（2+x%）x%

三、解答题（共40分）

17．（7分）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，

（1）若x12+x22=6，求m值；

（2）求的最大值．

18．（7分）如图，开口向下的抛物线y=ax2﹣8ax+12a与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在第一象限，且使△OCA∽△OBC，

（1）求OC的长及的值；

（2）设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式．

19．（7分）某家电生产企业依据市场调查分析，打算调整产品生产方案，预备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？（以千元为单位）

20．（9分）一个家庭有3个孩子，

（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；

（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率．

21．（10分）如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P．（1）求证：PA?PE=PC?PF；

（2）求证：；

（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE：EP=3：4：5时，求△PEC与△FAP的面积的比值．

2024年湖北省黄冈中学自主招生数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（每小题5分，共40分）

1．（5分）方程组的解是和．

依据式子特点，设x+1=a，y﹣1=b，然后利用换元法将原方程组转化为关于a、b的方程组，再换元为关于x、y的方程组解答．

解：设x+1=a，y﹣1=b，则原方程可变为，

由②式又可变化为=26，

把①式代入得=13，这又可以变形为（+）2﹣3=13，再代入又得﹣3=9，

解得ab=﹣27，

又由于a+b=26，

所以解这个方程组得或，

于是（1），解得；

（2），解得．

故答案为和．

本题主要考查解无理方程的学问点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，需要同学们认真把握．

2．（5分）若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围为a=0，b＜0．

分a=0，a≠0两种状况分析．

解：∵假如a≠0，不论a大于还是小于0，对任意实数x不等式ax＞b都成立是不行能的，

∴a=0，则左边式子ax=0，

∴b＜0肯定成立，

∴a，b的取值范围为a=0，b＜0．

本题是利用了反证法的思想．

3．（5分）设﹣1≤x≤2，则|x﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为1．先依据﹣1≤x≤2，确定x﹣2与x+2的符号，在对x的符号进行争论即可．

解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+2＞0，

∴当2≥x≥0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x﹣x+x+2=4﹣x；

当﹣1≤x＜0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x+x+x+2=4+x，

当x=0时，取得最大值为4，x=2时取得最小值，最小值为3，

则最大值与最小值之差为1．

故答案为：1

本题重点考查有理数的肯定值和求代数式值．解此类题的关键是：先利用条件推断出肯定值符号里代数式的正负性，再依据肯定值的性质把肯定值符号去掉，把式子化简，即可求解．

4．（5分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P1，P2，P3、...、P2024在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、(x2024)

纵坐标分别是1，3，5…共2024个连续奇数，过P1，P2，P3、…、P2024分别作y

轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2024′，

y2024′），则|P2024Q2024|=．

要求出|P2024Q2024|的值，就要先求|Qy2024﹣Py2024|的值，由于纵坐标分别是1，3，5…，共2024个连续奇数，其中第2024个奇数是2×2024﹣1=4013，所以P2024的坐标是（Px2024，4013），那么可依据P点都在反比例函数y=上，可求出此时Px2024的值，那么就能得出P2024的坐标，然后将P2024的横坐标代入

y=中即可求出Qy2024的值．那么|P2024Q2024|=|Qy2024﹣Py2024|，由此可得出结果．解：由题意可知：P2024的坐标是（Px2024，4013），

又∵P2024在y=上，

∴Px2024=．

而Qx2024（即Px2024）在y=上，所以Qy2024===，

∴|P2024Q2024|=|Py2024﹣Qy2024|=|4013﹣|=．

故答案为：．

本题的关键是找出P点纵坐标的规律，以这个规律为基础求出P2024的横坐标，进而求出Q2024的值，从而可得出所求的结果．

5．（5分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点动身绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是3．

圆锥的侧面绽开图是扇形，从A点动身绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即绽开得到的扇形的弧所对弦，转化为求弦的长的问题．

解：∵图中扇形的弧长是2π，依据弧长公式得到2π=

∴n=120°即扇形的圆心角是120°

∴弧所对的弦长是2×3sin60°=3

正确理解圆锥的侧面绽开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

6．（5分）有一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A、C两点重合，

那么折痕长是．

首先由勾股定理求出AC的长，设AC的中点为E，折线与AB交于F．然后求证△AEF∽△ABC求出EF的长．

解：如图，由勾股定理易得AC=15，设AC的中点为E，折线FG与AB交于F，（折线垂直平分对角线AC），AE=7.5．

∵∠AEF=∠B=90°，∠EAF是公共角，

∴△AEF∽△ABC，

∴==．

∴EF=．

∴折线长=2EF=．

故答案为．

本题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相像，全等等学问点．7．（5分）已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2﹣3x+2=0的两

个根，则这五个数据的标准差是．

先解方程得到a，b的值，计算出平均数和方差后，再计算方差的算术平方根，即为标准差．

解：由方程x2﹣3x+2=0

解方程的两个根是1，2，即a=1，b=2

故这组数据是3，1，4，2，5

其平均数（3+1+4+2+5）=3

方差S2==2

故五个数据的标准差是S==

故本题答案为：．

计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：

（1）计算数据的平均数；

（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；

（3）计算偏差的平方和；

（4）偏差的平方和除以数据个数．

标准差即方差的算术平方根；

留意标准差和方差一样都是非负数．

8．（5分）若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为（4，33）．

把含p的项合并，只有当p的系数为0时，不管p取何值抛物线都通过定点，可求x、y的对应值，确定定点坐标．

解：y=2x2﹣px+4p+1可化为y=2x2﹣p（x﹣4）+1，

分析可得：当x=4时，y=33；且与p的取值无关；

故不管p取何值时都通过定点（4，33）．

本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先依据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再依据详细状况推断．

二、选择题（每小题5分，共40分）

9．（5分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）

A．3：2：1B．5：3：1C．25：12：5D．51：24：10

连接EM，依据已知可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，依据相像比从而不难得到答案．

解：连接EM，

CE：CD=CM：CA=1：3

∴EM平行于AD

∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA

∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3

∴AH=（3﹣）ME，

∴AH：ME=12：5

∴HG：GM=AH：EM=12：5

设GM=5k，GH=12k，

∵BH：HM=3：2=BH：17k

∴BH=K，

∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10

故选D．

此题主要考查相像三角形的性质的理解及运用．

10．（5分）若始终角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）

A．B．C．D．

连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，

b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；由于内切圆的面积是πr2，则它们的比是．

解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：

S=，

又∵r=，

∴a+b=2r+c，

将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．

又∵内切圆的面积是πr2，

∴它们的比是．

故选B．

此题要熟识直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．

11．（5分）抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）

A．≤a≤1B．≤a≤2C．≤a≤1D．≤a≤2

此题主要考数形结合，画出图形找出范围，问题就好解决了．

解：由右图知：A（1，2），B（2，1），

再依据抛物线的性质，|a|越大开口越小，

把A点代入y=ax2得a=2，

把B点代入y=ax2得a=，

则a的范围介于这两点之间，故≤a≤2．

故选D．

此题考查同学的观看力量，把函数性质与正方形连接起来，要学会数形结合．

12．（5分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）

A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元

设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，建立三元一次方程组，两个方程相减，即可求得x+y+z的值．

解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，依据题意得，

②﹣①得x+y+z=1.05（元）．

故选：B．

解答此题的关键是依据题意列出方程组，同时还要有整体思想．

13．（5分）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）

A．B．C．D．

方法1、依据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最终确定a的取值范围．

方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y=ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x=1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．

解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，

则a≠0且△＞0，

由（a+2）2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0，

解得﹣＜a＜，

∵x1+x2=﹣，x1x2=9，

又∵x1＜1＜x2，

∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，

那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，

∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，

即9++1＜0，

解得＜a＜0，

最终a的取值范围为：＜a＜0．

故选D．

方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+（a+2）x+9a，

由于方程的两根一个大于1，一个小于1，

∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，

当a＞0时，x=1时，y＜0，

∴a+（a+2）+9a＜0，

∴a＜﹣（不符合题意，舍去），

当a＜0时，x=1时，y＞0，

∴a+（a+2）+9a＞0，

∴a＞﹣，

∴﹣＜a＜0，

故选D．

总结：1、一元二次方程根的状况与判别式△的关系：

（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0?方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0?方程没有实数根．

2、根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1x2=．

14．（5分）如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）

A．B．1﹣C．﹣1D．1﹣

图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即﹣1=．

解：如图：

正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①

两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②

②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．

故选：A．

本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规章图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．

15．（5分）已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B．C．D．

依据勾股定理可知x的平方取值范围在2与3的平方和与平方差之间．解：首先要能组成三角形，易得1＜x＜5

下面求该三角形为直角三角形的边长状况（此为临界状况），明显长度为2的边对应的角必为锐角（2＜3，短边对小角）则只要考虑3或者x为斜边的状况．

3为斜边时，由勾股定理，22+x2=32，得x=√5作出图形，固定2边，旋转3边易知当1＜x＜√5时，该三角形是以3为最大边的钝角三角形；

x为斜边时，由勾股定理，22+32=x2，得x=√13，同样作图可得当√13＜x＜5时，该三角形是以x为最大边的钝角三角形．

综上可知，当√5＜x＜√13时，原三角形为锐角三角形．

故选B．

本题考查了锐角三角形的三边关系定理，勾股定理，有肯定的难度．

16．（5分）某工厂其次季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比其次季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）

A．2x%B．1+2x%C．（1+x%）x%D．（2+x%）x%

设第一季度产值为1，其次季度比第一季度增长了x%，则其次季度的产值为1×（1+x%），那么第三季度的产值是由其次季度产值增长了x%来确定，则其产值为1×（1+x%）×（1+x%），化简即可．

解：第三季度的产值比第一季度的增长了（1+x%）×（1+x%）﹣1=（2+x%）x%．

故选D．

本题考查一元二次方程的应用，关键在于理清第一季度和其次季度的产值增长关系．

三、解答题（共40分）

17．（7分）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，

（1）若x12+x22=6，求m值；

（2）求的最大值．

（1）首先依据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．

（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．

解：∵方程有两个不相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，

∴m＜1，

结合题意知：﹣1≤m＜1．

（1）∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2m2﹣10m+10=6∴，

∵﹣1≤m＜1，

∴；

（2）=

=（﹣1≤m＜1）．

∴当m=﹣1时，式子取最大值为10．

本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac来求出m的取值范围；利用根与系数的关系x1+x2=，x1x2=来化简代数式的值．

18．（7分）如图，开口向下的抛物线y=ax2﹣8ax+12a与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在第一象限，且使△OCA∽△OBC，

（1）求OC的长及的值；

（2）设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式．

（1）依据抛物线的解析式即可求出A、B的坐标，也就得出了OA、OB的长，依据题中给出的相像三角形得出的比例线段可求出OC的长．已知了OA、OB的长即可得出三角形OBC和三角形OCA的面积比，而依据面积比等于相像比的平方即可得出BC与AC的比例关系．

（2）当C是BP中点是，OC就是直角三角形OBP的斜边的中线，因此OC=BC，三角形OCB是等腰三角形，可过C作x轴的垂线通过构建直角三角形求出C点坐标，进而可得出直线BP的解析式，将C点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．

解：

（1）由题设知a＜0，

且方程ax2﹣8ax+12a=0有两二根，

两边同时除以a得，x2﹣8x+12=0

原式可化为（x﹣2）（x﹣6）=0

x1=2，x2=6

于是OA=2，OB=6

∵△OCA∽△OBC

∴OC2=OA?OB=12即OC=2

而===，故

（2）由于C是BP的中点

∴OC=BC从而C点的横坐标为3

又∴

设直线BP的解析式为y=kx+b，

因其过点B（6，0），，

则有

∴

∴

又点在抛物线上

∴

∴

∴抛物线解析式为：．

本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、相像三角形的性质等学问点．

19．（7分）某家电生产企业依据市场调查分析，打算调整产品生产方案，预备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？（以千元为单位）

设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，建立三元一次方程组，则总产值A=4x+3y+2z，由于每周冰箱至少生产60台，即z≥60，所以x+y≤300，又由于生产空调器、彩电、冰箱共360台，故有x≥30台，即可求得，详细的x，y，z的值．

解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，则有

，

①﹣②×4得3x+y=360，

总产值A=4x+3y+2z=2（x+y+z）+（2x+y）=720+（3x+y）﹣x=1080﹣x，

∵z≥60，

∴x+y≤300，

而3x+y=360，

∴x+360﹣3x≤300，

∴x≥30，

∴A≤1050，

即x=30，y=270，z=60．

最高产值：30×4+270×3+60×2=1050（千元）

本题的实质是考查三元一次方程组的解法．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把简单问题转化为简洁问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．

20．（9分）一个家庭有3个孩子，

（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；

（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率．

画树状图展现全部8种等可能的结果数，再找出有2个男孩和1个女孩的结果数和至少有一个男孩的结果数，然后依据概率公式求解．

解：画树状图为：

共有8种等可能的结果数；