2023年河北省衡水市桃城区中考数学三模试卷

2023年河北省衡水市桃城区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共16个小题.1〜10小题每题3分，11-16小题每题2分，共42分）

1.（3分）下列各数中，比-1小的数是（

A.-3B.|-2|C.0D.1

2.（3分）一副三角尺按如图所示位置放置，OP为公共边，量角器中心与点O重合，OA

为0°刻度线.如果三角尺一边。8与90°刻度线重合，那么边OC与下列刻度线重合的

C.45°刻度线D.75°刻度线

3.（3分）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄,十抄为撮，十撮为勺,十勺为合说明“抄、

撮、勺、合”均为十进制.则十合等于（)

A.d圭B.©圭C.IO,圭D.1()5圭

4.（3分）烧加3的和与-m+1的差小于13,则m的值不可能为（)

A.6B.5C.4D.3

5.（3分）小丽在化简分式_二上1■时,*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的

x2-lx+1

式子应该是（）

A.x2-2x+lB.j?+2r+lC.7-1D.jc-2x-\

6.（3分）如图，正十边形与正方形共边AB,延长正方形的一边AC与正十边形的一边ED,

两线交于点F,设,则x的值为（）

C.21D.24

7.（3分）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，将几何体向后翻滚90°,与原

几何体比较，三视图没有发生改变的是（）

向后翻滚90°

A.主视图B.俯视图

C.左视图D.俯视图与左视图

8.（3分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A,B,C,

CE的延长线经过格点。，则标的长为（）

A.3兀,B.—C..5兀,D.兀

4284

9.（3分）已知如图，在团ABC。中，AD>AB,NABC为锐角，将△A8C沿对角线4c边平

移，得到AA'B'C,连接AB'和C'D,若使四边形AB'C。是菱形，需添加一

个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB'=OC'；乙方案：B'DLAC；丙方案：

NA'CB'=ZA'CD；其中正确的方案是（）

A.甲、乙、丙B.只有乙、丙C.只有甲、乙D.只有甲

10.（3分）如图，数轴上有0,4,8,C,。下点，根据图中各点表示的数，表示数料XV12-2

的点会落在（）

0AcD

412f

0245

A.点。和A之间B.点A和8之间C.点B和C之间D.点C和。之间

11.（2分）观察下列尺规作图的痕迹，能够说明AB>AC的是（）

AA

AA

12.（2分）小亮新买了一盏亮度可调节的台灯（图①），他发现调节的原理是当电压一定时,

通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流/（A）是电阻R（Q）的

反比例函数，其图象如图②所示.下列说法正确的是（）

图①图②

A.电流/（A）随电阻R（Q）的增大而增大

B.电流/（A）与电阻R（Q）的关系式为i=

R

C.当电阻R为55OQ时，电流/为0.5A

D.当电阻R21100Q时，电流/的范围为（X/W0.24

13.（2分）在一次实验操作中，如图①是一个长和宽均为3,高为8的长方体容器，放置在

水平桌面上，里面盛有水，水面高为6；现将图①容器向右倾倒，按图②放置，发现此时

水面恰好触到容器口边缘，则图②中水面高度为（）

14.（2分）水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个,

设原有橘子的质量的平均数和方差分别是XI，s2,该顾客选购的橘子的质量的平均数和

方差分别是X2，2,则下列结论一定成立的是（）

s2

A.x\>x2B.x\—X2

C.2D.2

S1s2S1s2

15.（2分）小强同学想根据方程7x+6=8x-6编一道应用题:“几个人共同种一批树苗,

求参与种树的人数.”若设参与种树的有x人，那么横线部分的条件应描述为（）

A.若每人种7棵，则缺6棵树苗；若每人种8棵，则剩下6棵树苗未种

B.若每人种7棵，则缺6棵树苗；若每人种8棵，则缺6棵树苗

C.若每人种7棵，则剩下6棵树苗未种；若每人种8棵，则剩下6棵树苗未种

D.若每人种7棵，则剩下6棵树苗未种；若每人种8棵，则缺6棵树苗

16.（2分）有一题目：“如图，NABC=40°,2。平分/ABC,过点。作交

于点E,若点尸在AB上，且满足。尸求/OFB的度数.”小贤的解答：以。为圆

心，QE长为半径画圆交43于点尸，连接QF,Illi]DE=DF,由图形的对称性可得NOFB

=NDEB.结合平行线的性质可求得/。尸8=140°.而小军说：“小贤考虑的不周全，

NDFB还应有另一个不同的值下列判断正确的是（）

A.小军说的对，且NQFB的另一个值是40。

B.小军说的不对，NOFB只有140°一个值

C.小贤求的结果不对，NOFB应该是20°

D.两人都不对，/OF8应有3个不同值

二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分.其中18小题第一空2分，第二空1

分，19小题每空1分）

17.（3分）如图所示是某展览馆出入口示意图，小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参

观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是.

A入口

18.or-2Z?=0的两实数根，且XI+X2=-2,xfx2—

1,则a的值为,/的值是.

19.(3分)在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABC。沿过点

A的直线折叠，使得点8落在C£＞上的点。处.折痕为AP；再将△PCQ,△AOQ分别

沿PQ,AQ折叠，此时点C,力落在AP上的同一点R处.请完成下列探究.

(1)AO与BC所在直线的位置关系；

(2)NB1Q的大小为°；

(3)当四边形APS是平行四边形时，地•的值为.

QR

三、解答题(本大题共7个小题，共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20.(9分)小明使用比较简便的方法完成了一道作业题，如框：

小明的作业

计算:85X(-0.125)5.

解：85X(-0.125)5=(-8X

0.125)5=(-1)5=-i

请你参考小明的方法解答下列问题.

计算：

(1)42023X(-0.25)2023；

/5、20237(|)2022

(2)F*

21.(9分)在校园艺术节活动中，同学们踊跃参加各项竞赛活动，参加的学生只能从“歌

曲”，“舞蹈”，“小品”，“主持”和“乐器”五个选项中选择一项.现将选择情况绘制成

了条形统计图和不完整的扇形统计图，其中条形统计图部分被不小心污染.请根据统计

图中的相关信息，回答下列问题：

（1）图1中，根据数据信息可知：参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的

倍，而统计图表现出来的直观情况却是：参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛

人数的3倍，两个结果之所以不一样，是因为；

（2）请求出全校一共有多少名学生参加“舞蹈”比赛？

（3）在图2中，“小品”部分所对应的圆心角的度数为度；

（4）拟参加比赛活动的学生有50%获奖，其中获二等奖与三等奖的人数之比3：5,二

等奖人数是一等奖人数的1.5倍，直接写出获一等奖的学生有人.

22.（9分）某数学兴趣小组研究如下等式：38X32=1216,53X57=3021,71X79=5609,

84X86=7224.

观察发现以上等式均是“十位数字相同，个位数字之和是10的两个两位数相乘，且积有

一定的规律”.

（1）根据上述的运算规律，直接写出结果：58X52=；752=.

（2）设其中一个数的十位数字为〃，个位数字为匕（a,。＞0）,

①请用含“，匕的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；

②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘

（如：38X32调换为83X23）.若分别记新的两个两位数的乘积为〃?，①中的运算结果

为〃，求证：”能被99整除.

23.（10分）如图，直角坐标系xOy中，一次函数、=-」“+5的图象人分别与x、y轴交于

2

A,8两点，正比例函数的图象勿与/1交于点C（〃?，4）.

（1）求，”的值及/2的解析式；

（2）求SzsAOC：SzsBOC的值;

（3）一次函数y=fcr+l的图象为/3,且d/2,/3不能围成三角形，直接写出女的值.

24.(10分)已知抛物线y=-j^+bx+c的对称轴是直线x=2,将抛物线在y轴左侧的部分

沿x轴翻折，翻折后的部分和抛物线在y轴右侧的部分组成图形G.

(1)填空：b=；

(2)如图1,在图形G中，c=0.

①当x取何值时，图形G中的函数值随x的增大而减少？

②当-4WxW3时，求图形G的最大值与最小值；

(3)如图2,若c=2,直线y=〃-1与图形G恰有3个公共点，求〃的取值范围；

(4)若期=3,直线y=-x+m与图形G恰有2个公共点，请直接写出〃，的取值范围.

25.(10分)如图，点8在数轴上对应的数是-2,以原点O为圆心、OB的长为半径作优

弧AB,使点A在原点的左上方，且点C为08的中点，点。在数轴

上对应的数为4.

(1)5用彩A0B=；

(2)点P是优弧AB上任意一点，则ZPDB的最大值为：

(3)在(2)的条件下，当NPDB最大,且/AOP<180°时，固定△。尸。的形状和大

小，以原点O为旋转中心，顺时针旋转〃(0°Wa<360°).

①连接CP,AD,在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明理由；

②直接写出在旋转过程中，点C到PO所在直线的距离d的取值范围.

A

26.(12分)在△ABC中，4c=BC=10,sinA=A,点。是线段AB上一点，且不与点A、

5

点B重合.

(1)当点。为A8中点时，A。的长为；

(2)如图1,过点/)作DMLAC于点M,DN1BC于点N.DM+DN的值是否为定值.如

果是，请求出定值；如果不是，请说明理由；

(3)将N8沿着过点。的直线折叠，使点8落作4c边的点P处(不与点A、C重合),

折痕交BC边于点E；

①如图2,当点。是AB的中点时，求AP的长度；

②如图3,设4O=a,若存在两次不同的折痕，使点B落在AC边上两个不同的位置，直

接写出。的取值范围.

图1图2图3

2023年河北省衡水市桃城区中考数学三模试卷

（参考答案）

一、选择题（本大题共16个小题.1〜10小题每题3分，11-16小题每题2分，共42分）

I.（3分）下列各数中，比-1小的数是（)

A._3B.|-2|C.0D.1

【解答】解：-3<-1,|-2|=2>-1,0>-1,1>-1,

...所给的各数中，比-1小的数是-3.

故选：A.

2.（3分）一副三角尺按如图所示位置放置,OP为公共边，量角器中心与点。重合，OA

为0°刻度线.如果三角尺一边08与90°刻度线重合，那么边OC与下列刻度线重合的

C.45°刻度线D.75°刻度线

【解答】解：由图可知：NBOP=30°,NPOC=45°,NBOA=90°,

ZAOC^ZBOA-NBOP-/POC=90°-30°-45°=15

故选：A.

3.（3分）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄,卜抄为撮，十撮为勺,卜勺为合.”说明“抄、

撮、勺、合”均为十进制.则十合等于（)

A.IO?圭B.©圭C.IO,圭D.1()5圭

【解答】解：由题意得，1合=10勺=102撮=103抄=104圭,

...十合=10X104圭=1()5圭,

故选：D.

4.（3分）m力n3的和与-m+\的差小于13,贝Um的值不可能为（)

A.6B.5C.4D.3

【解答】解：由题意知，m+3-（-/71+1）<13,

则m+3+m-1V13,

/%+mV13+l-3,

/.2/w<ll,

解得机V5.5,

故选：A.

5.(3分)小丽在化简分式「^士1时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的

x2-lx+1

式子应该是()

A.2-2x+lB./+2x+lC.x2-1D.A2-2x-1

*

X2-1

.・._____*_____=(x-1)(xT)——2-2X+1,

2

(x-1)(x+1)(x+1)(x-1)X-1

故*部分的式子应该是?-2x+l.

故选：A.

6.(3分)如图，正十边形与正方形共边AB,延长正方形的一边AC与正十边形的一边EC,

两线交于点F,设，则x的值为()

A.15B.18C.21D.24

【解答】解：如图，延长AB交。F于H,则NHBD=NHDB=^^|一=36°

:.NAHF=NHBD+NHDB=72°,

VZBAC=90°,

/.ZAFD=90°-NAHF=18°,即x=18,

故选：B.

7.(3分)如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，将几何体向后翻滚90°,与原

几何体比较，三视图没有发生改变的是()

向后翻滚90°

B

A.主视图B.俯视图

C.左视图D.俯视图与左视图

【解答】解：将几何体向后翻滚90°,与原几何体比较，三视图没有发生改变的是主视

图.

故选：A.

8.（3分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A,B,C,

CE的延长线经过格点。，则源的长为（）

A.B.2Lc.D.n

4284

【解答】解：如图，连接AC、AD,取AC的中点O,连接OE,

VZABC=90°,

；.AC为直径，

'：AC2=AD2=32+22=13,CD?=12+52=26,

.".AC2+A£>2=CD2,

...△ACO为等腰直角三角形，

.../ACQ=45°,

AZAOE^2ZACD=90Q,

•：AO=1AC^J^~,

22

人90冗r—

AE的长为---------2-=Hn.

1804

故选：D.

9.（3分）已知如图，在团ABCZ）中，AD>AB,NABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平

移，得到AA'B'C,连接AB'和C'D,若使四边形4夕C1。是菱形，需添加一

个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB'=DC；乙方案：B'DLAC；丙方案：

ZA'CB'=NA'CD-,其中正确的方案是（）

A.甲、乙、丙B.只有乙、丙C.只有甲、乙D.只有甲

【解答】解：根据题意可知AD//B'C,

：.四边形AB'CD是平行四边形.

方案甲，不能判断四边形ABC。是菱形；

方案乙，由8D_LAC,

平行四边形ABC。是菱形；

方案丙，由又ADHEC,

：.ZDAC=ZA'CB',

：.ZACD,

：.AD=CD,

平行四边形ABC。是菱形.

所以正确的是乙和丙.

故选：B.

10.（3分）如图，数轴上有O,A,B,C,D下点，根据图中各点表示的数，表示数&XA/12-2

的点会落在（）

A.点O和A之间B.点4和8之间C.点8和C之间D.点C和。之间

【解答】解：V2xV12-2=V24-21

vVl6<V24<V25.

4<V24<5,

2<V24-2<3,

...表示数&XJ五-2的点会落在点A和8之间.

故选：B.

11.(2分)观察下列尺规作图的痕迹，能够说明AB>AC的是()

【解答】解：如图①中，设垂直平分线与AB的交点为E,

由作图可知，EB=EC,

'：EA+EC>AC,

：.EA+EB>AC,BPAB>AC.

如图③中，设弧与A8的交点为了，

由作图可知，AT=AC,

•.•点T在线段48上，

：.AB>AT,B|JAB>AC.

故选：C.

12.(2分)小亮新买了一盏亮度可调节的台灯(图①)，他发现调节的原理是当电压一定时,

通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流/(A)是电阻R(Q)的

反比例函数，其图象如图②所示.下列说法正确的是()

A.电流/(A)随电阻R(Q)的增大而增大

B.电流/(A)与电阻R(H)的关系式为1具幽

R

C.当电阻R为550。时，电流/为0.5A

D.当电阻R21100Q时，电流/的范围为0</W0.2A

【解答】解：A.由图象知，电流/（A）随电阻R（。）的增大而减小，故此选项符合题

意；

B.设反比例函数解析式为：/=旦，把（1100,0.2）代入得：t/=1100X0.2=220,则/

R

=2型，故此选项不符合题意；

R

C.把R=550代入/=2型得，/=0.4A,故此选项不合题意；

R

D.当电阻RN1100Q时，电流/的范围为0V/W0.2A；故此选项符合题意；

故选：D.

13.（2分）在一次实验操作中，如图①是一个长和宽均为3,高为8的长方体容器，放置在

水平桌面上，里面盛有水，水面高为6；现将图①容器向右倾倒，按图②放置，发现此时

水面恰好触到容器口边缘，则图②中水面高度为（）

【解答】解：过点C作CF_LBG于凡如图所示:

根据题意得：.1(8-x+8)X3X3=3X3X6,

2

解得：x=4,

：.DE=4,

VZE=90°,

由勾股定理得：CD=A/DE2CE2=^42+32=5,

:NBCE=NDCF=90°,

:./DCE=NBCF,

,：ZDEC=ZBFC=90Q,

:ACDESACBF,

•CECD

*'CF=CB"

即❷①

CF8

CF=建，

5

故选：A.

14.（2分）水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个,

设原有橘子的质量的平均数和方差分别是xi，s2,该顾客选购的橘子的质量的平均数和

方差分别是X2，s2,则下列结论一定成立的是（）

A.xi>%2B.Xi—X2

Csj>s：D.sj=sj

【解答】解：•••水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子

若干个，

,该顾客选购的橘子的质量的平均数丁>原有橘子的质量的平均数二,该顾客选购的橘

子的质量的方差s?〈原有橘子的质量的方差2.

s2Ss1

故选：C.

15.（2分）小强同学想根据方程7x+6=8x-6编一道应用题:“几个人共同种一批树苗,,

求参与种树的人数.”若设参与种树的有x人，那么横线部分的条件应描述为（）

A.若每人种7棵，则缺6棵树苗；若每人种8棵，则剩下6棵树苗未种

B.若每人种7棵，则缺6棵树苗；若每人种8棵，则缺6棵树苗

C.若每人种7棵，则剩下6棵树苗未种；若每人种8棵，则剩下6棵树苗未种

D.若每人种7棵，则剩下6棵树苗未种；若每人种8棵，则缺6棵树苗

【解答】解：•・•列出的方程为7x+6=8x-6,

二方程的左、右两边均为这批树苗的棵数，

...方程的左边为若每人种7棵，那么剩下6棵树苗未种；方程的右边为若每人种8棵，

那么缺6棵树苗.

故选：D.

16.（2分）有一题目：“如图，/ABC=40°,8。平分/ABC,过点。作。E〃AB交8c

于点E,若点F在AB上，且满足DF=DE,求/DFB的度数.”小贤的解答：以D为圆

心，OE长为半径画圆交AB于点F,连接。F,RiJDE=DF,由图形的对称性可得/OFB

=ZDEB.结合平行线的性质可求得N£）F8=140°.而小军说：“小贤考虑的不周全，

NQFB还应有另一个不同的值下列判断正确的是（）

A.小军说的对，且NOFB的另一个值是40°

B.小军说的不对，/£＞尸8只有140°一个值

C.小贤求的结果不对，/£＞尸8应该是20°

D.两人都不对，NQF8应有3个不同值

【解答】解：以。为圆心，以OE长为半径画圆交A8于尸，尸点，连接。F,DF,则

DE=DF=DF,

：.ZDFF=ZDF'F,

：8。平分/ABC,由图形的对称性可知/DFB=ZDEB,

'：DE//AB,ZABC=40°,

AZDEB=180°-40°=140°,

AZDFB=140°；

当点尸位于点尸处时，

,:DF=DF,

：.ZDF'B=ZDFF=40°,

二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分.其中18小题第一空2分，第二空1

分，19小题每空1分）

17.（3分）如图所示是某展览馆出入口示意图，小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参

观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是1.

-3-

A入口

开始

共有9种等可能的结果数，其中她们恰好从同一出口走出的结果数为3,

所以她们恰好从同一出口走出的概率=3=上.

93

故答案为：1.

3

18.(3分)已知无1，X2是关于X的方程7+QX-2。=0的两实数根，且Xl+X2=-2,X\*X2=

1,则“的值为2,/的值是-1.

-4-

【解答】解：•••©,X2是关于x的方程/+"-26=0的两实数根，

••x\+x2=-a=-2,xi*X2=-2b=1,

解得a=2,b=-—,

2

:.ba=(-1)2=A.

24

故答案为：2,1.

4

19.(3分)在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABC。沿过点

A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处.折痕为AP；再将△PCQ,△AOQ分别

沿PQ,AQ折叠，此时点C,。落在AP上的同一点R处.请完成下列探究.

(1)AO与8c所在直线的位置关系AD〃BC；

(2)NB4Q的大小为30°；

(3)当四边形APCO是平行四边形时，空■的值为V3.

QR——

c

【解答】解：（1）由折叠的性质可得：N8=NAQHZDAQ=ZQAP=ZPAB,ZDQA

=NAQR,/CQP=/PQR,ND=NARQ,/C=/QRP,

・・・NQ7M+NQRP=18O°,

/.ZD+ZC=180°,

：.AD//BC,

：.AD与BC所在直线的位置关系是AO〃3C,

故答案为：AD//BC；

(2),:AD〃BC,

・・・NB+/DAB=180°,

・・・NOQR+/CQR=180°,

：.ZDQA+ZCQP=90°,

・・・N4QP=90°,

：.ZB=ZAQP=90°,

・・・ND48=90°,

AZDAQ=ZQAP=ZPAB=30°,

故答案为：30；

(3)由折叠的性质可得：AD=ARfCP=PR,

四边形APCD是平行四边形，

:・AD=PC,

:・AR=PR,

•・・乙4。尸=90°,

QR=XAP,

TN%8=30°,ZB=90°,

:・AP=2PB,AB=-j3PBf

:.PB=QR,

故答案为：Vs-

三、解答题(本大题共7个小题，共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20.(9分)小明使用比较简便的方法完成了一道作业题，如框：

小明的作业

计算：85X(-0.125)5.

解:85X(-0.125)5=(-8X

0.125)5=(-1)5=-1.

请你参考小明的方法解答下列问题.

计算：

(1)42023X(-0.25)2023

【解答】解:(1)42023X(-0.25)2023

=(-4X0.25)2023

(-1)2023

25

72

21.(9分)在校园艺术节活动中，同学们踊跃参加各项竞赛活动，参加的学生只能从“歌

曲”，“舞蹈”，“小品”，“主持”和“乐器”五个选项中选择一项.现将选择情况绘制成

了条形统计图和不完整的扇形统计图，其中条形统计图部分被不小心污染.请根据统计

图中的相关信息，回答下列问题：

(1)图1中，根据数据信息可知：参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的

倍，而统计图表现出来的直观情况却是：参加''主持”比赛的人数是参加“乐器”比

赛人数的3倍，两个结果之所以不一样，是因为统计图的人数栏是从零开始计数：

(2)请求出全校一共有多少名学生参加“舞蹈”比赛？

(3)在图2中，“小品”部分所对应的圆心角的度数为86.4度:

(4)拟参加比赛活动的学生有50%获奖，其中获二等奖与三等奖的人数之比3：5,二

等奖人数是一等奖人数的1.5倍，直接写出获一等奖的学生有40人.

【解答】解：(1)804-40=2,

.♦•参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的2倍，

•••统计图的人数栏是从零开始计数，

.••参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的3倍，两个结果所以不一样.

故答案为：2,统计图的人数栏没有从零开始计数；

(2)只n，一^—=400，400X16%=64,

-360

,全校一共有64名学生参加“舞蹈”比赛；

(3)400-120-64-80-40=96,

♦•360°X-^-=86.4°，

400

二“小品”部分所对应的圆心角的度数为86.4度；

(4)二•参加比赛活动的学生有50%获奖，总共有400人，

...一共有200人获奖，

•••获二等奖与三等奖的人数之比3：5,二等奖人数是一等奖人数的1.5倍，

.♦.设一等奖人数为方则二等奖人数为1.5x,三等奖的人数为2.5尤，

/.列方程为x+1.5x+2.5x=200,解得x=40,

二获一等奖的学生有40人.

22.(9分)某数学兴趣小组研究如下等式：38X32=1216,53X57=3021,71X79=5609,

84X86=7224.

观察发现以上等式均是“十位数字相同，个位数字之和是10的两个两位数相乘，且积有

一定的规律”.

(1)根据上述的运算规律，直接写出结果：58X52=3016；1W=5625.

(2)设其中一个数的十位数字为“，个位数字为匕(a,人＞0),

①请用含小b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；

②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘

(如：38X32调换为83X23).若分别记新的两个两位数的乘积为〃?，①中的运算结果

为勿求证：能被99整除.

【解答】解：(1)根据题意得：58X52=(5X6)X100+8X2=3016,廿=(7X8)X

100+5X5=5625；

故答案为：3016；5625；

(2)①..•其中一个数的十位数字为小个位数字为b(a,b>0\

.♦.另一个数的十位数字为“，个位数字为10-6

，这两个两位数分别为\0a+b,IOa+10-fe,

根据题意得：这个运算规律为(10a+b)(10a+10-b)=100。(a+1)+b(10-6),

证明：左边=100/+104?+100。+106-10ab-/?2=100a2+100a+10Z?-b2,

右边=100/+[00a+]o/,_必，

二左边=右边；

②由①得：n=100a2+100a+10Z?-b2,

•••分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘，

,新的两个两位数分别为106+“，10(10-6)+a,

：.m=(106+a)[10(10-Z>)+a]

-(lOZH-a)(100-\0b+a)

^\000b+\00a-100Z?2-\0ab+\0ab+a2

=10006-100Z?2+100a+a2,

：.m-n=(1000b-100b2+lOOa+d)-(100a2+100a+10b-b2)

=10008-100/?2+100a+a2-100a2-100a-10W

=-99a2-9%2+990Z,,

=-99(cr+b2+l0b),

'：a,。为正整数，

.,./+/+106为整数,

•••，"-〃能被99整除.

23.(10分)如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=-1+5的图象八分别与x、y轴交于

2

A,B两点,正比例函数的图象〃与/1交于点C(相，4).

(1)求m的值及/2的解析式；

(2)求SAAOC：SABOC的值；

(3)一次函数y=fcr+l的图象为/3,且d/2,/3不能围成三角形，直接写出女的值.

【解答】解：(1)把c(〃?，4)代入一次函数y=-L+5,可得

2

4=--m+5,

2

解得m=2,

：.C(2,4),

设b的解析式为y=ax,则4=2。，

解得。=2,

.・./2的解析式为y=2x；

(2)如图，过C作CO_LA。于。，CE_L3。于£则CO=4,CE=2,

y=--kr+5,令x=0,则y=5；令y=0,则x=10,

2

・・・A(10,0),B(0,5),

・・・AO=10,30=5,

,SAAOC：S&BOC=(-lx10X4)：(AX5X2)=20：5=4：1；

(3)一次函数丫="+1的图象为&S.li，h，/3不能围成三角形,

.•.当/3经过点C(2,4)时，k——i

2

当，2，/3平行时，2=2;

当11，，3平行时，无=--：

2

故上的值为旦或2或-L

22

24.(10分)已知抛物线y=-^+bx+c的对称轴是直线x=2,将抛物线在y轴左侧的部分

沿x轴翻折，翻折后的部分和抛物线在y轴右侧的部分组成图形G.

(1)填空：b=4；

(2)如图1,在图形G中，c=0.

①当x取何值时，图形G中的函数值随x的增大而减少？

②当-4<xW3时，求图形G的最大值与最小值；

(3)如图2,若c=2,直线y=〃-1与图形G恰有3个公共点，求〃的取值范围；

【解答】解：(1)•••抛物线>=-7+bx+c的对称轴是直线x=2,

：.h=4,

故答案为：4；

(2)①由图象可知，当xVO或x>2时，图形G中的函数值随x的增大而减少;

②,.)=-/+4x=-(x-2)2+4,

函数>1=-/+4x的最大值为4,

当x=-4时，y=-(-4)2+4X(-4)=-32,

当x=3时，y=-32+4X3=3,

...当-4WxW3时，图形G的最大值是32,最小值是0；

(3)若c=2,则y=-/+4x+2=-(x-2)2+6,

二直线尸1与图形G恰有3个公共点，则2--1V6,即3W〃<7,

的取值范围是3W"<7；

(4)当c=3时，把点(0,-3)代入y=-x+m得，，”=-3,

令-7+4天+3=-x+m,整理得7-5x+，〃-3=0,则△=25-4-3)=0,

解得m=3L,

4

，此时，-3W机<3或相=21；

4

当c=-3时，令-7+4x-3=-x+m,整理得/-5x+/n+3=0,则A=25-4（"?+3）=0,

解得根=13,

4

...此时，-3Wm<3或相=」旦；

4

...若|c|=3,直线y=-x+,〃与图形G恰有2个公共点，%的取值范围是-3Wm<3或〃]

=3L或

44

25.（10分）如图，点B在数轴上对应的数是-2,以原点O为圆心、OB的长为半径作优

弧AB,使点A在原点的左上方，且tan/A08=J§，点C为08的中点，点。在数轴

上对应的数为4.

（1）S用彩AOB=_,10工_;

-3-

（2）点尸是优弧A8上任意一点，则NPCB的最大值为30。；

（3）在（2）的条件下，当NPDB最大,且NAOP<180°时，固定△OPC的形状和大

小，以原点O为旋转中心，顺时针旋转a（0°WaW360°）.

①连接CP,AD,在旋转过程中，CP