2022年高考数学模拟自测题（根据以往高频出现知识点编辑）(四十五)

2022年高考数学模拟自测题（根据以往高频出现知

识点编辑）_009

单选题（共8个，分值共：）

1、一次速算表演中，主持人出题：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，下面我报出这个31位数，请

说出它的64次方根，这个31位数是......未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个整数的64次

方根.原理很简单，因为只有一个整数，它的64次方是一个31位整数.可是，在事先不知道题目的情况下,

速算专家是怎么快速得出这个结论的呢？速算专家的秘诀是记住了下面的表.

X2345

lgx（近似

0.3010.4770.6020.699

值）

根据上表，这个31位整数的64次方根是（）.

A.2B.3c.4D.5

答案：B

解析：

根据对数的运算法则判断.

【本题详解】

。八0.0.4688c处<0.4844-L

设此数为了,则3041gx<31,而64,观察已知数据，x“=3.

所以正确答案为：B.

2、定义在R上的奇函数,（X）,满足/（x+4）+f（x）=2〃2）,则“2022）+1=（）

A.-2B.-1C.0D.1

答案：D

解析：

由*=-2得出/⑵=°,再结合周期性得出函数值.

【本题详解】

Q〃2）+〃-2）=2〃2）,〃-2）=-"2）,.42）=0

即〃x+4)=-/(x),一f(x+4)=/(x+8),则〃x)=/(x+8)

/(2022)+1=/(8x252+6)+1=/(6)+1=-/(2)+1=1

所以正确答案为：D

3、已知函数/(力=丁+优'-1(〃eR)有两个极值点，则实数。的取值范围为()

，+0

卜川I训C1泗

ABH°)D

答案：B

解析：

将函数有两个极值点转化为其导数有两个零点进行求解即可.

【本题详解】

对原函数求导得，r(x)=2x+ae'.

因为函数f(x)=丁+«e'-1(«e&有两个极值点，

所以/'(刈=°有两个不等实根，即2x+ae"=°有两个不等实根,

_2x

亦即“一/有两个不等实根.

g(x)=?g，(x)=g/l

令e,，则ex

可知且口)在(—」)上单调递增，在(L*°)上单调递减,

g(xLx=g(l)="j

所以

又因为当x<0时，g(x)<°,当X>O时，g(x)>0,

2

-a<—

.e2

n—<〃<0

所以〔一”°,解得e

即。的范围是Ie

所以正确答案为：B

一+16-I2+12-拒

A.2B.2C.2D.

答案：A

解析：

利用平方关系和正弦的二倍角公式进行化简可得答案.

【本题详解】

2

1.nI.2%孩―—-支G•万兀\/3+\

.1+sin—=./sin--+cos-——l-2sin—cos—=sin—+cos—=-----

V3V6666662

所以正确答案为：A.

5,下列四个命题中真命题的个数是（）

①垂直于同一平面的两个平面平行；

②圆柱的所有母线是互相平行的；

③若一个简单几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同，则这个简单儿何体一定是球体；

④用斜二测画法得到的平面四边形的直观图，其面积一定小于原四边形的面积.

A.OB.IC.2D.3

答案：C

解析：

垂直于同一平面的两个平面可能相交，可判断①错误；根据圆柱的集合特征判断②；正视图、侧视图、俯视图

完全相同的几何体也可能是正方体，可判断③；根据斜二测画法得到的直观图与原图面积之间的关系可判断

④.

【本题详解】

①垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可能相交，故①错误；

②根据圆柱的几何特征，其所有母线都是平行的，故②正确；

③若一个简单几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同，这个几何体有可能是正方体，故③错误；

S'=—Sy；图

④用斜二测画法得到的平面四边形的直观图的面积4…，故其面积一定小于原四边形的面积，故④

正确，

所以正确答案为：C.

6、若p：£+*-6=0是q：以-1=0（arO）的必要而不充分条件，则实数a的值为（）

X1_11_1

A.2B.5或3c.§D.E或3

答案：D

解析：

根据题意确定q可以推得P,但p不能推出q,由此可得到关于。的等式，求得答案.

【本题详解】

1

X=­

p：d+x-6=0,即x=2或x=-3,q.a,

由题意知p：V+x_6=0是q：公-1=°（的必要而不充分条件，

1cle11

则。一，或。一，解得一2,或一3,

3

所以正确答案为：D.

7、已知,=（l'G）,人（3,同，旦M，则I万/=（）

A.2B.2百c.4D.4G

答案：C

解析：

由向量垂直的坐标表示求用，再由向量的模的坐标公式求打一切.

【本题详解】

•.alb4引词石=（3,加）

•J，，

・1x3+6/%=。，m=-也

〃_研-2,2百）

•,9

,忖叫=［（-2）2+（2@2=4.

所以正确答案为：C.

8、若复数z满足z（l+i）=2,则复数z的模为（）

A.血B.1C.2近D.2

答案：A

解析：

由复数除法运算化简，再结合复数模公式求解即可.

【本题详解】

由z（l+i）=2可得z-币--二故%|=拒

所以正确答案为：A.

多选题（共4个，分值共：）

—^（x）=sin|2x+—|

9、将函数J（V=sm（2x+切（°<9<乃）的图象向右平移4个单位长度后得到函数I6J的图

象，则下列说法正确的是（）

7t

A.3

B.函数/（X）的最小正周期为万

7C

C.函数“X）的图象关于点（一§,0）成中心对称

4

5万1\n

D.函数〃x）的一个单调递减区间为I1？‘12一

答案：BC

解析：

先由三角函数的图象变换求出8的值并判断选项A,再求出/（“）的解析式，然后根据三角函数的性质逐项判

断B,C,D即可得解.

【本题详解】

兀

〃x）=sin（2x+e）的图象向右平移了个单位长度后得到:

\(兀、兀、=g(x)=sin(2x+^

y=sin21x—~I+^91=si.n(I2x+cp——I

兀兀2兀

(P—=——(p=—

...0<9<无，...26,即3,故A不正确;

/(x)=sinf2x+y

的最小正周期"土故B正确;

2x+—=knx=-—+—(keZ)

令3,keZ,得32'，

7ikit

——4--,0(fceZ)

即/（X）的对称中心为327，故C正确;

71._-27137t.71,/,5兀，

—+2kji<2x4-——<---卜ku---+AX<X<—+KTI

令23-2，&eZ,解得1212,

z、---+kTt,—+k7t(kwZ)

1212

••・函数八月的递减区间为L故D不正确.

所以正确答案为：BC

10、下列命题中，为真命题的有（）

A.若c>d>09贝若则。从

C.若贝若”>b,贝

答案：AC

解析：

由不等式的同向正值可以相乘可判断A；取。=1,方=-2时可以判断大由可以判断c；由。=°可以判

断D.

【本题详解】

因为。>人>0,c>d>0,所以ac>6c,bobd,所以ac>脱/,所以A为真命题；

当。=1,。=-2时，则所以B不是真命题；

5

因为42>历2,所以。2>°,所以所以C为真命题;

当c=0时，的2=儿2=0,所以D不是真命题.

所以正确答案为：AC.

11、已知函数〃力=2百sinxcosx+Zco/xT,则（）

A/（x）=5/3sin2x4-cos2x

/(x)=2cos2x+—

B.6

C./（X）的图象可以看作是由）'=2sin2x的图象向左平移立而得到

D.如果将/（X）看成某个简谐运动，则这个简谐运动的频率为万

答案：ACD

解析：

利用三角恒等变换可判断AB选项，利用三角函数图象变换可判断C选项，利用正弦型函数的周期公式可判断

D选项.

【本题详解】

/（x）=273sinxcosx+2cos2x-1=^3sin2x+cos2x=2sin2x+—

因为I

=2cos+•一=2cos

f(x)=2sin卜R+看］

71

因为LI12〃，所以,/（x）的图象可以看作是由y=2sin2x的图象向左平移丘而得至u,

将/（M看成某个简谐运动，则这个简谐运动的频率为万一

所以ACD正确，B不正确.

所以正确答案为：ACD.

12、已知向量“=（&」），g=（cosasine）（0464万），则下列命题正确的是（）

A.若则tan"&

^1-12万

B.若分在2上的投影为一百四，则向量々与5夹角为§

c.与2共线的单位向量只有一个为133'

6

D.存在夕，使得।IIIII

答案：BD

解析：

对A：由向量垂直的坐标表示即可求解判断；对B：根据投影的定义即可求解判断；对C：与。共线的单位向

±4

量为“即可判断；对D：根据向量3与B共线同向时，满足|〃+目二|々|+|目一

।iiii।即可判断.

【本题详解】

n—(夜』)b=(cos^sin0)(0<0<TI^

解：向量

对A：因为所以0cose+sin6=O,所以tan®=一&,所以正确答案为项A错误;

对B：因为B在公上的投影向量为

所以8s6%同W=Jcos?，+sin。6=1,同=｛网2+T=百

11

/71以，XY，

cos<a,b>=--」

所以6x12

11里

因为司，所以向量£与分夹角为3,所以正确答案为项B正确;

(亚回|，如，一回

对C：与2共线的单位向量有两个，分别为〔③3)和133人所以正确答案为项c错误；

cos0=,sin0__1%+不=1才+国-

对D：当33时，a=Sb,此时向量。与&共线同向，满足I门IH,所以存在。,

使得卜+4附+W,所以正确答案为项D正确；

所以正确答案为：BD.

填空题(共3个，分值共：)

13、已知抛物线C:4x2+my=0恰好经过圆M:(%-I)2+(y-2)2=1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为

答案:(吗)

解析：

将圆M的圆心代入抛物线的方程可求得TH,进而可求焦点坐标.

【本题详解】

由题可得圆M的圆心为(1,2),

7

代入4/+my=0得?n=-2,

将抛物线C的方程化为标准方程得/=gy,

故焦点坐标为(0*).

故答案为：(0*).

14、已知/(logex)=Vx+1>则/'(4)=.

答案：10

解析：

令g=4,解得x,计算即可得出结果.

【本题详解】

4

f(log3x)=y/x+1,令1。。3光=4,解得：x=3=81,

•••/(4)=V81+1=10.

故答案为：10.

15、若直线x-ay+2a=0被圆/+y2=4截得的弦长为2,则实数a的值为.

答案：±百##

解析：

利用圆的弦长公式列式即求.

【本题详解】

•.・圆M+y2=4的圆心坐标为(0,0),半径为2,

・・・(悬y+

解得则a=+V3.

故答案为：±71

解答题(共6个，分值共：)

/(x)=log2h4，一伙+1)2'+女+：

16、已知函数L2」.

(1)若f(x)的最小值是T,求A的值；

(2)已知&>1,若存在两个不同的正数“力，当Xi"，勿时，f(x)的值域为3+1/+11,求实数k的取值范

围.

答案：

(1)卜=1；

(2)

解析:

8

.Irxg(x)=k•4’一(％+1)2、+4Hf

(1)讨论％=0,Z<°和%>0三种情况，设2,/=2(r>0)>进而结合二次函

数求最值的方法解得答案;

log?k-4'-(k+i)2x+k+-=x+lk-4x-(k+l)2x+k+-=2x¥,,

(2)问题可以转化为L2」即2有两个不同的正根0冶,

进而根据二次函数零点的分布解得答案.

(1)

X

/(x)=log2(~2+：］<log'=-1

当左=°时，I2,不符合题意.

当心0时，令g…(x)=&,4"—(&+1),2"+AH—2,设”2cr。,，>0)则外g(r，)=—(/+l)r+上4—2.

①当人<°时，8(，)的图象开口向下，/(X)无最小值，不符合题意；

Jt+lc

t-....>0

②当《>0时，对称轴2k,函数/(X)的最小值是T,所以

g⑺-二g察T詈,+1.111

—(A:+1)----F2+—=—k=——

2k22,解得k=l或3(舍去)，所以&=1.

(2)

g(f)=&厂-(Z+1)，+%H—t=——-e(0,1),八、

当Q1时，则2的对称轴2k,所以当，>1时g(f)为增函数，即"X)为增

logk-4*-(k+1).2*+%+；

2=x+l

函数，所以当xe［"，句时，f(x)的值域为［a+"+U,问题可转化为即

2

-4'-(我+1>2、+&+2=2川,kt~(k+l)t+k+^=2t

2有两个不同的正根”涉，所以关于t的方程即

k>T,

△=(Z+3)2-4@+g)>0,

k+3,

---->1,

2k

k*

h1-(4+3)•1+k+g>0,5

kt2-(k+3)t+k+-=0—<

2有两个大于1且不相等的根，所以,解得23

(52+图)

2'-3-

所以实数k的取值范围是

/(x)=41og2x+—!—、八cx+i

logx

17、已知函数2,g(x)=”-4+2-m(m<Q

(1)求函数”x)在区间(L”)上的最小值;

(2)求函数g(x)在区间工2］上的最大值：

9

（3）若对WX|C（l,+8）,3x,e［l,2］j使得〃内）+g（M>7成立，求实数，”的取值范围.

答案：

（1）最小值为4；

（2）答案见解析；

解析：

（1）通过基本不等式即可求得答案；

（2）设2*=乙将函数转化为、（'）=""+2"，小式2,4］）,然后讨论函数对称轴与区间端点的大小关系，进

而求出函数的最大值；

（3）将问题转化为g（x）2>［7-〃x）；L,然后结合（2）求得答案.

（1）

/、41og2x+-!—>2/4log^x!—=4

当X£（l,yo）时，log2x>Oy所以->og2xV［幅％,

1

41og2x=-------/、/、

当且仅当"log）,即'=五时，等号成立，所以，函数/（”在区间。，田）上的最小值为4.

（2）

g（x）="4，+2，+j=〃Q）2+2.2j,xe［l,2］,令2*=t,则上述函数化为刈=/+%-%

问2,4］

L」〉0--<2m<~~

因为"?<0,所以对称轴-一京>，当一面"，即时，函数M'）在［2,4］上单调递减，所以当r=2

11

〜1“1।ra1r4

m

时，%加=3机+4：当-m，即24时，函数8U）在L上单调递增，在L」上单调

^max=y\一］=F-

递减，所以%

当一二\即一片时，函数g⑺在［2,4］上单调递增，所以）嬴=刈=15加+8

」<相。（、（、_w_l

综上，当4时，的最大值为15机+8；当24时，g（町的最大值为m.当

““5时，g（x）的最大值为痴+4.

(3)

10

对“«1收),刊41,2],使得小)+g㈤>7成立,等价于g(W)>7-小)成立,即

g(x)„“>[7-〃x)L,由(1)可知，当x«l,加)时，[7-4x)L=7-/a)1nhi,因此，只需要

g(x)a>3

——<771<0m>——―<0

所以当4时，15//J+8>3,解得3,所以4.

111—3—\/5—3+\15-3+y/511

——<tn<———m----->3tn<---------------------<<A()----------<m<——m<——

当24时，“，解得2或2,所以，24；当2

1

m>—

时，3机+4>3,解得3,此时解集为空集；

-3+^/5八

----------<m<0

综上，实数m的取值范围为2

18>已知函数f(x)=*2+ax+b,a,/(1)=0

(1)若函数y」/(x)l在[0,1]上是减函数，求实数a的取值范围；

(2)设F(x)=/(|2'-l|)+«(|2'-l|-2)；若函数F(x)有三个不同的零点，

求实数a的取值范围；

(3)是否存在整数m,”，使得m9(x)"的解集恰好是[m,n],若存在，求出m,。的值；若不存在，请说

明理由.

答案：

(1)l-00,12]5。,+°°)

(3)存在；m=-l»n=2

解析：

(1)根据f(l)=0以及△判别式，根据对称轴位置讨论。的范围，结合函数在[°刀上的增减性，可得答案；

(2)设'=根据题意画出图像，通过讨论’的范围，可得a的值；

(3)根据题意，利用/(x)的图像和作差法，求出a的不等式和关系式，然后通过已知条件求值，可得答

案.

(1)

由/(l)=l+a+b=0,可知0=_Q_]

a

所以f(x)=V+⑪_qT,对称轴为人_2

则△=6厂+4(。+1)=(。+2)~20

11

因为y=lf(x)l在[0』]上是减函数,

--21r

当2,即2一时，在[°1]上是减函数，符合题意

_«<1[--,11.,£<o-

当a>-2,即2时，丫=1/(切在12」上是减函数，2'

综上可知，实数a的取值范围为(f，-2]7[0,〃).

(2)

函数F(x)有三个零点，则方程川2'一力+M2T一2)=°有三个不同根

设其图象如下图

由题意，关于t的方程：产+G_"T+a(-2)=()

即产+2〃-3a-1=0有两根4也(4<4),且这两根有三种情况：

tx=0,0<r2<1；0<^<l,r2=1；0<z,<l,r2>1

122

t_nn/,/[-3。-1=0,/.a=—t~—f=0,/.f=0t=—

若4一°'°<’2<1,则3,此时方程为3或3,符合题意

若0<4<"=1,则l+24-3a-l=°，:,a=0f此时方程为『-1=0,•・：=±1舍去

J-3a-l>0

若0<4<1冉>1,则jl+24-3a-l<0’不存在

1

a=——

综上得：3

(3)

、m<—<n,m</(x).乙、//、

因为“X)是开口向上的抛物线，所以2mm且"⑼=/(〃)=〃

由/(加)=/(〃)作差可得小+/7+。=0,所以n+a=-m

由/m)=”可得〃5+〃)—(〃+")―1=0,所以一m九+m_]=0,所以〃

因为m,"为整数且相<〃，所以m=-L〃­1=1,即〃2=T,〃=2,

12

此时a=TJ(x)=xr符合题意

所以存在m=-l,n=2,使得〃"/(力的解集恰好是［叫川.

19、已知数列｛"加满足"'一5,3*=24+1,“为正整数

(1)证明：数列｛""｝是等比数列，并求通项公式；

(2)证明：数列也｝中的任意三项bi,瓦(i<j<k)都不成等差数列：

(3)若关于正整数n的不等式'也，〉机的解集中有且仅有三个元素，求实数m的取值范围;

答案：

"W严，(〃eN*)

(1)证明见解析；43

(2)证明见解析

38

--<<-

3X49

71

解析：

(1)将所给等式3aL=2"：+1变形为=2(1-%)2,根据等比数列的定义即可证明结论；

(2)假设存在%，叽成等差数列，根据等差数列的性质可推出矛盾，故说明假设错误。从而

证明原结论；

5+1)%1

(3)求出n=l,2,3,4时的情况，再结合〃23时，也，即可求得结果

(1)

由已知可知，显然有"”*±1,否则数列也"｝不可能是等比数列；

因为2,2=>4,故可得4,

2

由3%=2d+1得：3(l-a„+1)=2(1-a/?,

如「

即有""3,所以数列也"｝是等比数列，

(2)

假设存在4,",A)成等差数列，

则沟=々+包，即2椅(|严=注产+》|产,

13

整理得2f=3'"+2f3M,即卢印泊―3b）=2®T,

而2尸泊-3尸是奇数，故上式左侧是奇数，右侧是一个偶数，不可能相等,

故数列»"｝中的任意三项"J都不成等差数列；

（3）

关于正整数"的不等式曲即了（3）

8

3<-

班

当

时

m<—<nm<当n9

当n=l时，4=3=4

（n+1）%2（〃+1）＜]

并且当〃23时，曲3〃,

因关于正整数n的不等式也＞m的解集中有且仅有三个元素,

38

--<m<-

故49

20、设等差数列｛%｝的各项均为整数，且满足对任意正整数〃，总存在正整数加，使得4+%+…+4=4,,

则称这样的数列｛%｝具有性质P.

（1）若数列｛"）的通项公式为&"=2〃，数列｛《J是否具有性质P?并说明理由；

（2）若4=3,求出具有性质P的数列｛4｝公差的所有可能值；

（3）对于给定的可，具有性质户的数列｛""｝是有限个，还是可以无穷多个？（直接写出结论）

答案：

（1）数列｛“"｝具有性质产，理由见解析；

（2）±1,3；

（3）有限个.

解析：

（1）由题意％+/+…+%=2x（l+2+3+…+〃），由性质;＞的定义，即可知｛叫是否具有性质P.

（2）由题设，存在）,结合已知得心2且~k-2,则

4+%+…+〃“=4+----d

-2」，由性质尸的定义只需保证”为整数即可确定公差的所有可能

值；

J=-^-eZ上工工

（3）根据（2）的思路，可得4*2且k-2,由4+%+…为整数，在为为定值只需"为整数，

14

即可判断数列｛""｝的个数是否有限.

(1)

由q=2〃，对任意正整数〃，4+出+…+%=2x(l+2+3+…+〃)，

说明4+%+…+4,仍为数列｛%｝中的项，

数列加"｝具有性质P.

(2)

设｛“"｝的公差为".由条件知:4+%=怎("*")，则2q+d=4+伙T)",即仪-2)d=q.

,必有E且八台3([、力1喳n—l

a„^al+[n-1)d=a]+-—a]=3+--x3

口,则K—乙K一乙

n(n-l)

a\+4+…+。〃=na\+-d--=-q--+(w-l)伏-2)+微

而此时对任意正整数",

(n-l)(A:-2)+-

又“，〃-1必一奇一偶，即2」为非负整数

d=3

因此，只要‘-"2为整数且％-2+1N0,

mn

4]+(〃-1)(我-2)+—^―

那么L2为｛%｝中的一项.

易知：左-2可取±1,3,对应得到3个满足条件的等差数列.

(3)

同(2)知：4+“2=%(&eN"),则4=伏-2M

d=-^-eZ4+a,+…+=4+(〃—1)(女-2)H—d

..•必有左=2且k-2，则2

故任意给定4,公差”均为有限个，

•••具有性质尸的数列｛“"｝是有限个.

【点睛】

关键点点睛：根据性质户的定义，在第2、3问中判断4+%+…+可满足等差数列｛%｝通项公式，结合各项

均为整数，判断公差的个数是否有限即可.

_r~v~3

A

—+2_=1£(1-)

21、已知椭圆°：/h2(a>b>Q)的离心率为5,且过点‘2.

15

(1)求椭圆C的方程；

(2)点、M、N在C上，且直线AA7、AN的斜率满足心加+砥N=1,若AP,MN于尸，在平面内是否存在

定点°，使得户@是一个确定的常数？若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由.

答案：

丁+「一1

(1)43

(-1-2)

(2)存在，定点为24.

解析：

⑴利用给定条件列式计算求出椭圆C的方程.

⑵讨论直线MN斜率不存在的情况，直线MN斜率存在时设出直线MN的方程，再与椭圆C的方程联立，借

助韦达定理计算判断作答.

(1)

江+《=11£=1

令椭圆C：/b23"的半焦距为c,由离心率为5得：。-2,即。=2c,b=®,

9

22

xy3141

--7=1A(l,—)---H-=1

则椭圆的方程为4，3c2,而点2在椭圆上，即4c23厂,解得c-2=l,

22

工+工=1

所以椭圆的方程为43.

(2)

\x=t+&2-3产

当直线MN斜率不存在时，设直线MMx=由13/+分2=12解得,一一一厂

3J12-3产3J12-3-

2I”+左AN=----------+-----------==1

则‘I1—1—,解得『=-2,矛盾，因此，直线MN斜率存在，