北京市2022年中考数学模拟试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.下列等式正确的是（）

A.x3-x2=xB.a34-a3=a

C.(-2)2+(—2)3=_：D.(-7)F(-7)2=-72

AH1

2.如图，△ABC中，DE〃BC,——=一，AE=2cm,则AC的长是()

AB3

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

3.下列事件是确定事件的是（）

A.阴天一定会下雨

B.黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门

C.打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播

D.在五个抽屉中任意放入6本书，则至少有一个抽屉里有两本书

4.已知一次函数y=（k-2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是（）

A.导2B.k>2C.0<k<2D.0<k<2

5.如图，。尸平分NA08,PCLO4于C,点。是08上的动点，若PC=6cm,则尸。的长可以是（）

C.5cmD.3cm

6.如图所示的正方体的展开图是（）

7.如图，等边△ABC的边长为1cm,D、E分另ljAB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A，处,

且点A，在△ABC外部，则阴影部分的周长为（）cm

A.1B.2C.3D.4

8.如图，直线a〃b,一块含60。角的直角三角板ABC（NA=60。）按如图所示放置.若Nl=55。，则N2的度数为（）

B.CD.

11.计算一、‘彳一|一3|的结果是（）

A.-1B.-5C.1D.5

3a3

12.计算：7~~八7的结果是()

(fl-1)

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示，按照这样的规律，摆第"个图，需用火

柴棒的根数为_______________

(1)(2)(3)

22

14.如图，R3ABC的直角边BC在x轴上，直线y=§x-§经过直角顶点B,且平分△ABC的面积，BC=3,点A

在反比例函数y=V图象上，贝!Jk=.

15.一个不透明的袋子中装有6个球，其中2个红球、4个黑球，这些球除颜色外无其他差别.现从袋子中随机摸出

一个球，则它是黑球的概率是.

16.若---卜＜2—x有意义,则x的范围是.

x-3

17.化简：＜72+3\^=___.

\3

18.已知一个多边形的每一个外角都等于72・，则这个多边形的边数是.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）小明对A,B,C,D四个中小型超市的女工人数进行了统计，并绘制了下面的统计图表，已知A超市有女

工20人.所有超市女工占比统计表

超市ABCD

女工人数占比62.5%62.5%50%75%

A超市共有员工多少人？8超市有女工多少人？若从这些女工中随机选出一个，求正好是C超市的

概率；现在。超市又招进男、女员工各1人，。超市女工占比还是75%吗？甲同学认为是，乙同学认为不是.你认为

谁说的对，并说明理由.

20.（6分）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60。方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一

段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45。方向的B处,求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离.（参考数据：76=2.449,

结果保留整数）

21.（6分）我市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，

某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点

的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示

的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W万元.（毛利润=销售额-生产费用）

（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）

（2）求W与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛

利润是多少？

（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？

图①图②

3（x-l）<2x

22.（8分）解不等式组：］x1+X

23.（8分）深圳某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息:

“读书节“活动计划书

书本类别科普类文学类

进价」（单位：元）1812

（1）用不超过16800元购进两类图书共1000本；科普类图书不少于600

备注本；

（1）已知科普类图书的标价是文学类图书标价的L5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买科普类图书的数量

恰好比单独购买文学类图书的数量少10本，请求出两类图书的标价；经市场调查后发现：他们高估了“读书节”对图书

销售的影响，便调整了销售方案，科普类图书每本标价降低a（0<a<5）元销售，文学类图书价格不变，那么书店应

如何进货才能获得最大利润？

24.（10分）为营造“安全出行”的良好交通氛围，实时监控道路交迸，某市交管部门在路口安装的高清摄像头如图所示，

立杆MA与地面AB垂直,斜拉杆CD与AM交于点C,横杆DE〃AB,摄像头EF±DE于点E,AC=55米,CD=3米,EF=0.4

米,NCDE=162。.

25.（10分）如图，若要在宽为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱48成120。角，

路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线C。与灯臂8c垂直，当灯罩的轴线C。通过公路路面的中心线时照明效果最好.此

时，路灯的灯柱A3的高应该设计为多少米.（结果保留根号）

A

26.(12分)某中学为了考察九年级学生的中考体育测试成绩(满分30分)，随机抽查了40名学生的成绩(单位：分),

得到如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：

(1)图中m的值为.

(2)求这40个样本数据的平均数、众数和中位数：

(3)根据样本数据，估计该中学九年级2000名学生中，体育测试成绩得满分的大约有多少名学生。

27.(12分)AB为。O直径，C为。。上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D,CA=CD.

(1)连接BC,求证：BC=OB；

(2)E是AS中点，连接CE,BE,若BE=2,求CE的长.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、C

【解析】

直接利用同底数塞的乘除运算法则以及有理数的乘方运算法则分别计算得出答案.

【详解】

解：A、X3~2,无法计算，故此选项错误；

B、a3-ra3=l,故此选项错误；

C、(-2)2+(-2)3=--,正确；

2

D、(-7)匕(，)2=72,故此选项错误；

故选C.

【点睛】

此题主要考查了同底数骞的乘除运算以及有理数的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

2、C

【解析】

由DE〃可得AADE-AABC,再根据相似三角形的性质即可求得结果.

【详解】

■:DE//BC

.'.△ADE^AABC

.ADAE]

**AB-AC_3

VAE=2cm

AC=6cm

故选C.

考点：相似三角形的判定和性质

点评：解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的对应边成比例，注意对应字母在对应位置上.

3、D

【解析】

试题分析：找到一定发生或一定不发生的事件即可.

A、阴天一定会下雨，是随机事件；

B、黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门，是随机事件；

C、打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播，是随机事件；

D、在学校操场上向上抛出的篮球一定会下落，是必然事件.

故选D.

考点：随机事件.

4、D

【解析】

直线不经过第三象限，则经过第二、四象限或第一、二、四象限，当经过第二、四象限时，函数为正比例函数，k=0

k—2<0

当经过第一、二、四象限时，\,八，解得0<k<2,

K>0

综上所述，0<k<2,故选D

5、A

【解析】

过点尸作PD_LOB于O,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得尸C=PZ),再根据垂线段最短解答即可.

【详解】

解：作尸于O,

:。尸平分NA08,PCVOA,PD±OA,

:.PD=PC=6cm,

则尸。的最小值是6cm,

故选4.

【点睛】

考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键.

6、A

【解析】

有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当的剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应

立体图形的展开图.根据立体图形表面的图形相对位置可以判断.

【详解】

把各个展开图折回立方体，根据三个特殊图案的相对位置关系，可知只有选项A正确.

故选A

【点睛】

本题考核知识点：长方体表面展开图.解题关键点：把展开图折回立方体再观察.

7、C

【解析】

由题意得到EA'=EA,经分析判断得到阴影部分的周长等于△ABC的周长即可解决问题.

【详解】

A

如图，由题意得：

DA'=DA,EA'=EA,

二阴影部分的周长=OA，+EA，+O5+CE+5G+G尸+CF

=(DA+BD)+(BG+GF+CF)+(AE+CE)

=AB+BC+AC

=l+l+l=3(cm)

故选C.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质以及折叠的问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等

量关系.

8、C

【解析】

如图，首先证明NAMO=N2,然后运用对顶角的性质求出NANM=55。；借助三角形外角的性质求出NAMO即可解决

问题.

【详解】

如图，对图形进行点标注.

,直线a〃b,

.,.ZAMO=Z2；

VZANM=Z1,而Nl=55°,

.•.ZANM=55°,

.,.Z2=ZAMO=ZA+ZANM=60°+55o=115°,

故选C.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

9、A

【解析】

已知AB〃CD〃EF,根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可.

【详解】

•；AB〃CD〃EF,

.ADBC

,*DF-C£'

故选A.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案.

10、D

【解析】

试题分析：根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可.

解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、是中心对称图形，故本选项正确；

故选D.

考点：中心对称图形.

11、B

【解析】

原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值.

【详解】

原式=-2-3=-5,

故选：B.

【点睛】

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

12、B

【解析】

根据分式的运算法则即可求出答案.

【详解】

3a-3

解：原式=7TT

(a-1)

3(a-l)

3

a—1

故选；B

【点睛】

本题考查分式的运算法则，解题关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、6n+l.

【解析】

寻找规律：不难发现，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，即：

第1个图形有8根火柴棒，

第1个图形有14=6x1+8根火柴棒，

第3个图形有10=6x1+8根火柴棒，

第n个图形有6n+l根火柴棒.

14、1

【解析】

分析：根据题意得出点B的坐标，根据面积平分得出点D的坐标，利用三角形相似可得点A的坐标，从而求出k的

值.

详解：根据一次函数可得：点B的坐标为(1,()),•••!?□平分△ABC的面积，BC=3

.••点D的横坐标1.5,...点D的坐标为VDE：AB=1：1,

...点A的坐标为(1,1),Ak=lxl=l.

点睛：本题主要考查的是反比例函数的性质以及三角形相似的应用，属于中等难度的题型.得出点D的坐标是解决这

个问题的关键.

2

15、-

3

【解析】

根据概率的概念直接求得.

【详解】

酬2

解：4+6=—.

3

2

故答案为：

3

【点睛】

本题用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

16、x<l.

【解析】

根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可.

【详解】

依题意得：1-於0且1-3邦，

解得：x<l.

故答案是：x<l.

【点睛】

本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，分式有意义的条件

是分母不等于零.

17、

【解析】

试题分析：先进行二次根式的化简，然后合并，可得原式=2、m+、j=3、。.

18、5

【解析】

•••多边形的每个外角都等于72。，

,••多边形的外角和为360。，

二360°+72°=5,

这个多边形的边数为5.

故答案为5.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、（1）32（人），25（人）；（2）-；（3）乙同学，见解析.

3

【解析】

（1）用A超市有女工人数除以女工人数占比，可求A超市共有员工多少人；先求出D超市女工所占圆心角度数，进

一步得到四个中小型超市的女工人数比，从而求得B超市有女工多少人；

（2）先求出C超市有女工人数，进一步得到四个中小型超市共有女工人数，再根据概率的定义即可求解；

（3）先求出D超市有女工人数、共有员工多少人，再得到D超市又招进男、女员工各1人，D超市有女工人数、共

有员工多少人，再根据概率的定义即可求解.

【详解】

解：（1）A超市共有员工：20+62.5%=32（人），

V360°-80°-100°-120°=60°,

.••四个超市女工人数的比为：80：100：120：60=4：5：6：3,

.♦.B超市有女工：20x*=25（人）；

4

（2）C超市有女工：20x9=30（人）.

4

四个超市共有女工：20x4+5+6+3=90（人）.

4

301

从这些女工中随机选出一个，正好是C超市的概率为一=-.

903

（3）乙同学.

3

理由：D超市有女工20x-=15（人），共有员工15+75%=20（人），

4

再招进男、女员工各1人，共有员工22人，其中女工是16人，女工占比为£=三#75%.

2211

【点睛】

本题考查了统计表与扇形统计图的综合，以及概率的知识.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

20、此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里.

【解析】

【分析】过点P作PC_LAB,则在RSAPC中易得PC的长，再在直角△BPC中求出PB的长即可.

【详解】作PC_LAB于C点，

APC=PA«cosZAPC=4073(海里)，

PC

在R3PCB中，cosZBPC=—,

PB

：.PB=—―—=40G=4076=98(海里)，

cosZ.BPCcos45°

答:此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用举例，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.

21、⑴y=\xLz=-\x+30(0<x<100)；(1)年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1115万元；⑶今

年最多可获得毛利润1080万元

【解析】

(1)利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；

(1)根据(D的表达式及毛利润=销售额-生产费用，可得出w与x的函数关系式，再利用配方法求出最值即可；

(3)首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可.

【详解】

(1)图①可得函数经过点(100,1000),

设抛物线的解析式为(中0),

将点(100,1000)代入得:1000=10000a,

解得：a=—,

故y与x之间的关系式为尸白.

图②可得：函数经过点(0,30)、(100,10),

100%+8=20

设z=fcr+Z»,则)=30

解得：<k-lo,

b=30

故Z与X之间的关系式为2=-y^x+30(0<x<100)；

(1)W=zx-v=——x1+30x——x1

1010

=-*i+30x

=--(x1-150x)

5

=--(x-75)*4-1115,

5

V--<0,

5

.,.当x=75时,W有最大值1115,

.•.年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1115万元；

(3)令y=360,得《r=360,

解得：x=±60(负值舍去)，

由图象可知，当0〈底360时，0〈烂60,

由W=-：(x-75)1+1115的性质可知，

当0VXW60时，W随x的增大而增大，

故当x=60时，W有最大值1080,

答：今年最多可获得毛利润1080万元.

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，注意二次函数最值的求法，一般用配方法.

22、-9<x<l.

【解析】

先求每一个不等式的解集，然后找出它们的公共部分，即可得出答案.

【详解】

解不等式1(x-1)<2x,得：x<l,

解不等式名-乎VI，得：x>-9,

则原不等式组的解集为-9<x<l.

【点睛】

此题考查了解一元一次不等式组，用到的知识点是解一元一次不等式组的步骤，关键是找出两个不等式解集的公共部

分.

23、(1)A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；(2)当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800

本，B类图书购进200本，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类

图书购进400本，利润最大.

【解析】

(1)先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可.

(2)先设购进A类图书f本，总利润为w元，则购进B类图书为(1000-力本，根据题目中所给的信息列出不等式组,

求出f的取值范围，然后根据总利润w=总售价-总成本，求出最佳的进货方案.

【详解】

解：(D设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，

根据题意可得——54010=54"0,

x1.5%

化简得：540-10x=360,

解得：x=18,

经检验：x=18是原分式方程的解，且符合题意，

则A类图书的标价为：1.5x=1.5xl8=27(元),

答：A类图书的标价为27元，8类图书的标价为18元；

(2)设购进A类图书，本，总利润为w元，A类图书的标价为(27田)元(0<a<5),

■|8Z+12(1000-Z)<I6800

由题意得，\/>600,

解得：600</<800,

则总利润卬=(27-4-18)t+(18-12)(1000-/)

=(9-a)t+6(1000-Z)

=6000+(3-a)t,

故当0Va<3时，3-a>0,f=800时，总利润最大，且大于6000元；

当a=3时，3-a=0,无论f值如何变化，总利润均为6000元；

当3<aV5时，3-a<0,f=600时，总利润最大，且小于6000元；

答：当A类图书每本降价少于3元时，4类图书购进800本，8类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降

价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，8类图书购进400本时，利润最大.

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在

于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解.

24、(1)72°(2)6.03米

【解析】

分析：延长ED,AM交于点P,由NCDE=162。及三角形外角的性质可得出结果;⑵利用解直角三角形求出PC,再利

用PC+AC-EF即可得解.

详解：(1)如图，延长ED,AM交于点P,

'JDE//AB,MA±AB

AEP±MA,即NMPO=90。

,:ZCDE=162°

AZMCD=1620-90=72°

(2)如图，在RtAPCD中，CD=3>米，ZMCD=72°

二PC=CDcosNMCD=3-cos720»3x0.31=0.93米

•.,4C=5.5米，Ef=0.4米，

:.PC+AC-EF=0.93+5.5-0.4=6.03

答:摄像头下端点尸到地面A8的距离为6.03米.

点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解决此类问题要了解角之间的关系，找到已知和未知相关联的的直角三角形,

当图形中没有直角三角形时，要通过作高线或垂线构造直角三角形.

25、(106-4)米

【解析】

延长OC,AB交于点P,△PCB^APAO,根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题.

【详解】

解：如图，延长OC,48交于点尸.

'：ZABC=12d°,

：.ZPBC=60°,

■