第三章-第4节-4.2-第1课时

2023/12/27第三章第4节4.2第1课时学习目标1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x＋3y②的最大值.以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念.知识点一线性约束条件及目标函数1.在上述问题中，不等式组①是一组对变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的

次不等式，故又称线性约束条件.2.在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数.因为它是关于变量x，y的

次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数.一一知识点二线性规划问题一般地，在线性约束条件下求

的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.线性目标函数知识点三可行解、可行域和最优解满足线性约束条件的解(x，y)叫作可行解.由所有可行解组成的集合叫作可行域.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫作线性规划问题的最优解.在上述问题的图中，阴影部分叫

，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个

，其中能使②式取得所求最值的可行解称为

.可行域可行解最优解[思考辨析判断正误]1.可行域内每一个点都满足约束条件.(

)2.可行解有无限多个，最优解只有一个.(

)3.不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.(

)√××题型探究类型一最优解问题解答解设区域内任一点P(x，y)，z＝2x＋3y，此时2x＋3y＝14.反思与感悟图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤(1)确定线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出可行域；(3)平移——平移目标函数对应的直线z＝ax＋by，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.解析

约束条件所表示的可行域如图阴影部分所示.当直线x＋2y＝0平移到经过点(0,1)时，x＋2y取到最大值2.答案解析√解答解作出可行域如图阴影部分所示.作直线l：2y－2x＝0，即y＝x，平移直线l，当l经过点A(0,2)时，zmax＝2×2－2×0＋4＝8；当l经过点B(1,1)时，zmin＝2×1－2×1＋4＝4.反思与感悟

(1)求ax＋by＋c的最值，只需求ax＋by的最值，最后加上常数c.跟踪训练2已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围.解答当直线截距最大时，z的值最小.由图可知，当直线z＝2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小.∴zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.当直线z＝2x－3y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大.∴zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7.∴－5≤2x－3y≤7，即2x－3y的取值范围是[－5,7].类型二问题的最优解有多个解答解约束条件所表示的平面区域如图(阴影部分)，由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.当a＝0时，最优解只有一个，过A(1,1)时取得最大值；当a＞0，y＝－ax＋z与x＋y＝2重合时，最优解有无数个，此时a＝1；当a<0，y＝－ax＋z与x－y＝0重合时，最优解有无数个，此时a＝－1.综上，a＝1或a＝－1.反思与感悟当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解.跟踪训练3给出平面可行域(如图阴影部分所示)，若使目标函数z＝ax＋y取最大值的最优解有无穷多个，则a等于解析答案√达标检测1234√解析

画出可行域如图阴影部分(含边界)所示.答案解析1234解析答案解析

作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.√3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的值为A.－3 B.3C.－1D.11234解析答案√1234解析答案√1234解析

作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，由z＝3x－y，可得y＝3x－z，则－z为直线y＝3x－z在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合图形可知，当直线y＝3x－z平移到B时，z最小，平移到C时，z最大，1.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；(3)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值