集合的表示及运算

PAGEPAGE4集合的表示及运算浙江省义乌市第四中学（322000）陈金跃一、考情预报1考情分析：集合知识是历年必考的内容之一.其特征有：①题型单一，主要以选择填空题为主，但小题中也蕴涵着丰富的小知识点，如集合的含义与表示，集合间的基本关系，集合的基本运算等；②内容基础，以单纯考查集合知识为主，并且是整卷开篇的一些基础题，与课本的要求、难度相当，但在基础中也考能力，即考查理解能力、转化能力和运算能力等；③渗透广泛，因为集合是整个高中数学知识的基础语言和有力工具，所以它可渗透于高中数学的各个角落，如函数的定义域、值域，方程、不等式的解集，排列、组合等.2高频考点：(1)集合的表示法：列举法，描述法，图示法；(2)集合的基本运算：并集，交集，补集.从近几年浙江省自主命题的高考文科数学试题来看，其规律为：集合的并、交、补运算是考查的核心，当然集合的表示法体现于运算之中，并且用列举法表示集合时考查的集合运算是混合运算（如04，05，07年集合试题），用描述法表示集合时考查的集合运算只是一种运算（如06，08年集合试题）.集合的运算具有其独特的规则，所以转化集合的表示，使之简单化、具体化、直观化是成功运算的关键.二、考点精析1集合表示在集合的表示方法中，列举法具体、描述法本质、图示法直观，所以要根据元素的特征和问题的需要，选择适当的方法表示集合；反之，在识别集合时，首先要确定它是数集还是点集，其次在用描述法表示集合时，要明白代表元素的重要作用.例1有如下四个命题：①方程的解集可以表示为；②不等式的解集表示为；③表示二次函数自变量组成的集合；④，.其中正确的个数是()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解：①是数集，有限集，用列举法表示正确；②是数集，无限集，但用符号表示时不能再用大括号，从而错误；③代表元素是，所以集合表示函数的值域而不是函数的定义域，从而错误；④是点集，关系正确.故选(B).点评：集合的本质是元素，只有明确集合中的元素是什么、有多少，才能选择适当的方法表示集合；要明白代表元素的重要作用就是要明白集合中的元素是方程的解还是不等式的解，是自变量还是因变量，等等.趁热打铁1：有如下四个命题：①方程的解集可以表示为；②不等式的解集表示为；③表示二次函数自变量组成的集合；④，.其中正确命题的序号是.2子集关系一方面，判断集合与集合之间的包含关系，可以转化为元素与集合之间的从属关系，所以子集关系的本质还是元素问题；另一方面，要特别注意关系符号的意义和区别.例2已知集合，则下列集合与集合之间的关系正确的是()(A)(B)(C)(D)解：在集合中，∵且，只有-1，0，1这三个元素，∴它可用列举法表示为，从而排除(B)(D)；又符号用错，从而排除(A).故选(C).点评：将各表示方法进行相互转化，使之转化为最简洁的表示，可以认清它们之间的联系与区别，从而更容易揭示集合与集合之间的包含关系.趁热打铁2：已知集合，则下列关系中不正确的是()(A)(B)(C)(D)解：当时，；当时，.故函数的定义域是取其并集为，值域是取其并集为.点评：分段函数只是一个函数，但又总是分段求解，而分段函数的定义域和值域是各段相应范围之间的“或”的关系，则最后结论取其并集.趁热打铁6：函数的定义域是，值域是.三、考能训练1.设集合，有下列关系式：；；；；.其中正确的个数有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.已知集合，，则()(A)(B)(C)(D)3.设全集，，，则右图中阴影表示的集合为()(A)(B)(C)(D)4.已知集合，，若，则()(A)(B)(C)(D)不能确定5.已知全集，，则的真子集的个数是()(A)3个(B)4个(C)7个(D)8个6.已知集合，，则集合()(A)(B)7.已知集合中含有5个元素，集合中含有8个元素，若含有3个元素，则含有个元素.8.设集合，，则.9.已知集合，且，，求实数的取值范围.10.设全集，，，求：(1)；(2)；(3)；(4)趁热打铁答案：1.②③④2.D3.A4.C5.B6.，答案提示：1.①方程的解集是空集，但空集用符号表示时不能再加大括号，所以错误；②③④都正确.2.由是任何集合的子集，得正确；由，得正确；由，得正确；由但，得错误.3.把集合用数轴表示出来，即得.4.把集合分别转化为，，则.5.先求得6.当时，；当时，.故函数的定义域为，值域为.考能训练答案：1.D2.A3.B4.C5.C6.D7.108.9.10.(1)；(2)；(3)；(4)答案提示：1.由1不是集合中的元素，得错误；其它都正确.2.把集合用数轴表示出来，即得.3.把集合转化为，，所以阴影部分为.4.由，得，从而，即集合，故.5.由条件得其真子集为，