第01讲 为什么要证明、定义与命题(5类热点题型讲练)（原卷版）

第01讲为什么要证明、定义与命题(5类热点题型讲练)1.了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理；2.会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确；3.理解定义、命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果..--那么”的形式；4.了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对假命题举反例；5.了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理；6.体会命题证明的必要性,体验数学思维的严谨性.知识点01定义与命题1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题.要点诠释：（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.知识点02证明的必要性要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.推理的过程叫做证明.知识点03公理与定理1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.题型01判断是否是命题例题：（2023秋·浙江·八年级专题练习）下列语句中不属于命题的是（

）A．两直线平行，内错角相等 B．如果，那么a、b互为相反数C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．过点A作射线【变式训练】1．（2023春·江苏无锡·七年级无锡市天一实验学校校考阶段练习）下列句子中，是命题的是（

）A．明天可能是晴天 B．这两条直线平行吗？C．过一点画已知直线的垂线 D．直角三角形两锐角互补2．（2023春·河北石家庄·七年级校考期中）下列语句不是命题的是（

）A．两点之间，线段最短 B．同角的余角不相等C．反向延长线段到C D．两个钝角一定相等题型02判断命题真假例题：（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）下列命题是真命题的是（

）A．不相交的两条直线叫做平行线B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行C．两直线平行，同旁内角相等D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【变式训练】1．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）下列命题是真命题的是（）A．在平面直角坐标系中，点在轴上B．在一次函数中，随着的增大而增大C．同旁内角互补D．若，则2．（2023秋·山西临汾·八年级校考期中）下列命题是假命题的是（

）A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余C．全等三角形的周长相等 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补题型03写出命题的题设与结论例题：（2023秋·浙江杭州·八年级校考阶段练习）命题“对顶角相等”改写成：如果，那么．【变式训练】1．（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考阶段练习）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：．2．（2023春·西藏那曲·七年级统考期末）命题“同位角相等，两直线平行”的题设是，结论是，此命题是命题（填“真”或“假”）题型04写出命题的逆命题例题：（2023秋·浙江·八年级专题练习）命题“若，则”的逆命题是．【变式训练】1．（2023秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）命题“若两个角互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角”的逆命题是．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）命题“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是．它是命题．（填“真”或“假”）题型05用反证法证明命题例题：（2023春·全国·八年级专题练习）用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．【变式训练】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）用反证法证明：的三个内角中至少有两个锐角．2．（2023秋·八年级课时练习）用反证法证明：(1)已知：，求证：a必为负数．(2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．一、单选题1．（2023秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）下列语句是命题的是（

）A．在线段上取点C B．作直线的垂线 C．垂线段最短吗？ D．相等的角是对顶角2．（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）“过平面上两点，有且只有一条直线”属于（

）A．定义 B．定理 C．基本事实 D．以上答案都不对3．（2023秋·河北邢台·八年级邢台三中校联考阶段练习）“等角的余角相等”的逆命题是（

）A．等角的补角相等 B．如果两个角相等，那么它们的余角也相等C．如果两个角的余角相等，那么这两个角相等 D．同角的余角相等4．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）下列命题中，真命题是（

）A．有两组边相等的两个直角三角形全等B．有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等C．有两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等D．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等5．（2023秋·浙江金华·九年级校考开学考试）用反证法证明，“在中，、对边是、．若，则．”第一步应假设（

）A． B． C． D．6．（2023秋·全国·八年级专题练习）下列命题；①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；④，，是同一平面内的三条直线，若，，则；其中真命题的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题7．（2023秋·福建泉州·八年级泉州五中校考阶段练习）“若，则，”的逆命题是命题（选填“真”或“假”）．8．（2023春·广东江门·八年级校考期中）把“一个锐角的补角大于这个锐角的余角”写成“如果…那么…”的形式．9．（2023春·河南郑州·八年级期末）等边三角形三边相等的逆命题为．10．（2023秋·浙江·八年级专题练习）用反证法证明“已知，．求证：”．第一步应先假设．11．（2023春·贵州毕节·七年级校联考期中）下列四个命题：①对顶角相等；②等角的补角相等；③如果，那么；④同位角相等．其中是说法正确的有．12．（2023春·四川广元·七年级校联考期中）命题“如果实数、满足，那么”的题设是，它是命题（填“真”或“假”）．三、解答题13．（2023春·七年级课时练习）求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角．14．（2023秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）证明：如果两个三角形有两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形全等．15．（2023春·河南驻马店·七年级统考期中）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．(1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；(2