第1章 习题课1 集合的应用举例 练习 高中数学新湘教版必修第一册（2023~2024学年）

习题课1集合的应用举例【课后精练】基础训练1.已知集合A={x|x>2或x<-4},B={x|x<a},若A∪B=R,则实数a的取值范围为().A.{a|a≥-4} B.{a|a>-4}C.{a|a≥2} D.{a|a>2}【答案】D【解析】因为集合A={x|x>2或x<-4},B={x|x<a},所以要使A∪B=R,如图所示,需a>2.故选D.2.设集合A={a2,0},B={a,0,2},若A∩B={1,0},则实数a=().A.0 B.1 C.-1 D.2【答案】B【解析】因为集合A={a2,0},B={a,0,2},A∩B={1,0},所以a2=1,且B中元素a=1.故选B.3.定义集合A与B的“差集”运算:A-B={x|x∈A且x∉B}.已知A={1,2,4},B={3,4},则A-B=().A.{3} B.{1,2} C.{1,2,4} D.{1,2,3,4}【答案】B【解析】由题意得A-B={1,2}.4.(2023·扬州阶段练习)集合论是德国数学家康托尔(G.Cantor)于19世纪末创立的.在他的集合理论中,用card(A)表示有限集合A中元素的个数,例如:若A={a,b,c},则card(A)=3.若对于任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).某校举办运动会,高一(1)班参加田赛的学生有14人,参加径赛的学生有9人,两项都参加的有5人,那么高一(1)班参加本次运动会的人数共有().A.28 B.23 C.18 D.16【答案】C【解析】设参加田赛的学生组成集合A,则card(A)=14,参加径赛的学生组成集合B,则card(B)=9,由题意得card(A∩B)=5,因为card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=14+9-5=18,所以高一(1)班参加本次运动会的人数为18.故选C.5.已知全集U=R,集合A={x|0≤x≤1},B={-1,1,2,4},则阴影部分表示的集合为().A.{-1,4} B.{1,2,4} C.{1,4} D.{-1,2,4}【答案】D【解析】由题图知,阴影部分为(UA)∩B,因为UA={x|x<0或x>1},且B={-1,1,2,4},所以(UA)∩B={-1,2,4}.故选D.6.定义集合A*B={x|x∈A且x∉B}.若A={1,2,3,4,5},B={2,4,5},则A*B的子集个数为.

【答案】4【解析】由题意知A*B={x|x∈A且x∉B}={1,3},故A*B的子集有⌀,{1},{3},{1,3},共4个.7.已知全集U=R,集合A={x|x<a},B={x|-1<x<2},则UB=;若A∪(UB)=R,则实数a的取值范围是.

【答案】{x|x≤-1或x≥2}[2,+∞)【解析】∵全集U=R,B={x|-1<x<2},∴UB={x|x≤-1或x≥2}.∵A={x|x<a},A∪(UB)=R,∴a≥2,∴实数a的取值范围为[2,+∞).能力拔高8.定义集合的商集运算为BA=xx=nm,m∈A,n∈B,已知集合A={2,4,6},B=xx=k2-1,k∈A,则集合BA∪B中的元素的个数为().A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】因为集合A={2,4,6},B=xx=k2-1,k∈A,所以B={0,1,2},则BA=0,所以BA∪B=0,所以集合BA∪B中共有7个元素9.(多选题)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},则使得(RA)∩B=⌀成立的实数m的取值范围可以是().A.{m|-3≤m≤4} B.{m|m>2}C.{m|2<m<4} D.{m|m≤4}【答案】ACD【解析】∵(RA)∩B=⌀,∴B⊆A.当m+1≥2m-1,即m≤2时,B=⌀,满足B⊆A.当m+1<2m-1,即m>2时,由B⊆A得m+1≥-2,2m-1≤7,解得2<m≤4综上所述,实数m的取值范围为{m|m≤4}.故符合题意的集合为{m|m≤4}的子集,ACD满足题意.10.若x∈A,且1x∈A,就称A是伙伴关系集合.集合M=-1,0,12,1,2,4的所有非空子集中,伙伴关系集合的个数为.

【答案】7【解析】由题意可知,满足条件的集合有{-1}、{1}、2,12、{-1,1}、-1,2,12、1,2,12、-1,1,2,12,共7个.11.定义满足“如果a∈A,b∈A,那么a±b∈A,且ab∈A,ab∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”,则数集N,Z,Q,R中是“闭集”的有【答案】Q,R【解析】数集N,Z都不是“闭集”.例如,3∈N,2∈N,而32=1.5∉N;3∈Z,-2∈Z,而3-2=-1.5∉Z,故N,Z都不是“闭集数集Q,R都是“闭集”.由于两个有理数a与b的和(差)、积、商,即a±b,ab,ab(b≠0)仍都是有理数,故Q是“闭集”.同理,R也是“闭集”12.国庆节期间,某校要求学生在《长津湖》、《中国机长》、《攀登者》三部电影中至少观看一部并写出观后感.高一某班50名学生全部参与了观看,其中只观看《长津湖》的有10人,只观看《中国机长》的有10人,只观看《攀登者》的有10人,既观看《长津湖》又观看《中国机长》的有7人,既观看《长津湖》又观看《攀登者》的有12人,既观看《中国机长》又观看《攀登者》的有9人,则三部都观看的学生有人.

【答案】4【解析】设观看《长津湖》的学生的集合为A,观看《中国机长》的学生的集合为B,观看《攀登者》的学生的集合为C.根据题意,作出集合对应的Venn如下所示.设三部都观看的学生有x人,则10+(7-x)+10+(9-x)+10+(12-x)+x=50,解得x=4.即三部电影都观看的学生有4人.思维拓展13.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+(a-1)=0},非空集合C={x|x2-bx+2=0},问是否存在同时满足B⫋A,C⊆A的实数a,b?若存在,求出a,b的所有取值;若不存在,请说明理由.【解析】存在.易知A={1,2}.∵B⫋A,∴B=⌀或B={1}或B={2}.∵在关于x的方程x2-ax+(a-1)=0中,Δ=a2-4(a-1)=(a-2)2≥0,∴B≠⌀.若B={1},由根与系数的关系,得1+1=a,解得a=2;若B={2},由根与系数的关系,得2+