2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区胥江实验中学校九年级上册12月月考数学试题（含解析）

2023-2024学年第一学期初三数学课堂作业一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．有一组数据：11，11，12，15，16，则这组数据的中位数是（

）A．11 B．12 C．15 D．162．抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．3．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围为（

）A． B． C． D．4．已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，的半径可取的值为（）A．4 B．5 C．6 D．75．如图，在中，，平分，则的度数为（）

A． B． C． D．6．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于D，交BC于E，连接AE，则下列结论中不一定正确的是（）A．AE⊥BC B．BE=EC C．ED=EC D．∠BAC=∠EDC7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（）A．125° B．115° C．100° D．130°8．如图，在⊙O中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交⊙O于点D，则的最大值为（）A．5 B．2.5 C．3 D．29．如图，抛物线与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点．当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（

）A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）11．一只蚂蚁在一块黑白两色的正六边形地砖上任意爬行，并随机停留在地砖上某处，则蚂蚁停留在黑色区域的概率是．12．一元二次方程x2＝5x的解为．13．二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是．14．如图，的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆圆心的坐标为．15．江南水乡苏州现存100多座石拱桥，已知（如图）一石拱桥的桥顶到水面的距离为，桥拱半径为，则水面宽．16．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是．17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，若AD＝5，BE＝12，则△ABC的周长为．18．在中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则最小值为．三、解答题（共7题，共76分）19．解方程：①；②．20．已知关于x的方程x2-（m+3）x+m+1＝0．（1）求证：不论m为何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）若方程一根为4，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长．21．已知二次函数的图像经过（－1，0），（0，2），（1，0）三点．(1)求该二次函数的表达式；(2)当时，y的取值范围是______．(3)将该函数的图像沿直线x＝1翻折，直接写出翻折后的图像所对应的函数表达式．22．如图，中，，以为直径作，分别交，于点，，过点作，交于点，垂足为，连接．(1)若，求的度数；(2)若，，求弦的长．23．如图，是的直径，点F，C是上两点，且，连接，，过点C作，交的延长线于点D，垂足为D．

(1)求证：是的切线；(2)若，求的长度；24．如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为．(1)求点的坐标；(2)已知，为抛物线与轴的交点．①求抛物线的解析式；②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值；③求面积的最大值．25．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．（1）当t＝1时，⊙M的半径是cm，⊙M与直线CD的位置关系是；（2）在点P从点A向点B运动过程中．①圆心M的运动路径长是cm；②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．参考答案与解析1．B【分析】根据中位数的定义，即可求解．【详解】解：根据题意得：把这一组数据从大到小排列后，位于正中间的数为12，∴这组数据的中位数是12．故选：B【点睛】本题主要考查了求中位数，熟练掌握把这一组数据从小到大（或从大到小）排列后，位于正中间的一个数或两个数的平均数是中位数是解题的关键．2．A【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．【详解】解：∵，∴此函数的顶点坐标为（3，1），故选：A．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h．3．C【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，∴，解得：故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．4．A【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆的位置关系可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键．【详解】解：，，或，，，的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，，与直线相离，的半径，即，故选：A．5．D【分析】由圆周角定理可得，由角平分线的性质可得，得到答案．【详解】解：，，平分，，故选：D．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质，熟练掌握圆周角定理、角平分线的性质，是解题的关键．6．D【分析】根据圆周角定理和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】∵AB为⊙O的直径，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∠BAE=∠CAE，∴，∴ED=EC，∴∠EDC=∠B，故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．7．A【分析】利用三角形内心性质得到∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，则根据三角形内角和得到∠OBC+∠OCB＝（180°﹣∠A），然后利用三角形内角和得到∠BOC＝90°+∠A，再把∠A＝70°代入计算即可．【详解】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝180°+×70°＝125°．故选：A．【点睛】本题考查了三角形内心的定义：三角形的内心是角平分线的交点和内心的性质：三角形内角∠BOC＝90°+∠A.8．B【分析】连接，根据勾股定理求出，利用垂线段最短得到当时，最小，根据垂径定理计算即可．【详解】连接，如图，∵，∴，∴，∵是圆的半径，长度不变，∴当的值最小时，的值最大，而时，最小，此时D、B两点重合，∴，即的最大值为2.5，故选：B．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．9．D【分析】由二次函数图象的性质逐一判断．【详解】解：开口向上则，与y轴交点在原点下方，，故①正确；对称轴为，与x轴一个交点是（4，0），则另一个交点为，则点在x轴下方，故②正确；时，图象在对称轴右侧，开口向上，y随x的增大而增大，故③正确；图象与x轴有两个交点，则关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图像，对称轴，增减性，与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图像与各系数的关系，对称轴，增减性是解题的关键．10．D【分析】由等腰三角形的性质可求ON=1，FO=OB=GO=OH=2，则点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，由勾股定理可求GH，即可求解．【详解】如图，连接BO，EO，FO，GO，HO，过点O作ON⊥EF于N，OP⊥GH于P，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°∴∠EOF=120，∵OE=OF，ON⊥EF，∠OEF=∠OFE=30°EN=FN=，OF=2ON，FN=ON，ON=1，FO=2，OB=GO=OH=2，∴点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，∴OG=OH，OP⊥GH，∴GH=2PH，∵PH=∵动点E从点D向点A运动时，OP的长是先变小再变大，∴GH的长度是先变大再变小，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，确定点O的运动轨迹是解题的关键．11．【分析】设该正六边形地砖的面积为6，则黑色区域的面积为2，再由概率公式计算，即可求解．【详解】解：设该正六边形地砖的面积为6，则黑色区域的面积为2，∴蚂蚁停留在黑色区域的概率是．故答案为：【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）；P（不可能事件）是解题的关键．12．，【分析】首先移项，再分解因式，通过计算，即可得到答案．【详解】x2＝5x移项，得分解因式，得：∴，故答案为：，．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．13．【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，∴与x轴的另一个交点坐标为，∴时，x的取值范围为：，故答案为：．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大．14．【分析】根据三角形的外心是三边中垂线的交点，由的坐标可知，圆心M必在直线上；由图知：的垂直平分线正好经过，由此可得到．【详解】解：设的外心为M，，∴M必在直线上，由图知：的垂直平分线过，故，故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握三角形的外心是三边中垂线的交点、确定圆心的位置是解题的关键．15．【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，则，由垂径定理可得，求出，再利用勾股定理计算出，即可得解，熟练掌握垂径定理及勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．【详解】解：如图，连接，则，，，，，，，故答案为：．16．【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质，连接，证明是等边三角形得出，再根据圆内接四边形对角互补，进行计算即可得出答案，熟练掌握等边三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质，是解此题的关键．【详解】解：如图，连接，，，，是等边三角形，，四边形是的内接四边形，，，故答案为：．17．40【分析】利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理得出答案．【详解】解：连接EO，DO，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊥BC，OD⊥AC，BF＝BE＝12，AD＝AF＝5，EC＝CD，又∵∠C＝90°，∴四边形ECDO是矩形，又∵EO＝DO，∴矩形OECD是正方形，设EO＝x，则EC＝CD＝x，在Rt△ABC中BC2+AC2＝AB2故（x+12）2+（x+5）2＝172，解得：x＝3(负值已舍)，∴△ABC的周长＝8+15+17＝40．故答案为：40．【点睛】本题主要考查了三角形内切圆与内心，切线长定理，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．18．【分析】如图所示，连接OP，取OC中点为M，连接PM，BM，证明，得到，则，即可推出，故当点B、P、M三点共线时，最小值为BM，由此求解即可．【详解】解：如图所示，连接OP，取OC中点为M，连接PM，BM，∵圆O半径为4，点P为劣弧CD上一动点，∴OC＝OP＝4，又∵点M为OC中点，∴，∵，∠MOP＝∠POA，∴，∴，∴，∴，当点B、P、M三点共线时，最小值为BM，∵∠AOB＝90°，∴，又OM＝2，OB＝10，∴，∴最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质，正确作出辅助线是解题的关键．19．①，；②【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、解分式方程，熟练掌握解题方法与解题步骤是解此题的关键．①利用因式分解法解一元二次方程即可；②先去分母，将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可．【详解】解：①，，即，或，，；②，，去分母得：，整理得：，解得：，，当时，，符合题意，当时，，故不符合题意，原方程的解为．20．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据判别式即可求出答案．（2）将x＝4代入原方程可求出m的值，求出m的值后代入原方程即可求出x的值．【详解】解：（1）由题意可知：△＝（m+3）2﹣4（m+1）＝m2+2m+5＝m2+2m+1+4＝（m+1）2+4，∵（m+1）2+4>0，∴△＞0，∴不论m为何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）当x＝4代入x2﹣（m+3）x+m+1＝0得解得m＝，将m＝代入x2﹣（m+3）x+m+1＝0得∴原方程化为：3x2﹣14x+8＝0，解得x＝4或x＝腰长为时，，构不成三角形；腰长为4时，该等腰三角形的周长为4+4+＝所以此三角形的周长为.【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练的掌握一元二次方程的解法是解题的关键.21．(1)(2)(3)【分析】（1）根据（－1，0），（1，0）两点可得顶点坐标为（0，2），设顶点式代入点坐标即可；（2）求出对称轴，判断出对称轴在内，故在对称轴处取最大值，端点处取最小值；（3）图像沿直线x＝1翻折，不变，顶点坐标变为，代入顶点式即可．【详解】（1）解：根据题意，可得图像顶点坐标为（0，2），设二次函数的表达式为．将（1，0）代入，求得，∴．（2）解：对称轴为轴，且开口向下当时，有最大值2（能取到）当时，有最小值（取不到）y的取值范围是：（3）解：顶点坐标变为所以表达式为：（或，）【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要知识点有：求最值、待定系数法求表达式、点的轴对称等，熟记二次函数的相关性质是解题关键．22．(1)(2)24【分析】本题考查了垂径定理，掌握定理并灵活运用是解题的关键，（1）根据等腰三角形的性质可得，进而求出，根据垂径定理可得，从而求出的度数；（2）连接，已知，则，则，已知，则，在中利用勾股定理求出，即可求出．【详解】（1）解：，，，，，，，，，，；（2）连接，，，，，，，，，，在中，，，即弦的长为24．23．(1)见解析(2)4【分析】（1）连接，先得到，又，有，从而证得，，又，有，从而证得结论．（2）根据，得出，从而得到，从而得到，在中，设，则，根据构造方程求解即可．【详解】（1）证明：连接，如图，

∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切线；（2）解：∵为直径，∴，∵，∴，∴，∴由（1）得，，在中，，在中，设，则，∴，即：，解得，∴的长为.【点睛】本题考查了切线的判定定理，解直角三角形，作出辅助线，找到相等角的关系，并求出特殊角是求解此题的关键．24．(1)点的坐标为(2)①；②；③【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，二次函数的性质，三角形的面积、线段长度问题，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．（1）由题意得出两点关于直线对称，由此即可得出答案；（2）①由待定系数法求解即可；②先由待定系数法求出直线的解析式，设，则，表示出，由二次函数的性质即可得出答案；③表示出，由此即可得出答案．【详解】（1）解：对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，两点关于直线对称，点的坐标为，点的坐标为；（2）解：①当时，抛物线的对称轴为直线，，即，，，将代入得：，解得：，抛物线的解析式为：；②在中，当时，，，设直线的解析式为：，将，代入得：，解得：，直线的解析式为：，如图，，设，则，，当时