2024届四川省遂宁市高三上学期零诊考试数学（理）试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat16页2024届四川省遂宁市高三上学期零诊考试数学（理）试题一、单选题1．若复数，则z的虚部是（

）A． B． C．1 D．－1【答案】D【分析】由复数除法运算可求得z，根据复数定义确定z的虚部．【详解】因为，所以z的虚部为－1．故选：D2．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求解即得.【详解】由不等式，得，解得，因此，而，所以.故选：C3．“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】通过求解函数和符合条件的的取值，即可得出结论.【详解】由题意，在中，当函数在上单调递减时，，在中，函数是偶函数，∴，解得：，∴“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的必要不充分条件，故选：B.4．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数图象判断其导数的正负情况，即可求得答案.【详解】由函数的图象可知当或时，；当时，，等价于或，故不等式的解集为，故选：A5．等差数列​中，​，则（

）A．60 B．30 C．10 D．0【答案】B【分析】本题可由等差数列的性质即中项公式来求解.【详解】等差数列​中，,即,.故选：B.6．函数的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值求得正确答案.【详解】的定义域为，是奇函数，图象关于原点对称，排除CD选项.，排除A选项，所以B选项正确.故选：B7．某数学兴趣小组到观音湖湿地公园测量临仙阁的高度.如图所示，记为临仙阁的高，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点.现测得.，m，在点处测得塔顶的仰角为30°，则临仙阁高大致为（）m（参考数据：）A．31.41m B．51.65m C．61.25m D．74.14m【答案】C【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可．【详解】依题意，中，，所以由正弦定理得，即，解得，在中，，即．故选：C.8．已知为第二象限角，若则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识求得正确答案.【详解】，由于是第二象限角，所以，所以.故选：A9．记为等比数列的前项和，若，则（

）A．6 B． C． D．18【答案】D【分析】设等比数列的公比为，根据条件即可求得，进而求得，利用，即可求得答案.【详解】设等比数列的公比为，若，则由得，不合题意；故，则由得，则，所以，因为，所以，所以，故选：D10．函数的图象恒过点，函数的定义域为，，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可知，当时，即可求出定点坐标，即可求得的解析式，进而可得的解析式，再结合抽象函数的定义域求得的定义域，结合函数的单调性即可求解.【详解】当时，即，则，所以恒过定点，则，定义域为，由，得，则的定义域为，则，又在上单调递增，则在上单调递增，则，，所以函数的值域为.故选：C11．如图，△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】以为基底表示出，根据可求m的值，再根据数量积的运算律计算即可．【详解】，，设，则，又，，，解得，，．故选：B12．已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据正弦函数和余弦函数单调性得到，再构造函数，得到其单调性，得到，构造函数，求导得到其单调性，得到，结合对数函数单调性得到，比较出大小.【详解】因为，而在上单调递减，故，又在上单调递增，故，令，则在上恒成立，故在上单调递增，，故，即，故，又，令，则，当时，，单调递减，故，故，因为，所以，即，因为在上单调递增，故，又，故，故故选：D【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.二、填空题13．已知向量，向量，则.【答案】【分析】先进行向量的加减坐标运算，再利用向量模的坐标公式求解即可.【详解】由已知向量，向量，得，则.故答案为：14．若实数、满足约束条件，则目标函数的最大值为.【答案】【分析】先根据约束条件作出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，最大值即可．【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，得点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.故答案为：.【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.15．已知函数若实数满足则的最大值为【答案】2【分析】根据函数的解析式可求得，再根据指数函数的性质判断函数的单调性，则又可得，结合基本不等式求最值即可.【详解】函数的定义域为，则所以又，函数在上为增函数，函数在上为增函数，所以函数在上为增函数，当实数满足，可得，即，又当时，有最大值，且，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为.故答案为：.16．已知函数的图象对称中心为且过点，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且为函数的一个极大值点.若方程在上的所有根之和等于2024，则满足条件中整数的值构成的集合为【答案】【分析】先求得，然后求得，【详解】依题意，函数的图象对称中心为且过点，所以，解得，所以.由于函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且为函数的一个极大值点，所以，则，由于，，所以，所以，，关于对称，对于区间，有，由于和的图象都关于对称，所以和的交点也关于对称，由于方程在上的所有根之和等于2024，所以方程在上一共有个根，也即和的图象有个交点，则当时，和的图象有个交点，通过观察图象可知，与的图象在区间上分别有个交点，所以或，解得或，所以整数的值构成的集合为.故答案为：.【点睛】思路点睛：求解，也即根据已知条件求得和，求主要是根据三角函数的周期来求，根据列方程，即可求得；而一般是通过某个特殊值来求.求解方程的根的问题，可转化为两个函数图象交点来进行研究.三、解答题17．已知．(1)求函数在上的单调增区间；(2)将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，由正弦型函数即可求函数在上的单调增区间；（2）根据三角函数的图象变换与函数的对称性即可得所求.【详解】（1），.因为，，所以，故函数在单调增区间为；（2）将向左平移个单位得到将纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍得到，又因为的图象关于直线对称，则，解得：因为，所以当时，，故.18．已知数列的前项和满足，，为数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)求使成立的的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退一相减法求数列通项；（2）利用裂项相消法求和，解不等式.【详解】（1）当时，，当时，，，综上所述，；（2）由（1）得，当时，.故，要使，即，解得，又，故取最大值为.19．在中，内角，，的对边分别为，，，且，．(1)若边上的高等于1，求；(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由正弦定理求出，注意到，由此可以求出，最终由余弦定理即可求解.（2）先由正弦定理以及恒等变换表示，结合已知条件可以求出的范围，且注意到，由此即可得解.【详解】（1）由正弦定理，，所以，则，又，所以，因为，所以，解得，又由余弦定理，，解得，所以．（2）由正弦定理有，且由（1）可知，所以，又因为锐角，所以，解得，所以，所以，所以，所以面积的取值范围是．20．已知函数和分别是函数的极大值点和极小值点(1)若，求函数的极值，并判断其零点个数；(2)求的取值范围.【答案】(1)极大值为，极小值为，有1个零点(2)【分析】（1）利用导数求得的极值，结合零点存在性定理求得零点个数.（2）根据根与系数关系化简求得的取值范围.【详解】（1）若，则令，解得.当变化时，的取值情况如下：++单调递增极大值单调递减极小值单调递增且.根据零点存在定理可得：在有一个零点，所以函数的极大值为，极小值为，且有1个零点（2），由题意知，是方程的两个不等实根，且，，，或.由韦达定理知，，，所以其中，令，则，因为在单调递增...所以的取值范围是.【点睛】求解函数极值的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间；（5）根据单调区间求得函数的极值.21．设，，(1)试讨论的单调性(2)若恒成立，求的取值范围【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；(2).【分析】（1）讨论、，利用导数研究函数的单调性即可；（2）将不等关系化为，令并应用导数研究单调性求值域，进而化为在上恒成立，应用导数求右侧最大值，即可得范围.【详解】（1）由，则.当时，，所以在上单调递减.当时，令，得，此时在上单调递减，在上单调递增.（2）由题意，，则，即，.令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，由，即，令，则恒成立，则在单调递减，所以，.所以，因此，a的取值范围是.【点睛】关键点点睛：第二问，将不等式化为，并研究的范围，最后转化为研究在上恒成立为关键.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且），曲线与坐标轴交于两点.(1)求的面积；(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求以为直径的圆的极坐标方程.【答案】(1)6(2).【分析】（1）利用曲线的参数方程，利用关系式的应用求出点和的坐标，进一步求出的面积；（2）利用（1）的结论，进一步求出圆的圆心坐标和圆的半径，进一步求出圆的方程，最后转换为极坐标方程．【详解】（1）令，则，解得（舍）或，则，即令，则，解得或（舍），则，即.；（2）由（1）可知圆心坐标为，半径为则以为直径的圆的方程为，