向量积数量积混合积高等数学

*三、向量的混合积第二节一、两向量的数量积二、两向量的向量积机动目录上页下页返回结束数量积向量积*混合积

第七章1整理ppt一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为

,称

记作数量积(点积).引例.

设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F

所做的功为机动目录上页下页返回结束2整理ppt记作故2.性质为两个非零向量,那么有

机动目录上页下页返回结束3整理ppt3.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;机动目录上页下页返回结束4整理ppt例1.

证明三角形余弦定理证:那么如图.设机动目录上页下页返回结束5整理ppt4.数量积的坐标表示设那么当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得机动目录上页下页返回结束6整理ppt例2.三点

AMB.解:那么求故机动目录上页下页返回结束7整理ppt为

).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例3.

设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域,与该平面域的单位垂直向量解:单位时间内流过的体积的夹角为且为单位向量机动目录上页下页返回结束8整理ppt二、两向量的向量积引例.

设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规那么矩是一个向量

M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F

作用在杠杆上的力机动目录上页下页返回结束9整理ppt1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规那么模:向量积,

称引例中的力矩思考:

右图三角形面积S＝机动目录上页下页返回结束10整理ppt2.性质为非零向量,那么∥∥3.运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明:机动目录上页下页返回结束11整理ppt4.向量积的坐标表示式设那么机动目录上页下页返回结束12整理ppt向量积的行列式计算法(行列式计算见P339～P342)机动目录上页下页返回结束13整理ppt例4.三点角形

ABC

的面积解:如下图,求三机动目录上页下页返回结束14整理ppt一点M

的线速度例5.设刚体以等角速度

绕l

轴旋转,导出刚体上的表示式.解:

在轴l

上引进一个角速度向量使其在l

上任取一点O,作它与那么点M离开转轴的距离且符合右手法那么的夹角为

,

方向与旋转方向符合右手法那么,向径机动目录上页下页返回结束15整理ppt*三、向量的混合积1.定义三向量称数量混合积

.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为那么其机动目录上页下页返回结束16整理ppt2.混合积的坐标表示设机动目录上页下页返回结束17整理ppt3.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)机动目录上页下页返回结束18整理ppt例6.一四面体的顶点4),求该四面体体积.解:四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故机动目录上页下页返回结束19整理ppt例7.

证明四点共面.解:

因故A,B,C,D

四点共面.机动目录上页下页返回结束20整理ppt内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:机动目录上页下页返回结束21整理ppt混合积:2.向量关系:机动目录上页下页返回结束22整理ppt思考与练习1.设计算并求夹角

的正弦与余弦.答案:2.用向量方法证明正弦定理:机动目录上页下页返回结束23整理ppt证:由三角形面积公式所以因机动目录上页下页返回结束24整理ppt

作业

P3103,4,6,7,9(1);(2),10,12第三节目录上页下页返回结束25整理ppt备用题1.向量的夹角且解：机动目录