北京中考尺规作图与理论依据讲义

中考尺规作图与理论依据讲义

基本作图

专注一对一第1页共45页郝老/p>

五种基本尺规作图图示作图原理

.作一个角等于已知角（已知）

2Na三边分别

①在Na上以点。为留心，任意长为半径作弧，交相等的两

/a的两边丁点尸、。；个三角形

②作射线ON;（）1全等；

③以点O'为留心，。尸长为半径作弧，交ON尸点全等三角

M；形对应角

*相等；

④以点M为留心，尸2长为半径作弧，交步骤③中的0(/]।

弧『点N；两点确定

一条直线

⑤过点N作射线05,N.4。为即为所求作的角

五种基本尺规作图图示作图原理

3.作已知角的平分线（已知N/05）

三边分别相等的两

①以点。为留心，适当长为半径作弧，分别交

个三角形全等；

08、04于点M、N；

全等三角形对应角

②分别以点M、N为圆心，大于为半j/vA相等;

径作弧,两弧在N408的内部相交于点P；

两点确定一条直线

③作射线0尸,0尸即为所求作的角平分线

五种基本尺规作图图示作图原理

作线段的垂直平分线（一知线段月）如

4.5到线段两端距离相

①分别以点46为圆心，大于氏为半径,4»\R等的点在这条线段

在48两侧作弧，分别交于点M、N;1N的垂直平分线匕

个11

两点确定一条直线

②作直线MN,3/N即为所求作的垂直平分线

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五种基本尺规作图图不作图原理

5.过一点作己,知直线的垂线(己知点尸和直

线/)圆弧上的点到圆心

的距离等于半径

(1)过直线上一点作己知直线的垂线

K；

①以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧的直

4B到线段两端距离相

线/上作弧,交直线，于/、6两点；

米N等的点在这条线段

②分别以点，、3为圜心，大于今43氏为半径

的垂直平分线上；

向比线附两侧作弧,分别交于点M、N；

两点确定一条M线

③作自线即为所求作的垂线

五种基本尺规作图图示作图原理

(2)过直线外一点作己知直线的垂线

①任意取一点M，使点M和点尸在直线/的两

侧；到线段两端距离相

②以点P为圆心，PM氏为半径作弧，交直线/等的点在这条线段

4M

于力、5两点；1的垂直平分线上；

③分别以点4B为留心，大于2/e长为半径■两点确定一条直线

作弧，在点M的同侧交于点N;

④作直线尸N,PN即为所求作的垂线

常添结论

1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：和一条线

段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

2、角的平分线及其性质

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角的平分线有下面的性质定理：

(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

专注一对一第3页共45页郝老/p>

（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

3、平行线公理及其推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

5三角形全等的判定定理：

边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

6等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、

底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

7、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推论：

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定

理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

8、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

9四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°o

10、四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

11推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）180°；

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12多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

13多边形的对角线条数的计算公式（）

设多边形的边数为n,则多边形的对角线条数

14、平行四边形的性质

（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

（3）平行四边形的对角线互相平分。

15、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

16、矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

17、矩形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）矩形的四个角都是直角；

（3）矩形的对角线相等；（4）矩形是轴对称图形。

18、矩形的判定

（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

19菱形1、菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

20、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形

20、菱形的判定

（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形

定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

21正方形、正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

22、正方形的性质

（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质

专注一对一第5页共45页郝老/p>

（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等

（3）正方形的对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

23、正方形的判定

（1）定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

（2）定理1：对角线相等的菱形是正方形。

（3）定理2：对角线垂直的矩形是正方形。

（4）定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。

24圆的有关定理及推论：

（1）弧、弦、圆心角之间的关系：

在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所

对应的其余各组量也分别对应相等.

（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理的推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

（3）在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.

直径或半圆所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆。

（4）圆内接四边形的性质：

圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.

（5）过不在同一直线上的三点有且只有一个圆.一个三角形有且只有一个外接圆.

三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.

三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.

（6）切线的性质：与圆只有一个公共点；

圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径.

（7）切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线.

到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.

三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.

（8）切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.

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这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.

1.（东城一模）已知锐角NAOB,如图，

（1）在射线0A上取一点C,以点。为圆心，0C长为半径作训，交射线0B于点D,连接CD：

（2）分别以点C,D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P,连接CP,DP；

（3）作射线0P交CD于点Q.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错.误.的是（）

A.CP〃OBB.CP=2QC

C.ZAOP=ZBOPDCDOP

2.（顺义一模）已知直线［及直线］外一点p.如图,

(1)在直线I上取一点A,连接PA：

(2)作PA的垂直平分线MN,分别交直线I,PA于点B,0；

(3)以。为圆心，0B长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；

(4)作直线PQ.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（)N

A.AOPQ^AOABB.PQ〃AB

C.1

AP_BQD.若PQ=PA,则APQ60

2

3.（门头沟一模）已知，如图，在菱形ABCD中.

分别以为圆心，大于:

(1)C,D

CD长为半径作弧，两弧分别交于点E,F；

(2)作直线EF,且直线EF恰好经过点A,且与边CD交于点M；

B

(3)连接BM.

根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错.误.的是（）

A.ZABC=60°B.如果AB=2,那么BM=4

C.BC=2CMD.S2S

AABM△ADM

专注一对一第7页共45页郝老/p>

4.(朝阳一模)如图，直线Ii〃l2,点A在直线11上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线

li,I2于B,C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D(不与点B重合)，连接AC,

AD,BC,CD,其中AD交I2于点E.若/ECA=40。，贝0T列^论错.误.的是()

A.ZABC=70°B.ZBAD=80°

C.CE=CDD.CE=AE

5.（平谷一模）已知锐角NAOB.如图，

(1)在射线OA上取一点C,以点。为圆心，OC长为半径作弧DE,交射线OB于点F,连接CF；

(2)以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G：

(3)连接FG,CG.作射线OG.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是()

A.ZBOG=ZAOBB.若CG=OC则NAOB=30°

C.OF垂直平分CGD.CG=2FG

6.(丰台一模)在。。中按如下步骤作图：.

(1)作。。的直径AD；

(2)以点D为圆心，DO长为半径画弧，交。。于B,C两点;

(3)连接DB,DC,AB,AC,BC.

根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是(

A.ZABD=90°B.ZBAD=ZCBD

C.AD±BCD.AC=2CD

7.(燕山一模)已知O。.如图，

(1)作。。的直径AB：

(2)以点A为圆心，AO长为半径画弧，交。。于C,D两点;

(3)连接CD交AB于点E,连接AC,BC.

根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：

①CE=DE；②BE=3AE；③BC=2CE.

所有正确推断的序号.

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1.（延庆一模）已知，如图，点A是直线I上的一点.求作：正方形ABCD,使得点B在直线I上.

（要求保留作图痕迹，不用写作法）请你说明，/BAD=90°的依据是什么？

A

2.（石景山一模）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知：如图1,直线I及直线I上一点P.

求作：直线PQ,使得PQI.~P1

图1

作法：如图2,

①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线I于点A,B；

②分别以点A,B为圆心，以大于二AB的同样长为半径作弧，两弧在直线I上方交于点Q；

2

③作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线.

根据小石设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；T——p---------5----------I

（2）完成下面的证明.

图2

证明：连接QA,QB.

VQA（①）,PA（②）,

PQI（③）（填推理的依据）.

3.（房山一模）下面是小方设计的“作一个30°角”的尺规作图过程.

已知：直线AB及直线AB外一点P.P

求作：直线AB上一点C,使得/PCB=30。.

作法：

①在直线AB上取一点M；&-B

②以点P为圆心，PM为半径画弧，与直线AB交于点M、N；

③分别以M、N为圆心，PM为半径画弧，在直线AB下方两弧交于点Q.

④连接PQ,交AB于点O.

⑤以点P为圆心，PQ为半径画弧，交直线AB于点C且点C在点。的左侧.则/PCB就是所求作的角.

根据小方设计的尺规作图过程，

专注一对一第9页共45页郝老/p>

（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：：PM=PN=QM=QN,

四边形PMQN是_________.

PQ1MN,PQ=2P0（）.（填写推理依据）

P0

•.•在RtAPOC中，sinzPCB=_=（填写数值）

PC

•,.ZPCB=30°

4.（密云一模）下面是小菲设计的“作一个角等于已知角的二倍”的尺规作封过程.

已知：4ABC中，AC>BC.

求作：ZADB,使得/ADB=2NC./\

作法：如图，AB

t

①分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M、N点，作直线MN；

-AC

2

1

②分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于P、Q点，作直线PQ,MN和PQ交

2

于点D；C

③连接AD和BD；/\

④以点D为圆心，AD的长为半径作OD.所以/ADB=2/C.A

根据小菲设计的尺规作图过程./4Vs

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接CD

：MN和PQ分别为AC、AB的垂直平分线,

ACD=AD=

.••◎D是4ABC的外接圆.

•.•点C是。D上的二篇

.••ZADB=2ZC.（）（填推理的依据）

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A

5.（西城一模）先阅读下列材料，再解答问题.

尺规作图:已知：AABC,D是边AB上一点，如图1,

求作：四边形DBCF,使得四边形DBCF是平行四边形.

小明的做法如下：

（1）设计方案

先画一个符合题意的草图，如图2,

再分析实现目标的具体方法，

依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

（2）设计作图步骤，完成作图

作法：如图3,

①延长BC至点E；

（2）分另IJ作NECP=/EBA,ZADQ=ZABE；

③DQ与CP交于点F.

二四边形DBCF即为所求.

（3）推埋论证

证明：；NECP=/EBA,

CP〃BA.

同理，DQ〃BE.

四边形DBCF是平行四边形.

请你参考小明的做法，再设计一种尺规作图的方法（与小明的方法不同），使得画出的四边形DBCF是平

行四边形，并证明.

专注一对一第11页共45页郝老/p>

（密云二模）己知：点、点在直线的两侧.

1.ABMNA

（点A到直线MN的距离小于点B到直线MN的距离）.M-N

所有正确结论的序号是.

1.（西城二模）下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的

距离相等”的尺规作图过程：

已知：△ABC.

求作：点D,使得点D在BC边上，且到AB,AC边的距离相等.

作法：如图，

作NBAC的平分线，交BC于点D.

则点D即为所求.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：作DELAB于点E,作DFLAC于点F,

VAD平分/BAC,

•••=（）（填推理的依据）.

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2.（昌平二模）在数学课上，老师提出如下问题:

已知：Na,直线I和I上两点A,B.

0

求作：RtAABC,使点C在直线I的上方，且/ABC=90。，ZBAC=Za.

小刚的做法如下：

①以Na的顶点。为圆心，任意长为半径作弧，交两边于M,N；以A为圆心，同样长为半径作弧，交

直线I于点P；

②以P为圆心，MN的长为半径作弧，两弧交于点Q,作射线AQ；

③以B为圆心，任意长为半径作弧，交直线I于E,F；

④分别以E,F为圆心，大于JLEF长为半径作弧，两弧在直线I上方交于点G,作射线BG；

2

⑤射线AQ与射线BG交于点C.

RtAABC即为所求.

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

连接PQ.

在△OMN和AAOP中，

VON=AP,NM=PQ,OM=AQ,

.♦.△OMN丝△AQP（）.（填写推理依据）

.\ZPAQ=ZO=a.

VCE=CF,BE=BF,

ACB±EF（）.（填写推理依据）

专注一对一第13页共45页郝老/p>

3.（门头沟二模）下面是小明同学设计的“过直线外一点作己知直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：如图1,直线I和直线I外一点P.

P.

图1

求作：直线PQ,使直线PQ〃直线I.

作法：如图2,

①在直线I上任取一点A,作射线AP；

②以P为圆心，PA为半径作弧，交直线I于点B,连接PB；

1

③以P为圆心，PB长为半径作弧，交射线AP于点C；分别以B,C:BC长为半径作弧,

为圆心，大于

在AC的右侧两弧交于点Q；

④作直线PQ；

所以直线PQ就是所求作的直线.

根据上述作图过程，回答问题:

（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形;

（2）完成下面的证明:

证明：由作图可知PQ平分/CPB,

1

/.ZCPQ=ZBPQ=ZCPB.

又,.•PA=PB,

.,.ZPAB=ZPBA.(）（填依据）.

VZCPB=ZPAB+ZPBA,

AZPAB=ZPBA=1ZCPB.

-2

AZCPQ=ZPAB.

，直线PQ〃直线l.()(填依据).

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4.（海淀二模）下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：直线I及直线I外一点P.

P-

求作：直线PQ,使得PQ//I.

作法：如图，

①在直线I外取一点A,作射线AP与直线I交于点B,p.

②以A为圆心，AB为半径画弧与直线I交于点C,连接AC,

③以A为圆心，AP为半径画弧与线段AC交于点Q,

则直线PQ即为所求.

根据小王设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：,,,AB=AC,

ZABC=ZACB,（）.（填推理的依据）

AP=________

ZAPQ=ZAQP.

•••ZABC+ZACB+ZA=180°,ZAPQ+ZAQP+ZA=180°,

，ZAPQ=ZABC.

二PQ〃BC（）.（填推理的依据）

即PQ//L

专注一对一第15页共45页郝老/p>

5.（朝阳二模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：直线I及直线I外一点P.

P

求作：直线PQ,使得PQ〃I.

作法：如图，

①任意取一点K,使点K和点P在直线I的两旁；

②以P为圆心，PK长为半径画弧，交I于点A,B,连接AP；

③分别以点P，B为圆心，以AB,PA长为半径画弧，两弧相交于点Q（点Q和点A在直线PB的两旁）；

④作直线PQ.

所以直线PQ就是所求作的直线.

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：连接BQ,

VPQ=,BQ=,

.••四边形PABQ是平行四边形（）（填推理依据）.

：.PQ//\.

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6.（平谷二模）下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：如图，直线I和直线外一点P.

P.

求作：过点P作直线I的平行线.

作法：如图，

①在直线I上任取点0；

②作直线P0；

③以点0为圆心0P长为半径画圆，交直线PO于点A,交直线I于点B；

④连接AB,以点B为圆心，BA长为半径画弧，交。。于点C（点A与点C不重合）：

⑤作直线CP；

则直线CP即为所求.

根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务.

（1）补全图形；

（2）完成下面的证明：

证明：连接BP、BC

AB=BC

...AB

BC

z=z,

XV0B=0P,

Z____=Z____,

ZCPB=Z0BP,

：.CP//\()(填推理的依据).

专注一对一第17页共45页郝老/p>

6.（顺义二模）下面是小东设计的“以线段AB为一条对角线作一个菱形”的尺规作图过程.

已知：线段AB.

A'——JB

求作：菱形ACBD.

作法：如图,

①以点A为圆心，以AB长为半径作。A；

②以点B为圆心，以AB长为半径作。B,交。A于C,D两点;

③连接AC,BC,BD,AD.

所以四边形ACBD就是所求作的菱形.

根据小东设计的尺规作图过程,

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明:点B,C,D在。A上,

AB=AC=AD(）（填推理的依据）.

同理点A,C,D在。B上,

AB=BC=BD.

四边形ACBD是菱形）（填推理的依据）.

7.（丰台二模）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程.

已知：。。和圆外一点P.求作：过点P的。。的切线.

P

作法：①连接OP；

②以0P为直径作。M,交。。于点A,B；

③作直线PA,PB；

所以直线PA,PB为。。的切线.

根据小文设计的作图过程，完成下面的证明.

证明：连接OA,0B.

「OP为。M的直径,

-,.ZOAP=Z°(

A0A1AP,IBP.

VOA,OB为。。半径,

直线PA,PB为。。的切线.（）（填推理的依据）.

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8.（房山二模）下面是“作一个30°角”的尺规作图过程.

9.（东城二模）下面是“作一个45°角”的尺规作图过程.

已知：平面内一点A.

求作：ZA,使得/A45°.1__._J_三_

作法：如图，V7

卬作射线AB；

会在射线AB上取一点O,以。为圆心，OA长为半径作圆，与射线AB相交于点C；

1

9分别以A,C为圆心，大于-AC长为半径作弧，两弧交于点D,作射线OD交O于点

2E；

@作射线AE.

则NEAB即为所求的角.

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：VAD=CD,AO=CO,

ZAOE=Z=°.

ZEAB=°.()(填推理的依据)

专注一对一第19页共45页郝老/p>

1.（西城一模）阅读下面材料：在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计

多种不同的作图方法，并交流其中蕴含的数学原理.

已知：直线和直线外的一点P.求作：过点P且与直线I垂直的直线PQ,垂足为点Q.

某同学的作图步骤如下：

步骤作法推断

第一步以点P为圆心，适当长度为半径作弧，交直线1于A,B两点.PAPB

第二步连接PA,PB,作APB的平分线，交直线1于点Q.APQ______

直线PQ即为所求作.PQ1

请你根据该同学的作图方法完成以下推理:

PAPB，APQ,

PQI.（依据：）.

2.（石景山一模）小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副

三角板画出了一个角的平分线，他的做法是这样的：如图，

（1）利用刻度尺在AOB的两边OA,0B上分别取OMON；

（2）利用两个三角板，分别过点M,N画OM,ON的垂线，交点为P；

（3）画射线0P.

则射线0P为AOB的平分线.

请写出小林的画法的依据.

3.（怀柔一模）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题:

已知：SBC.

求作：&ABC的内切圆.

小明的

如图：（1）作/ABC,/ACB的平分线BE和CF,两线相交于点0;

（2）过点。作OD_LBC,垂足为点D;

（3）点0为圆心，0D长为半径作。0.

所以，。。即为所求作的圆.

请回答：该尺规作图的依据是,

第20页共45页

4.（平谷一模）下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程.

请回答：该尺规作图的依据是

请回答：该尺规作图的依据是

6.（东城一模）己知：正方形ABCD.求作：正方形ABCD的外接圆.

专注一对一第21页共45页

作法：如图，

（1）分别连接AC,BD,交于点0；

（2）以点0为圆心，0A长为半径作。0.

©0即为所求作的圆.

请回答：该作图的依据是.

7.（朝阳一模）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知：直线a和直线外一点P.求作：直线a的垂线，使它经过P.

作法：如图，

（1）在直线a上取一点A,连接PA；

（2）分别以点A和点P为圆心，大于AP的长为半径作弧,

两弧相交于B,C两点，连接BC交PA于点D；

（3）以点D为圆心，DP为半径作圆，交直线a于点E,作直线PE.

所以直线PE就是所求作的垂线.

请回答：该尺规作图的依据是.

8.（丰台一模）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.

已知：ZA.求作：一个角，使它等于/A.

作法：如图，

（1）以点A为圆心，任意长为半径作。A,交NA的

两边于B,C两点；

（2）以点C为圆心，BC长为半径作弧，与OA交于

点D,作射线AD.

所以NCAD就是所求作的角.

请回答：该尺规作图的依据是

第22页共45页

9.（大兴一模）下面是“求作NAOB的角平分线”的尺规作图日程.

已知：如图，钝角NAOB.求作：/AOB的角平分线.V-

作法：o

①在0A和0B上，分别截取OD、0E,使OD=OE；

②分别以D、E为圆心，大于;DE的长为半径作弧，在/于点C;

1d

③作射线0C.维

所以，射线0C就是所求作的NAOB的角平分线.\____________

OB

请回答：该尺规作图的依据是__________________________________________________________________

10.（顺义一模）在数学课上，老师提出一个问题“用直尺和圆规作一个矩形”.

请回答：小华的作图依据是.

专注一对一第23页共45页郝老/p>

11.(通州一模)尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线.

已知：如图，直线I与直线I外一点P.求作：过点P与直线I平行的直线.

P

作法如下:

(1)在直线I上任取两点A,B,连接AP,BP；

(2)以点B为圆心，AP长为半径作弧;

如图所示，两弧交于点M.

(3)过点P、M作直线.

(4)直线PM即为所求.

所以直线PM为所求.

请回答：PM平行与I的依据是.

12.(门头沟一模)下图是“已知一条直角边和斜边做直角三角形”的尺规作图过程.

已知：线段a、b,

求作：RtABC.使得斜边ABb,ACa-~—

b

作法：如图.’

(1)作射线AP,截取线段ABb；

(2)以AB为直径，作。0；

(3)以点A为圆心，a的长为半径作弧交。0于点C；

(4)连接AC、CB.

ABC即为所求作的直角三角形.

请回答：该尺规作图的依据是________________________________________________

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13.(燕山一模)在数学课上，老师提出如下问题:

尺规作图：确定图中CD所在圆的圆心.

已知：CD.求作：CD所在圆的圆心0.

请你回答：瞳瞳的作图依据是___________________________________________________________________

【平谷一模】

16.全等三角形“SSS”判定定理；全等三角形对应角相等；两点确定一条直线.

石景山1.16.阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：

已知：在△ABC中，zA=90°.

求作：0P,使得点P在边AC上，且。P与AB,

BC都相切.

如图，

(1)作/ABC的平分线BF,与AC交于点P;

(2)以点P为圆心，AP长为半径作。P.

所以。P即为所求.

小轩的主要作法如下：

老师说：“小轩的作法正确.”

请回答：OP与BC相切的依据是

专注一对一第25页共45页郝老/p>

1、【石景山一模】

16.阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：

已知：在AABC中，NA=90°.A

求作：。P,使得点P在边AC上，且。P与AB,/X

BC都相切.//\

8乙--------^c

小轩的主要作法如下：

如图，"F

(1)作nABC的平分线BF,与AC交于点P;

(2)以点P为圆心，AP长为半径作0P.

所以。P即为所求.

老师说：“小轩的作法正确.”

请回答：0P与BC相切的依据是.

1、【年怀柔一模】

16.数学活动课上，老师让同学们围绕一道尺规作图题展开讨论，尽可能想出不同的作法:

已知：如图，直线L和L外一点P.P•

求作：直线PQ,使PQJ_L于点Q.

小强的作法如下：

1.在直线L上任取一点A,连接PA；