2022年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷（解析版）

2022年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷

副标题

题号一二三总分

得分

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1.下列四个数中，属于有理数的是（）

A.2B.V15C.TTD.—y/2

2.2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，北京是唯一同时举办

过夏季和冬季奥运会的城市.下列4个图形是四届冬奥会的部分图标，属于轴对称

图形的是（）

与B言。品喙

3.2021年11月3日揭晓的2020年度国家自然科学奖，共评出了两项一等奖，其中一项

是“有序介孔高分子和碳材料的创制应用”，有序介孔材料是上世纪90年代迅速兴

起的新型纳米结构材料，孔径在0.000000002米〜0.00000005米范围内，数据

0.00000005用科学记数法表示为（）

A.5xIO-B.5x10-8C.5xIO-7D.0.5x10-7

4.如图，在各选项中，可以从左边的平面圆形折成右边封闭的立体图形的是（）

5.下列计算正确的是()

A.a+a2=a3

C.(~2x2)3=-8x6D.(-今。+2-1制

6.如图，4B是OO直径，C、F为O。上的点，4E是O。的切线，A为切点,连接BC并

延长交AE于点。.若乙4DB=50°,则NBFC的度数为（）

A.40°D.20°

7.若一元二次方程a/+版+3=0有两个不相等的实数根，则二次函数y=a/+

bx+3的图象与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

8.如图，在矩形ABC。中，AC.BO相交于点。，^AOB=60°,AE平分NB4D,AE^BC

相交于点E、与BD相交于点F,则下列结论中正确的有（）

①。8=0E

②NBOE=75°

@0E2=0FOD

④若OE=1,则EC=V2

⑤若△BOE的面积是矩形48CD面积的则BC=(48

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二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9.计算：（g-仁）•cos30。=.

10.某大型商场为了吸引顾客，规定凡在本商场一次性消费100元的顾客可以参加一次

摇奖活动，摇奖规则如下：一个不透明的纸箱里装有1个红球、2个黄球、5个绿球、

12个白球，所有球除颜色外完全相同，充分掘匀后，从中随机取出一球，若取出的

球分别是红、黄、绿球，顾客将分别获得50元、25元、20元现金，若取出白球则

没有奖.若某位顾客有机会参加摇奖活动，则他每参与一次的平均收益为

元.

11.若一个圆内接正六边形的边长是4cm,则这个正六边形的边心距=.

12.高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360公里的甲地到乙地，乘坐高铁列

车比乘坐普通列车少用3小时，已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍,

设普通列车的平均速度为x公里/小时，则根据题意可得方程.

13.如图，4（2,m）是正比例函数y=依与反比例函数y=|（x>0）的图象的交点.AB1

x轴于点平移直线y=质使其经过点B,得到直线I,则直线，对应的函数表达式

是.

14.如图所示，在扇形。48中，2LAOB=90°,半径。4=

4.点尸位于A8的1处、且靠近点4的位置，点C、。分

别在线段。4、OB上，CD=4.E为CD的中点.连接

EF、BE.在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），

当EF取最小值时，阴影部分的面积为.

D

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15.如图是一张形状为四分之一圆的纸片，要在纸片上

裁剪出一个尽可能大的正方形.请你在图中作出这

个正方形.

16.⑴化简：（六一忌）+后;

(2x4-5<3(x+2)

(2)解不等式组XT/X

17.某校组建了射击兴趣小组，甲、乙两人连续8次射击成绩如图、表所示（统计图中乙

的第8次射击成绩缺失）.

甲、乙两人连续8次射击成绩分析统计图.

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甲、乙两人连续8次射击成绩统计表

平均成绩(环)中位数(环)方差(环2)

甲—7.5—

乙6—3.5

(1)乙的第8次射击成绩是环；

(2)补全统计表;

(3)如果你是教练，要从甲、乙两人中选一位参加比赛，你会选谁？写出你这样选

择的2条理由.

18.小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的四张纪念邮票(除正面内容不同外，其

余均相同)，现将四张邮票背面朝上，洗匀放好.

声1]/|

i、i1BEIJINC2023.11J=)!!

SEIJINCW23.：:*

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Q■—O：•0・3“

12()疝监卓联政1.20：打・2()••1.g20晌禽

冬奥会会徽冬残奥会会徽冬奥会吉祥物水墩墩冬残奥会吉祥物雪容融

(1)小亮从中随机抽以一张邮票是“冬奥公吉祥物冰墩墩”的概率是；

(2)小亮从中随机抽收一张邮票(不放回)，再从余下的邮票中随机抽取一张，请用

画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会

会徽“和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率.（这四张邮票从左到右依次分别用字4、

B、C、。表示）

19.矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌如图所示，测量得到如下数据：

4B=90°,4BDC=72°,NE=35°,CD=2.8米，BE=7.5米.

求线段力C的长.（结果精确到0.1米）

（参考数据：sin35°«cos35°®tan35°«sin72°«cos72°®

tan72°«5）

20.崂山茶是青岛的特产之一，某崂山茶企业为了扩大生产规模，计划投入一笔资金购

进甲，乙两种设备，已知购进2件甲设备和1件乙设备共需3.5万元，购进1件甲设备

和3件乙设备共需3万元.

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(1)求购进1件甲设备和1件乙设备分别需要多少万元.

(2)如果扩大规模后，在一个季度内，每件甲设备能为企业增加0.5万元利润，每件

乙设备能为企业增加0.2万元利润.该企业计划购进甲、乙两种设备共10件，且投

入资金不超过12万元，求应该如何采购甲、乙两种设备，才能使企业这个季度的利

润最大？

21.如图，延长平行四边形4BC。的边4。到凡使。F=40,连接BF,交DC于点E,延

长CC至点G,使DG=OE,分别连接4E,AG,FG.

(1)求证：△BCE=^FDE-,

(2)当平行四边形4BC0的边或角满足什么条件时，四边形4EFG是菱形？证明你的

结论.

A

22.手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器,在战争中能发挥重要作用，

然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事，军训中，借助小山坡的有利地势，小

刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动

路线合作一条抛物线，手榴弹飞行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米;

山坡。4的坡度为1：3.

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)山坡上4处的水平距离0E为9米，4处有一棵树，树高5米，则小刚投出的手榴弹

能否越过这棵树？请说明理由；

(3)求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米.

23.定义：如果一个正整数兀能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数兀为“智慧

数”.

即：若正整数〃=。2一62((1/为正整数，且a>b),则称正整数n为“智慧数”.

例如：•••5=32-22,5是“智慧数”.

根据定义，直接写出最小的“智慧数”是.

提出问题：

如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是哪个数？

探究问题：

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要解答这个问题，我们先要明确“智慧数”产生的规律.

探究1:“智慧数”一定是什么数？

假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b,使n=a2-b2(a,b为正整数,

且a>b).

情况1：a、b均为奇数，或均为偶数.

分析：:a、b均为奇数，或均为偶数

(a+6),(a-b)均为偶数.

此时不妨设(a+b)=2c,(a-6)=2d

又ri=a2—匕2=(a+b)(a—b)=4cd.

a2-/为4的倍数，即n为4的倍数.

情况2：a、b为一奇数、一偶数.

分析：•:a、b为一奇数、一偶数.

二(a+b),(a-b)均为奇数，

此时不妨设a+b=2c+1,a—b=2d+1

又n=a?—〃=(a+b)(a—b)=4cd+2c+2d+l,

...a?一炉为奇数，即n为奇数.

综上所述：“智慧数”是奇数或4的倍数.

探究2：所有奇数和4的倍数都一定是“智慧数”吗？

我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论.

先列举几组数值较小，容易验证的“智慧数”(①〜⑧)，因为“智慧数”不是奇

数就是4的倍数，所以我们把这些“智慧数”分成两类.

表一：

情况1:九是奇数

分析ri=a2—b2结论

©3=22-l23是“智慧数”

②5=32-225是“智慧数”

③7=42-327是“智慧数”

④9=52-429是“智慧数”

表二:

情况2：71是4的倍数

分析九=a2—b2结论

⑤8=32-l28是“智慧数”

⑥12=42-2212是“智慧数”

⑦16=52—3216是“智慧数”

⑧20=62-4220是“智慧数”

•••—

情况1：n是奇数

观察①②③④中九、。、6的值，容易发现，每个算式中，n均是奇数且a、b的值

均为连续的正整数.

猜想：所有奇数都是“智慧数”.

验证：设。=卜+1,b=k（k21且k为整数）

a2—b2=（fc+I）2—/c2=2/c+1.

•••2k+l是“智慧数”.

又；k>l,

2/c+1>3,即2k4-1表示所有奇数（1除外）.

••.所有奇数（1除外）都是“智慧数”.

应用：

请直接填空：•.•11=2_2,...11是，，智慧数”.

情况2：n是4的倍数

观察⑤⑥⑦⑥中小a、匕的情，容易发现，每个算式中，n均是4的倍数，且a与b的

差都为2.

猜想：所有4的倍数都是“智慧数”.

验证：设。=左+2,6=旗々21且/£为整数）

•；a2-b2=（k+2）2-1=4k+4.

••.4k+4是“智慧数”，

又,:k>l,

•1•4k+428,即4k4-4表示所有4的倍数（4除外）,

・••所有4的倍数（4除外）都是“智慧数”.

应用：

请直接填空：24=2_2,...24是“智慧数”.

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归纳“智慧数”的发现模型：

(1)对所有的正整数而言，除了1和4之外，其余的奇数、以及4的倍数是智慧数.

(2)当14n<4时，只有1个“智慧数”；

当nN5时，如果把从5开始的正整数按照从小到大的顺序，依次每个连续正

整数分成一组(注：组与组之间的数字互不重复)，则每组有个“智慧数”，

且第数不是“智慧数”.

问题解决：

直接写出：如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是

实际应用：

若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是12cm,则

这个直角三角形纸片的周长最大是cm.

如图，在△4BC中，乙4cB=90。，AC=12,BC=9,点。为边4B的中点.点P从点4出

发，沿4c方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个

单位长度的速度沿CB方向运动，以DP、DQ为邻边构造。PEQD,设点P运动的时间为t秒,

(1)求当t为何值时，DQ//AC2

(2)设。PEQD的面积为S(S>0),求S与t之间的函数关系式；

(3)连接CD,是否存在某一时刻t,CD经过。PEQD的对称中心。？若存在，求t的值；不

存在，请说明理由.

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答案和解析

1.【答案】A

解：4、2是有理数，故A符合题意；

8、祈万是无理数，故8不符合题意；

C、兀是无理数，故C不符合题意：

D、-企是无理数，故。不符合题意；

故选：A.

根据有理数和无理数统称为实数，判断即可.

本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键.

2.【答案】D

解：选项4、8、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部

分能够互相重合，所以不是轴对称图形，

选项。能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,

所以是轴对称图形，

故选：D.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对

称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可

重合.

3.【答案】B

解：0.00000005=5xIO：,

故选：B.

科学记数法的表示形式为axIO"的形式，其中1<|a|<io,n为整数.确定n的值时，

要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原

数绝对值210时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10,的形式，其中1S

|a|<10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4.【答案】B

解：将B选项中的展开图经过折叠可以得到长方体，

故选：B.

四棱锥有四个三角形的侧面，故A选项不正确，将B中展开图折叠为长方体，因此B选

项正确，C选项不能折叠成正方体，D显然不正确.

考查立体图形的展开与折叠，掌握展开图的规律和方法是正确判断的前提.

5.【答案】C

解：•••a+a?4,

.,・选项A不符合题意；

■:a6-i-a3=a3a2,

二选项B不符合题意：

•••(―2/7=-8x6,

•••选项C符合题意；

•••(―-)0+2T=1+-=-^-,

'2，222

二选项。不符合题意；

故选：C.

利用合并同类项法则，同底数辱的除法法则，幕的乘方与积的乘方法则，零指数幕的意

义，负整数指数幕的意义对每个选项进行分析，即可得出答案.

本题考查了合并同类项，同底数事的除法，辱的乘方与积的乘方，零指数嘉，负整数指

数累，掌握合并同类项法则，同底数幕的除法法则，幕的乘方与积的乘方法则，零指数

幕的意义，负整数指数幕的意义是解决问题的关键.

6.【答案】B

第14页，共29页

解：连接oc,

根据题意，得：OB=0C,

.1•/.ABD—zJyCB,

・・•AE是0。的切线，

・・.乙BAD=90°,

・・•Z,ADB=50°,

・♦・4ABD=90°-/.ADB=40°,

・•・乙OCB=乙ABD=40°,

・・・乙BOC=180°-乙ABD-乙OCB=100°,

・・

•Z.BFC=2-^BOC=50°,

故选：B.

连接OC,根据圆的对称性质和等腰三角形的性质，得UBD=40CB,根据切线和直角

三角形的两锐角互余的性质，推导得NOCB=4ABD=40°,再根据三角形内角和定理

和圆周角定理可得答案.

此题考查了切线的性质、圆周定理及三角形内角和定理，解题的关键是掌握圆的对称性.

7.【答案】A

解：•••一元二次方程a/+bx+3=0有两个不相等的实数根，

.•.二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴有2个交点，所以C选项不符合题意；

当a>0时，若b<0,抛物开口向上，抛物线的对称轴在y轴的右侧，一次函数经过第

一、三象限，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，所以4选项符合题意，B选项

不符合题意；

当a<0时，抛物开口向下，一次函数经过第二、四象限，所以。选项不符合题意.

故选：A.

根据抛物线与x轴的交点问题，利用一元二次方程a/+bx+3=0有两个不相等的实数

根得到抛物线与x轴有2个交点，则可对C选项进行判断；当a>0时，若b<0,抛物开

口向上，抛物线的对称轴在y轴的右侧，利用一次函数的性质可对4、B进行判断；当a<0

时，抛物开口向下，利用一次函数的性质可对。选项进行判断.

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=a/+。久+c（a,b,c是常数，a力0）

与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了一次函数和二次函数的

性质.

8.【答案】C

解：•••四边形4BCD是矩形，

•••AABC=ABAD=90°,OA=OC=2-AC,OB=OD=2-BD,AC=BD,

:.OA=OB=OC=OD,

・••4E平分"40,

•••^LBAE=2-Z.BAD=45°,

・・・△/EB是等腰直角三角形，

:.AB=BE，

vZ.A0B=60°,

.•・△4。8是等边三角形，

:.AB=OB»Z-ABO=60°,

:.OB=BE,乙OBE=乙ABE-Z,ABO=30°,

・•・OBWOE,

故①不正确；

vOB=BE,Z,OBE=30°,

・•・乙BOE=Z.BEO=75°,

故②正确；

•••々BAE=45°,匕ABF=60。,

・•・Z,AFB=180°-Z.BAE-Z.ABF=75°,

:.Z-OFE=Z-AFB=75°,

:.Z.OFE=Z.BEO=75°,

v乙BOE=乙FOE,

・•.△OFE~AOEB,

第16页，共29页

OFOE

**—=----，

OEOB

•••OE2=OB-OF,

vOB=OD,

・・・0E2=ODOF,

故③正确；

过点E作EGIOC,垂足为G,

vAAOB=60°,乙BOE=75°,

NEOC=180°-^.AOB-乙BOE=45°,

・••△OGE是等腰直角三角形，

•••OB=OC,

•••Z.OBC=乙OCB=30°,

EC=2GE=&，

故④正确；

过点。作O/_LBC,垂足为J,

vOB=OC,

■■BJ=JC,

■■OA=OC,

•••。/是△力BC的中位线，

•••OJ=^AB,

BOE的面积是矩形4BCC面积的

6

■■■-BE-OJ=-AB-BC,

2J6

vAB=BE,

：.-AB--AB=-AB-BC,

226

3

・•・BC=-AB

2

故⑤正确；

所以，上列结论中正确的有z个，

故选：C.

根据矩形的性质可得乙4BC=N84D=90。，OA=OB=OC=OD,再利用角平分线的

性质可得NB4E=45°,从而可得4B=BE,再根据乙4OB=60°,可得△40B是等边三

角形，然后利用等边三角形的性质AB=OB,AABO=60°,从而可得08=BE,AOBE=

30°,即可判断①；根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形内角和定理，即可判

断②；根据三角形的内角和定理可求出44FB的度数，从而求出4OFE的度数，进而可

得乙OFE=LBEO=75°,然后利用两角相等的两个三角形相似证明△OFE-4OEB,再

利用相似三角形的性质即可判断③；过点E作EG1OC,垂足为G,根据平角定义可求

出4EOC=45。，从而可得△OGE是等腰直角三角形，进而求出EG的长，然后根据。B=

OC,求出4OBC=NOCB=30。，从而求出EC的长，即可判断④，过点。作0/1BC,

垂足为/,利用等腰三角形的三线合一性质可得=/C,从而可得。/是△ABC的中位线,

进而可得0/=；4B,然后再根据已知△BOE的面积是矩形力BCD面积的g进行计算即

可判断⑤.

本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分

线的性质，三角形的中位线的定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线

是解题的关键.

9.【答案】乎-1

解：（旧一•cos30°

=(3V2-^)x^

3>/61

----------1，

2

第18页，共29页

故答案为：辿一1.

2

利用乘法分配律，进行计算即可解答.

本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

10.【答案】10

解：50X/+25X总+20X-+0X获=10（元），

答：他每参与一次的平均收益为10元.

故答案为：10.

求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以加权平

均数的方法求得.

本题考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项

的加权平均数.

11.【答案】2V3

解：如图所示，AB=4cm,过。作。G于G；

,••此多边形是正六边形，

LAOB=—=60°,Z.AOG=—=30°,

62

•••OG-———=g=2V3

tan/AOGV3•

3

根据题意画出图形，再根据正多边形的性质解答即可.

此题比较简单，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质即锐角三角函数的定义解答

即可.

12.【答案】詈-襄=3

解：设普通列车的平均速度为x/on",则高铁的平均速度是3xkm",

根据题意得：--^=3.

x3x

故答案为：--^=3.

x3x

设普通列车的平均速度为xkm",则高铁的平均速度是3x千米/时，根据乘坐高铁比乘

坐普通列车少用3h,列出分式方程即可.

此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方

程.

13.【答案】y=|x-3

解：•.•正比例函数y=依与反比例函数y=:的图象有一个交点4(2,m),

:.2m=6,

解得：m=3,

A71(2,3),

则3=2k,

解得：k=l，

•••正比例函数解析式为：y=|x.

•••48J.x轴于点B,平移直线y=/cv,使其经过点B,

・•・8(2,0),

•••设平移后的解析式为：y=|x+b,

则0=3+b,

解得：b=—3,

直线，对应的函数表达式是：y=|x-3.

故答案为：y=|x-3.

首先利用图象上点的坐标特征得出4点坐标，进而得出正比例函数解析式，再利用平移

的性质得出答案.

此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求得4B点坐标是解题关键.

14.【答案】y-2V3

第20页，共29页

解：如图，连接OF,OE,BF,取。尸的中点T,连接B7.

,:AAOB=90°,AF=挪,

•••乙BOF=60°,

•••CE=DE,CD=4,

OE=-CD=2,

2

・・・OF=4,

:.EF>OF-OE=2,

.•・当0,E,F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，

・・・此时EF=2,

vOF=OB,乙BOF=60°,

・・・△80F是等边三角形，

vOT=TF,

・•・BT1OF,

・•・BE=BT=y]OB2-OT2=V42-22=2痘,

・•・此时S娱=S扇形BOF气皿=誓-2X28=5-2遮.

故答案为：—2>/3.

如图，连接OF,OE,BF,取OF的中点7,连接B7.证明△OB『是等边三角形，利用直

角三角形斜边中线的性质求出。E,EF>OF-OE=2,推出当。，E,尸共线时，EF的

值最小，此时点E与点T重合，利用5废=S扇形BOF-SABOT进行计算即可.

本题考查了弧长的计算,等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识,注意：

已知圆的半径为r,那么n。的圆心角所对的弧的长度为黑.

15.【答案】解：如图，正方形OCE。即为所求.

【解析】作。E平分乙4。8,过点E作EC_L。4于点C,EO_L。8于点。.四边形OCED即为

所求.

本题考查作图-复杂作图，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知

识解决问题，属于中考常考题型.

16.【答案】解：⑴岛-M)+京

a-l-a+3a+1

(a+l)(a-l)2

2a+1

(a+l)(a-l)2

1

a-l；

(2x+5<3(x+2)(T)

(2)U<：②，

解不等式①，得：X>-1,

解不等式②，得：x<3,

故原不等式组的解集是一1<x<3.

【解析】(1)先算括号内的减法，然后计算括号外的除法即可；

(2)先解出每个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集.

本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确分式混合运算

的运算法则和解不等式组的方法.

17.【答案】71.2569

第22页，共29页

解：(1)6X8-(4+3+5+6+7+64-8)=9(环),

故乙的第8次射击成绩是9环，

故答案为：9；

(2)甲的平均数：(8+8+8+7+8+6+5+6)+8=7(环)，

乙的中位数为：(6+6)+2=6(环)，

甲的方差：X[4X(8-7)2+(7-7)2+2X(6-7)2+(5-7)2]=1.25；

8

1234567s次数

故答案为：7,6,1.25；

(3)要从甲、乙两人中选一位参加比赛，会选甲，

理由：••・甲的平均成绩、中位数比乙的都高，而且甲成绩的方差较小，甲的成绩较稳定.

二应选甲运动员.

(1)根据乙的平均数求出总环数，从而求出乙的第8次射击的环数；

(2)根据，中位数，平均数的定义解答即可；

(3)根据平均数、众数、中位数及方差的意义求解，只要合理即可.

本题考查的是折线统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用.熟练掌握平均数

的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析.

18.【答案】J

4

解：(1)小亮从中随机抽以一张邮票是“冬奥公吉祥物冰墩墩”的概率是?

故答案为：

4

（2）这四张邮票依次分别用字母4,B,C,。表示,

列表如下，

ABcD

A(4B)(4C)(4。)

B(BM)(B,C)（8，。）

C(CM)(C,B)(C,D)

D3,4)(D,B)(D,C)

共有12种等可能性结果，其中抽到恰好是“冬奥会会徽“和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的

有2种，

则恰好是“冬奥会会徽“和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率是?=

（1）直接由概率公式求解即可；

（2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概

率公式即可得出答案.

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的

结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识

点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

19.【答案】解：在RtACOB中，Z.CDB=72°,C。=2.8米，

BC=CD-sin720»2.8X=2.66（米），

在RMAEB中，BE=7.5米，NE=35。，

AB=BE-tan35°«7.5x.^=5.25（米）,

AC=AB-BC=5.25-2.66«2.6（米），

••・线段AC的长为2.6米.

【解析】先在中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，再在RtA/lEB中，

利用锐角三角函数的定义求出48的长，进行计算即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握利用锐角三角函数的定义是

解题的关键.

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20.【答案】解：(1)设购进1件甲设备x万元，1件乙设备y万元，

根据题意得：『及”产

解得:

答：购进1件甲设备需要1.5万元，1件乙设备需要0.5万元.

(2)设购进甲设备nt件，则购进乙设备(10-m)件，

则1.5馆+0.5(10-巾)W12,解得Tn<7,

设利润为w万元，

则w=0.5m+0.2(10—m)=0.3m+2,

这是一个一次函数，且0.3>0,w值随着m的增大而增大，

二当m-7时，w有最大值，为w=0.3X7+2=4.1万元，

答：购进甲设备7件，购进乙设备3件，才能使企业这个季度的利润最大.

【解析】(1)根据实际应用题解题步骤“设、歹人解、答”按题意求解即可.

(2)结合第(1)中所求单价，根据题意列出相应的不等式与函数，根据一次函数性质求出

最大值时的采购情况即可.

本题考查利用方程组、不等式、函数求解实际应用题，读懂题意，找到相应的关系列出

方程组、不等式与函数表达式是解决问题的关键.

21.【答案】(1)证明：•••四边形ABCO是平行四边形，

■■■AD//BC,AD=BC,

・•・Z-DFE=Z-CBE,

・.•DP=40,

・•・DF=CB,

在ABCE和△尸DE中，

(Z.DFE=乙CBE

UFED=乙BEC,

WF=CB

•••△BCE三△FDE(44S)；

(2)解：当乙4DC=90。时，四边形4EFG是菱形，

理由：-DF=ADfDG=DE,

・•・四边形/E/G是平行四边形，

vZ-ADC=90°,

■1•GE1AE,

二四边形4ER；是菱形.

【解析】⑴根据平行四边形的性质，可以得到/W〃BC,AD=BC,然后即可得到功FE=

乙CBE,再根据DF=4D,可以得到DF=CB,然后根据44s即可证明结论成立；

(2)先写出相应的条件，然后根据菱形的判定方法说明理由即可.

本题考查菱形的判定、全等三角形的判定、平行四边形的性质，利用数形结合的思想解

答是解答本题的关键.

22.【答案】解：(1)由题意得：顶点C(6,12),且抛物线过原点，

所以设抛物线的解析式为：y=a(x—6/+12,

把(0,0)代入得：0=a(0-6)2+12,

解得a=一%

球的飞行路线所在抛物线的解析式为：y=-/x-6/+12==-|x2+4x；

(2)•••山坡04的坡度为1：3,OE=9米，

AE=3米，

当x=9时，y=-：x9+12=9,

v3+5<9,

二小刚投出的手榴弹能越过这棵树；

(3)设直线。力的关系式为y=kx,把做9,3)代入可得|=

直线。力的关系式为y=；x，

设M(a,-+4a),N(a,：a),

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・•・MN=(，——1a2z+一4a、)——1a=——1a7Ld.——11a=——1/(a---H--、Y21H-1--2-1-,

73333v2712

当a=3时，MN最大为詈，

答：飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是瑞米.

【解析】(1)根据顶点坐标和过原点求出抛物线的解析式；

(2)利用坡度求出AE,再根据二次函数关系式求B的坐标，再