线性插值与二次插值公式

插值计算引例代数多项式插值问题线性插值与二次插值公式Lagrange插值公式第四章数据插值方法1整理ppt2整理ppt误差函数x00.50001.00001.50002.00002.50003.0000y00.52050.84270.96610.99530.99961.0000当

x∈(0.5,1)时当

x∈(1,1.5)时3整理ppt实际问题中遇到的函数f(x)有的表达式复杂，有的只提供了离散点上的函数值或导数值。为了进一步分析问题的性质和变化规律，自然希望找到一种简单函数p(x)，能近似描述函数f(x)的变化规律，又便于处理。把这个函数p(x)称作f(x)的近似函数。近似函数p(x)可以是代数多项式或三角多项式，也可以是有理分式等等。p(x)选不同类型的函数，近似的效果不同，由于代数多项式结构简单，常取p(x)为代数多项式。如果要求近似函数p(x)取给定的离散数据，那么称p(x)为f(x)的插值函数。4整理ppt多项式插值问题的一般提法设f(x)∈C[a,b],已经点xi∈[a,b]上的函数值f(xi),(i=p0,p1,···,pn)和点xj上的导数值f(kj)(xj),(j=q0,q1,···,qm)，其中kj为小于或等于n+m+1的任意正整数。要求：作一个次数不超过n+m+1的代数多项式p(x)P(x)=a0+a1x+···+an+m+1xn+m+1使P(xi)=f(xi),(i=p0,p1,···,pn)P(kj)(xj)=f(kj)(xj),(j=q0,q1,···,qn)成立那么称P(x)为f(x)的插值函数。xi和xj称作插值节点[a,b]为插值区间。5整理ppt上述问题称作代数多项式插值问题6整理ppt7整理pptf(x)在点xi上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,2,···,n)，求一个次数不超过n的插值多项式。那么称(4.1)为满足插值条件(4.2)的拉格朗日插值。Ln(x)=a0+a1x+···+anxn(4.1)满足:Ln(xi)=yi(k=0,1,…,n)(4.2)

设f(x)∈C[a,b],取点a≤x0＜x1＜···＜xn≤b拉格朗日插值拉格朗日插值及其存在唯一性8整理ppt点,那么满足插值条件Ln(xi)=yi(k=0,1,…,n)的n次插值多项式Ln(x)=a0+a1x+……+anxn存在而且是唯一的。证明由插值条件L(x0)=y0L(x1)=y1··············L(xn)=yn定理4.1假设插值结点x0,x1,…,xn是(n+1)个互异9整理ppt方程组系数矩阵取行列式这是范德蒙行列式且不等于0。故方程组有唯一解.从而插值多项式P(x)存在而且是唯一的.例4.2已知误差函数在四个点处函数值x0 0.6000 1.2000 1.8000Erf(x)

0 0.6039 0.9103 0.989110整理ppt构造3次多项式L3(x)逼近Erf(x)设L3(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,令L3(xi)=Erf(xi)得求解,得a0=0,a1=1.293,a2=-0.5099,a3=0.0538所以,L3(x)=1.293x–0.5099x2+0.0538x311整理pptMATLAB计算程序x=0:.6:1.8;y=erf(x);x=x';y=y';A=[ones(4,1)xx.^2x.^3];p=A\y;a0=p(1);a1=p(2);a2=p(3);a3=p(4);t=0:.2:2;u=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3;plot(x,y,'o',t,u)12整理ppt由过两点直线方程,得化为等价形式求满足:

L1(x0)=y0,L1(x1)=y1的线性插值多项式L1(x)n=1线性插值问题函数表x

x0x1

f(x)y0

y1拉格朗日插值的基函数构造法13整理ppt记当x0≤x≤x1时，0≤l0(x)≤1,0≤l1(x)≤1x

x0

x1l0(x)10l1(x)01[y0

y1]=[10]y0+[01]y1把l0(x)、l1(x)称作线性插值基函数14整理pptn=2二次插值问题x

x0x1x2f(x)y0

y1

y2函数表求二次插值(抛物插值)多项式

L2(x)=a0+a1x+a2

x2满足:L2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2[y0

y1

y2]=[100]y0+[010]y1+[001]y2仿照线性插值的基函数构造法，可令

L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y215整理ppt二次插值函数:L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，x x0 x1 x2l0(x) 1 0 0l0(x)1 0 0l1(x)0 1 0l2(x) 00 1L2(x) y0 y1 y2

x x0x1 x2把l0(x)、l1(x)、l2(x)

称作二次插值基函数16整理pptLagrange插值公式插值条件:Ln(xi)=yi(i=0,1,…,n)其中,第i(i=0,1,…，n)个插值基函数即:17整理ppt18整理ppt两点线性插值定义误差余项:

R1(x)=f(x)–L1

(x)由插值条件,令

R1(x)=C(x)(x–x0)(x–x1)即f(x)–L1(x)=C(x)(x–x0)(x–x1)C(x)=???Lagrange插值的误差余项19整理ppta≤x0＜x1＜······＜xn≤b那么对任何x∈[a,b],满足Ln(xi)=f(xi)的n次插值多项式Ln(x)的误差其中,且与x有关定理5.2设f(x)∈C[a,b],且

f

(x)在(a,b)内具有n+1阶导数,取插值结点20整理ppt证记

n+1(x)=(x–x0)(x–x1)······(x–xn)Rn(x)＝f(x)–Ln(x)=C(x)

n+1(x)取定

x∈(a,b),设t∈(a,b).构造函数显然,F(x)=0,F(xj)=0,(

j=0,1,···,n)由插值条件Ln(xi)=f(xi)(k=0,1,…,n)存在C(x)，令21整理ppt

F(t)有(n+2)个相异零点.根据Rolle定理,F